七年级知识点全 整理.docx

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七年级知识点全整理

第一章：

整式的运算

单项式

整式

多项式

同底数幂的乘法

幂的乘方

　积的乘方

幂运算同底数幂的除法

零指数幂

负指数幂

整式的加减

单项式与单项式相乘

单项式与多项式相乘

整式的乘法多项式与多项式相乘

　整式运算平方差公式

完全平方公式

单项式除以单项式

整式的除法

多项式除以单项式

一、单项式

1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式,单独一个数或一个字母也是单项式.

2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。

（-x的系数为–1）

3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。

（4的次数为0）。

二、多项式

1、几个单项式的和叫做多项式。

2、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。

三、整式

1、单项式和多项式统称为整式。

2、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。

四、整式的加减

1、整式加减的理论根据是：

去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。

2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。

3、几个整式相加减的一般步骤：

（1）列出代数式：

用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。

（2）按去括号法则去括号。

（3）合并同类项。

4、代数式求值的一般步骤：

（1）代数式化简。

（2）代入计算

（3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。

五、同底数幂的乘法

1、同底数幂乘法的运算法则：

同底数幂相乘，底数不变，指数相加。

即：

am﹒an=am+n。

2、此法则也可以逆用，即：

am+n=am﹒an。

六、幂的乘方

1、幂的乘方运算法则：

幂的乘方，底数不变，指数相乘。

（am）n=amn。

2、此法则也可以逆用，即：

amn=（am）n=（an）m。

七、积的乘方

1、积的乘方运算法则：

积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。

即（ab）n=anbn。

2、此法则也可以逆用，即：

anbn=（ab）n。

八、同底数幂的除法

1、同底数幂的除法法则：

同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：

am÷an=am-n（a≠0）。

2、此法则也可以逆用，即：

am-n=am÷an（a≠0）。

九、零指数幂

1、零指数幂的意义：

任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：

a0=1（a≠0）。

十、负指数幂

1、任何不等于零的数的―p次幂，等于这个数的p次幂的倒数，即：

注：

在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。

十一、整式的乘法

（一）单项式与单项式相乘

1、单项式乘法法则：

单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。

-2ax3（3x2+yx3）

（二）单项式与多项式相乘

1、单项式与多项式乘法法则：

单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。

即：

m（a+b+c）=ma+mb+mc。

结果有同类项时要合并同类项.

（三）多项式与多项式相乘

1、多项式与多项式乘法法则：

多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。

即：

（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb。

2、多项式与多项式相乘，必须做到不重不漏。

相乘时，要按一定的顺序进行，即一个多项式的每一项乘以另一个多项式的每一项。

在未合并同类项之前，积的项数等于两个多项式项数的积。

3、多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。

4、运算结果中有同类项的要合并同类项。

5、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：

（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab。

十二、平方差公式

1、（a+b）（a-b）=a2-b2，即：

两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。

2、平方差公式中的a、b可以是单项式，也可以是多项式。

3、平方差公式可以逆用，即：

a2-b2=（a+b）（a-b）。

4、平方差公式还能简化两数之积的运算，解这类题，首先看两个数能否转化成

（a+b）•（a-b）的形式，然后看a2与b2是否容易计算。

十三、完全平方公式

1、

即：

两数和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍。

2、公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项式。

3、掌握理解完全平方公式的变形公式：

（1）

（2）

（3）

4、完全平方式：

我们把形如:

