第十四讲 典型试题分析.docx

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第十四讲典型试题分析

第十四讲典型试题分析

　　小学数学竞赛实际上就是解题能力的竞赛．多做好题是提高解题能力的有效途径．本讲中精选了各类数学竞赛的一些典型试题进行分析与解答，希望对开拓思路能起一点作用．

　　例1龟兔赛跑，全程5.2公里，兔子每小时跑20公里，乌龟每小时3公里，乌龟不停地跑，但兔子却边跑边玩，它先跑1分钟后玩20分钟，又跑2分钟然后玩20分钟，再跑3分钟然后玩20分钟，…，问先到达终点的比后到达终点的快多少分钟？

　　分析只要分别求出乌龟和兔子到达终点各用了多少分钟．

　　解：

乌龟到达终点所用时间为：

　　如果兔子不停地跑，那么它到达终点所用时间为：

达终点了，共用时间：

　　所以乌龟比兔子早到．

　　例2下图是两个互相啮合的齿轮，大的是主动轮，小的是从动轮，大齿轮半径为105，小齿轮半径为90．现在两个齿轮的标志线在同一直线上，问大齿轮至少转了多少整圈后，两条标志线又在同一直线上？

　　分析这道题可以看成下面的问题：

　　在A点有甲、乙二人，同时、同速出发分别沿着两条跑道跑圈，问甲沿左边大圈至少跑了多少圈后，乙沿右边小圈跑到了A点或B点？

　　解：

由于要求乙到达A点或B点，所以乙跑的路程应该是小圆周长一半的倍数；又由于乙与甲跑的路程相等，所以问题就变成了：

　　大圆周长的至少多少倍是小圆周长一半的倍数？

设甲跑了n圈，则有

　　答：

主动轮至少转3圈，两条标志线又在一条直线上．

　　说明：

变换问题的叙述方式，往往是发现解题思路的重要手段．

　　例3王师傅在某个特殊岗位上工作，他每上8天班后，就连续休息两天，如果这个星期六和星期天他休息，那么至少再过几个星期后，他才能又在星期天休息？

　　分析首先应该计算出至少过了多少天，王师傅又在星期天休息，由于他是连续休息2天，因此可能出现两种情况：

星期六和星期天，星期天和星期一．

　　解：

由于王师傅工作8天，休息2天，所以每10天一循环，设过了n个10天又是星期天，那么总天数就是10n天，又由于每过7天是一个星期天，这就要求10n是7的倍数，因此n至少等于7，总天数就是70天；另外一种情况是过了n个10天是星期一，也可以使王师傅在星期天休息，同样的分析可以知道，10n－1是7的倍数，这时n至少等于5，总天数为