的二次三项式称作完全平方式。

5、当计算较大数的平方时，利用完全平方公式可以简化数的运算。

6、完全平方公式可以逆用，即：

十四、整式的除法

（一）单项式除以单项式的法则

1、单项式除以单项式的法则：

一般地，单项式相除，把系数、同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式。

2、根据法则可知，单项式相除与单项式相乘计算方法类似，也是分成系数、相同字母与不相同字母三部分分别进行考虑。

（二）多项式除以单项式的法则

1、多项式除以单项式的法则：

多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加。

用字母表示为：

2、多项式除以单项式，注意多项式各项都包括前面的符号。

第二章　平行线与相交线

余角

余角补角

补角

　　角两线相交对顶角

平行线与相交线

同位角

三线八角内错角

同旁内角

平行线的判定

　平行线

平行线的性质

　尺规作图

一、平行线与相交线

平行线：

在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。

若两条直线只有一个公共点，我们称这两条直线为相交线。

二、余角与补角

1、如果两个角的和是直角，那么称这两个角互为余角，简称为互余，称其中一个角是另一个角的余角。

2、如果两个角的和是平角，那么称这两个角互为补角，简称为互补，称其中一个角是另一个角的补角。

3、互余和互补是指两角和为直角或两角和为平角，它们只与角的度数有关，与角的位置无关。

4、余角和补角的性质用数学语言可表示为：

（1）

则

（同角的余角（或补角）相等）。

（2）

且

则

（等角的余角（或补角）相等）。

三、对顶角

1、两条直线相交成四个角，其中不相邻的两个角是对顶角。

2、对顶角的性质：

对顶角相等。

四、垂线及其性质

1、垂线：

两条直线相交成直角时，叫做互相垂直，其中一条叫做另一条的垂线。

2、垂线的性质：

性质1：

过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：

连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。

五、同位角、内错角、同旁内角

1、两条直线被第三条直线所截，形成了8个角。

2、同位角：

两个角都在两条直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫做同位角。

3、内错角：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，这样的一对角叫做内错角。

4、同旁内角：

两个角都在两条直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，这样的一对角叫同旁内角。

5、这三种角只与位置有关，与大小无关，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系。

六、平行线的判定方法

1、同位角相等，两直线平行。

2、内错角相等，两直线平行。

3、同旁内角互补，两直线平行。

4、在同一平面内，如果两条直线都平行于第三条直线，那么这两条直线平行。

5、在同一平面内，如果两条直线都垂直于第三条直线，那么这两条直线平行。

七、平行线的性质

1、两直线平行，同位角相等。

2、两直线平行，内错角相等。

3、两直线平行，同旁内角互补。

4、平行线的判定与性质具备互逆的特征，其关系如下：

在应用时要正确区分积极向上的题设和结论。

八、尺规作线段和角

1、在几何里，只用没有刻度的直尺和圆规作图称为尺规作图。

2、尺规作图是最基本、最常见的作图方法，通常叫基本作图。

3、尺规作图中直尺的功能是：

（1）在两点间连接一条线段；

（2）将线段向两方延长。

4、尺规作图中圆规的功能是：

（1）以任意一点为圆心，任意长为半径作一个圆；

（2）以任意一点为圆心，任意长为半径画一段弧；

5、熟练掌握以下作图语言：

（1）作射线××；

（2）在射线上截取××=××；

（3）在射线××上依次截取××=××=××；

（4）以点×为圆心，××为半径画弧，交××于点×；

（5）分别以点×、点×为圆心，以××、××为半径作弧，两弧相交于点×；

（6）过点×和点×画直线××（或画射线××）；

（7）在∠×××的外部（或内部）画∠×××=∠×××；

第三章　变量之间的关系

自变量

　变量的概念

因变量

变量之间的关系表格法

关系式法

　变量的表达方法速度时间图象

图象法

路程时间图象

一、变量、自变量、因变量

1、在某一变化过程中，不断变化的量叫做变量。

2、如果一个变量y随另一个变量x的变化而变化，则把x叫做自变量，y叫做因变量。

3、自变量与因变量的确定：

（1）自变量是先发生变化的量；因变量是后发生变化的量。

（2）自变量是主动发生变化的量，因变量是随着自变量的变化而发生变化的量。

（3）利用具体情境来体会两者的依存关系。

二、表格

1、表格是表达、反映数据的一种重要形式，从中获取信息、研究不同量之间的关系。

（1）首先要明确表格中所列的是哪两个量；

（2）分清哪一个量为自变量，哪一个量为因变量；

（3）结合实际情境理解它们之间的关系。

2、绘制表格表示两个变量之间关系

（1）列表时首先要确定各行、各列的栏目；

（2）一般有两行，第一行表示自变量，第二行表示因变量；

（3）写出栏目名称，有时还根据问题内容写上单位；

（4）在第一行列出自变量的各个变化取值；第二行对应列出因变量的各个变化取值。

（5）一般情况下，自变量的取值从左到右应按由小到大的顺序排列，这样便于反映因变量与自变量之间的关系。

三、关系式

1、用关系式表示因变量与自变量之间的关系时，通常是用含有自变量（用字母表示）的代数式表示因变量（也用字母表示），这样的数学式子（等式）叫做关系式。

2、关系式的写法不同于方程，必须将因变量单独写在等号的左边。

3、求两个变量之间关系式的途径：

（1）将自变量和因变量看作两个未知数，根据题意列出关于未知数的方程，并最终写成关系式的形式。

（2）根据表格中所列的数据写出变量之间的关系式；

（3）根据实际问题中的基本数量关系写出变量之间的关系式；

（4）根据图象写出与之对应的变量之间的关系式。

4、关系式的应用：

（1）利用关系式能根据任何一个自变量的值求出相应的因变量的值；

（2）同样也可以根据任何一个因变量的值求出相应的自变量的值；

（3）根据关系式求值的实质就是解一元一次方程（求自变量的值）或求代数式的值（求因变量的值）。

四、图象

1、图象是刻画变量之间关系的又一重要方法，其特点是非常直观、形象。

2、图象能清楚地反映出因变量随自变量变化而变化的情况。

3、用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴（又称横轴）上的点表示自变量，用竖直方向的数轴（又称纵轴）上的点表示因变量。

4、图象上的点：

（1）对于某个具体图象上的点，过该点作横轴的垂线，垂足的数据即为该点自变量的取值；

（2）过该点作纵轴的垂线，垂足的数据即为该点相应因变量的值。

（3）由自变量的值求对应的因变量的值时，可在横轴上找到表示自变量的值的点，过这个点作横轴的垂线与图象交于某点，再过交点作纵轴的垂线，纵轴上垂足所表示的数据即为因变量的相应值。

（4）把以上作垂线的过程过来可由因变量的值求得相应的自变量的值。

5、图象理解

（1）理解图象上某一个点的意义，一要看横轴、纵轴分别表示哪个变量；

（2）看该点所对应的横轴、纵轴的位置（数据）；

（3）从图象上还可以得到随着自变量的变化，因变量的变化趋势。

五、速度图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示速度，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：

从左向右呈上升状的线，其代表速度增加；

（2）水平的线：

与水平轴（横轴）平行的线，其代表匀速行驶或静止；

（3）下降的线：

从左向右呈下降状的线，其代表速度减小。

六、路程图象

1、弄清哪一条轴（通常是纵轴）表示路程，哪一条轴（通常是横轴）表示时间；

2、准确读懂不同走向的线所表示的意义：

（1）上升的线：

从左向右呈上升状的线，其代表匀速远离起点（或已知定点）；

（2）水平的线：

与水平轴（横轴）平行的线，其代表静止；

（3）下降的线：

从左向右呈下降状的线，其代表反向运动返回起点（或已知定点）。

七、三种变量之间关系的表达方法与特点：

表达方法

特　　点

表格法

多个变量可以同时出现在同一张表格中

关系式法

准确地反映了因变量与自变量的数值关系

图象法

直观、形象地给出了因变量随自变量的变化趋势

第四章　三角形

三角形三边关系

　三角形三角形内角和定理

角平分线

三条重要线段中线

高线

全等图形的概念

全等三角形的性质

SSS

三角形SAS

全等三角形全等三角形的判定ASA

AAS

HL（适用于RtΔ）

全等三角形的应用利用全等三角形测距离

作三角形

一、三角形概念

1、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示。

二、三角形中三边的关系

1、三边关系：

三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。

用字母可表示为a+b>c,a+c>b,b+c>a；。

2、确定第三边（未知边）的取值范围时，

.

三、三角形中三角的关系

1、三角形内角和定理：

三角形的三个内角的和等于1800。

2、三角形按内角的大小可分为三类：

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边。

注：

直角三角形的性质：

直角三角形的两个锐角互余。

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形。

注：

判定一个三角形的形状主要看三角形中最大角的度数。

4、直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半。

四、三角形的三条重要线段

1、三角形的三条重要线段是指三角形的角平分线、中线和高线。

2、三角形的角平分线：

（1）三角形的一个内角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的线段叫做三角形的角平分线。

（2）任意三角形都有三条角平分线，并且它们相交于三角形内一点。

3、三角形的中线：

（1）在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。

（2）三角形有三条中线，它们相交于三角形内一点。

4、三角形的高线：

（1）从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称为三角形的高。

（2）任意三角形都有三条高线，它们所在的直线相交于一点。

区　　别

相　　同

中　　线

平分对边

三条中线交于三角形内部

（1）都是线段

（2）都从顶点画出

（3）所在直线相交于一点

角平分线

平分内角

三条角平分线交于三角表内部

高　　线

垂直于对边（或其延长线）

锐角三角形：

三条高线都在三角形内部

直角三角形：

其中两条恰好是直角边

钝角三角形：

其中两条在三角表外部

五、全等图形

1、两个能够重合的图形称为全等图形。

2、全等图形的性质：

全等图形的形状和大小都相同。

六、全等三角形

1、能够重合的两个三角形是全等三角形，用符号“≌”连接，读作“全等于”。

七、全等三角形的判定

1、三边对应相等的两个三角形全等，简写为“边边边”或“SSS”。

2、两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等，简写为“角边角”或“ASA”。

3、两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等，简写为“角角边”或“AAS”。

4、两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，简写为“边角边”或“SAS”。

5、熟练运用以下内容

（1）熟练运用三角形判定条件，是解决此类题的关键。

（2）已知“SS”，可考虑A：

第三边，即“SSS”；B：

夹角，即“SAS”。

（3）已知“SA”，可考虑A：

另一角，即“AAS”或“ASA”；B：

夹角的另一边，即“SAS”。

（4）已知“AA”，可考虑A：

任意一边，即“AAS”或“ASA”。

6、三角形的稳定性：

根据三角形全等的判定方法（SSS）可知，只要三角形三边的长度确定了，这个三角形的形状和大小就完全确定了，三角形的这个性质叫做三角形的稳定性。

八、作三角形

1、作图题的一般步骤：

（1）已知，即将条件具体化；

（2）求作，即具体叙述所作图形应满足的条件；

（3）分析，即寻找作图方法的途径（通常是画出草图）；

（4）作法，即根据分析所得的作图方法，作出正式图形，并依次叙述作图过程；

（5）证明，即验证所作图形的正确性（通常省略不写）。

2、熟练以下三种三角形的作法及依据。

（1）已知三角形的两边及其夹角，作三角形。

（2）已知三角形的两角及其夹边，作三角形。

（3）已知三角形的三边，作三角形。

九、利用三角形全等测距离

1、利用三角形全等测距离，实际上是利用已有的全等三角形，或构造出全等三角形，运用全等三角形的性质（对应边相等），把较难测量或无法测量的距离转化成已知线段或较容易测量的线段的长度，从而得到被测距离。

2、运用全等三角形解决实际问题的步骤：

（1）先明确实际问题应该用哪些几何知道解决；

（2）根据实际问题抽象出几何图形；

（3）结合图形和题意分析已知条件；

（4）找到解决问题的途径。

十、直角三角形全等的条件

1、在直角三角形中，斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等，简写成“斜边、直角边”或“HL”。

2、“HL”是直角三角形特有的判定条件，对非直角三角形是不成立的；

3、书写时要规范，即在三角形前面必须加上“Rt”字样。

十一、分析-综合法

1、我们在平时解几何题时，采用的解题方法通常有两种，综合法与分析法。

2、综合法：

从问题的条件出发，通过分析条件，依据所学知识，逐步探索，直到得出问题的结论。

3、分析法：

从问题的结论出发，不断寻找使结论成立的条件，直至已知条件。

4、在具体解题中，通常是两种方法结合起来使用，既运用综合法，又运用分析法

第五章生活中的轴对称

轴对称图形

轴对称分类

轴对称

角平分线

轴对称实例线段的垂直平分线

等腰三角形

等边三角形

生活中的轴对称

轴对称的性质

轴对称的性质

镜面对称的性质

图案设计

轴对称的应用

镶边与剪

一、轴对称图形

1、如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。

2、理解轴对称图形要抓住以下几点：

（1）指一个图形；

（2）存在一条直线（对称轴）；

（3）图形被直线分成的两部分互相重合；

（4）轴对称图形的对称轴有的只有一条，有的则存在多条；

（5）线段、角、长方形、正方形、菱形、等腰三角形、圆都是轴对称图形；

二、轴对称

1、对于两个图形，如果沿一条直线对折后，它们能互相重合，那么称这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴。

可以说成：

这两个图形关于某条直线对称。

2、理解轴对称应注意：

（1）有两个图形；

（2）沿某一条直线对折后能够完全重合；

（3）轴对称的两个图形一定是全等形，但两个全等的图形不一定是轴对称图形；

（4）对称轴是直线而不是线段；

轴对称图形

轴对称

区别

是一个图形自身的对称特性

是两个图形之间的对称关系

对称轴可能不止一条

对称轴只有一条

共同点

沿某条直线对折后都能够互相重合

如果轴对称的两个图形看作一个整体，那么它就是一个轴对称图形；

如果把轴对称图形分成两部分（两个图形），那么这两部分关于这条对称轴成轴对称。

三、角平分线的性质

1、角平分线所在的直线是该角的对称轴。

2、性质：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

四、线段的垂直平分线

1、垂直于一条线段并且平分这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线，又叫线段的中垂线。

2、性质：

线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等。

五、等腰三角形

1、有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；

2、相等的两条边叫做腰；另一边叫做底边；

3、两腰的夹角叫做顶角，腰与底边的夹角叫做底角；

4、三条边都相等的三角形也是等腰三角形。

5、等腰三角形是轴对称图形，有一条对称轴（等边三角形除外），其底边上的高或顶角的平分线，或底边上的中线所在的直线都是它的对称轴。

6、等腰三角形的三条重要线段不是它的对称轴，它们所在的直线才是等腰三角形的对称轴。

7、等腰三角形底边上的高，底边上的中线，顶角的平分线互相重合，简称为“三线合一”。

8、“三线合一”是等腰三角形所特有的性质，一般三角形不具备这一重要性质。

9、“三线合一”是等腰三角形特有的性质，是指其顶角平分线，底边上的高和中线，这三线，并非其他。

10、等腰三角形的两个底角相等，简写成“等边对等角”。

11、判定一个三角形是等腰三角形常用的两种方法：

（1）两条边相等的三角形是等腰三角形；

（2）如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边也相等相等，简写为“等角对等边”。

六、等边三角形

1、等边三角形是指三边都相等的三角形，又称正三角形，是最特殊的三角形。

2、等边三角形是底与腰相等的等腰三角形，所以等边三角形具备等腰三角形的所有性质。

3、等边三角形有三条对称轴，三角形的高、角平分线和中线所在的直线都是它的对称轴。

4、等边三角形的三边都相等，三个内角都是600。

图形

定义

性质

等腰三角形

有两边相等的三角形

1、两腰相等，两底角相等。

2、顶角=1800-2×底角。

底角=（1800-顶角）/2。

3、顶角的平分线、底边上的中线和高“三线合一”。

4、轴对称图形，有一条对称轴。

等边三角