　　10×5－1＝49（天）．

　　由于49＜70，

　　所以第二种情况在第一种情况之前出现，这就说明王师傅至少过49天才又在星期天休息，而不难算出49天等于7个星期．

　　答：

王师傅至少过7个星期又在星期天休息．

　　例4祖父现在的年龄是小明年龄的6倍，几年后，祖父的年龄将是小明年龄的5倍，又过几年以后，祖父年龄将是小明年龄的4倍，求祖父今年多少岁？

　　分析在“年龄问题”中，有一条差不变原理要注意，也就是说无论什么时候，祖、孙二人的年龄差都是一样的．

　　解：

设祖、孙二人今年的年龄分别为x和y，根据已知条件：

今年祖父年龄是小明年龄的6倍，就有：

　　x－y＝5y，

　　设过a年后，祖父年龄是小明年龄的5倍，由差不变原理知道：

　　x－y＝4（y＋a），

　　设过b年后，祖父年龄是小明年龄的4倍，同样道理又有：

　　x－y＝3（y＋b），综合上面三个式子有：

　　5y＝4（y＋a）

　　5y＝3（y＋b）．

　　整理后得：

　　y＝4a

　　2y＝3b，

　　也就是8a＝3b．

　　从这个式子看出应该有：

　　a＝3，b＝8，

　　从而就有y＝4×3＝12

　　x＝6×12＝72．

　　答：

祖父今年72岁．

　　说明：

事实上，从8a＝3b这个公式看出a应为3的倍数，b为8的倍数，如果取a＝6、b＝16或更大的话，将得出不合常理的结果．

　　例5下图中8个顶点处标注数字a，b，c，d，e，f，g，h，

　　（a＋b＋c＋d）－（e＋f＋g＋h）的值

　　解：

由已知条件得：

　　3a＝b＋d＋e

　　3b＝a＋c＋f

　　3c＝b＋d＋g

　　3d＝a＋c＋h

　　把这四式相加，得

　　3（a＋b＋c＋d）＝2（a＋b＋c＋d）＋（e＋f＋g＋h）

　　∴a＋b＋c＋d＝e＋f＋g＋h

　　∴（a＋b＋c＋d）－（e＋f＋g＋h）＝0．

　　例6从1～100这100个不等的数中，每次取出2个数，要使它们的和大于100，有多少种不同的取法？

　　分析在这100个不等的数中，每次取出2个其中必有一个较小的，又这二数之和要大于100，我们可以枚举较小数的所有可能取值情况来讨论．

　　解：

较小数是1，有1种取法，即（1，100）；

　　较小数是2，有2种取法，即（2，99），（2，100）；

　　…

　　较小数是50，有50种取法，即（50，51），（50，52），（50，53），…，（50，100）；

　　较小数是51，有49种取法，即（51，52），（51，53），（51，54），…，（51，100）；

　　…

　　较小数是99，有1种取法，即（99，100）．

　　所以共有取法：

　　1＋2＋…＋49＋50＋49＋…＋2＋1

　　＝2（1＋2＋…＋49＋50）－50

　　＝2500（种）．

　　例7有A、B、C三人参加M项全能比赛，在每一个项目中，第一名、第二名和第三名分别得分P1、P2和P3，它们都是自然数，并且P1＞P2＞P3，最后计算总分时，A得22分，B与C均得9分，B跑百米第一，问：

　　①M等于多少？

　　②在跳高比赛中，谁得第二名？

　　分析我们来分析如何求M，由于题中已知有百米和跳高两项比赛，所以M至少是2，又由已知条件知有：

　　M（P1＋P2＋P3）＝22＋9×2＝40

　　所以M是40的约数，M的可能取值只有2、4、5、8、10、20、40以下只需依次枚举试验，淘汰非解．

　　解：

由于P1≥3，P2≥2，P1≥1，因此M（1＋2＋3）≤M（P1＋P2＋P3）＝40．也就是M≤6，这样一来M只有三种可能取值了：

2、4、5．下面我们分别讨论．

　　如果M＝2，这时只有百米和跳高两项比赛，由于B在百米赛中得分P1，他的总分只有9分，因此P1至多等于8，这样A无论如何也得不到22分，所以M≠2．

　　如果M＝4，这时有：

　　P1＋P2＋P3＝10

　　由于B得了一个第一，所以他至少得分：

　　P1＋3P3又由于B的总分是9，所以我们有：

　　P1＋3P3≤9

　　由此不难看出P1不能超过6，又由A得总分22知P1还不能小于6，所以P1＝6，这样一来就有P2＋P3＝4，所以就有P3＝1，P2＝3．这是不可能的，因为这时A最多得分为6×3＋3＝21，不够22，因此M≠4．

　　排除了以上两种情况，只有M＝5．下面我们来分析每个人的得分情况，这时我们有：

　　P1＋P2＋P3＝8．

　　由于P1、P2、P3互不相同，所以P3＝1，否则的话，左边至少等于2＋3＋4＝9＞8．因此就有P1＋P2＝7．不难发现P1至多等于5，同时又不能小于5，所以P1＝5，从而也就有P2＝2．我们用下表来表示每个人的名次：

且由表可见，C是跳高比赛的第二名．

　　这个表的填充过程读者应自己独立地作一遍．

　　例81978年，有个人在介绍自己的家庭时说：

我有一儿一女，他们不是双胞胎，儿子年龄的立方，加上女儿年龄的平方，正好是我的出生年，我是在1900年以后出生的，我的儿女都不满21岁，我比我妻子大8岁，请求出全家每个人的年龄．

　　分析本题的关键在于先确定儿子的年龄，其次是求出女儿的年龄，这可用前面介绍的“筛”法来做到．

　　解：

由于133＝2197，所以儿子的年龄一定小于13岁；又由于113＝1331，既使加上212＝441，也只是1331＋441＝1772＜1900，所以儿子的年龄一定大于11岁，只有12岁了．

　　设女儿的年龄为x，根据已知条件有：

　　123＋x2＞1900

　　所以x2＞1900－123

　　x2＞172

　　也就是说女儿的年龄大于13岁，又已知这个年龄小于21岁，所以女儿的年龄可能岁数是：

　　14，15，16，17，18，19，20

　　如果x＝15，那么父亲的出生年数就等于：

　　123＋152＝1953

　　这显然是不合理的（想一想为什么？

），同样道理，女儿的年龄也不能是大于15的数，只能是14岁．

　　这时父亲的出生年数为：

　　123＋142＝1924

　　1978年时的年龄为：

　　1978－1924＝54（岁）

　　1978年时母亲的年龄为：

　　54－8＝46（岁）：

　　答：

（略）．

　　说明：

从本题的解答可以发现，运用筛选法解题时，关键是确定筛选的范围，范围越小，筛选的工作量越小．

　　从上面的几个例子我们看出，用枚举法解题的基本方法是：

　　按某种规律一一列举问题的有限个解；或者是：

把研究对象划分为不重复、不遗漏的若干类一一解决，从而得到原问题的解答．

　　有时为了求出某一答案，若不能直接解得，就可以运用筛选法，也叫排除法，它的做法可以用四句话概括：

　　确定范围，逐一试验，淘汰非解，求出解答．

　　在遇到一个较复杂的问题时，一时不知从何下手，有时可先把问题简单化，考虑它的特殊情形．在解决这个特殊情形的过程中，得到启发，从而获得解决原题的方法，这样的解题方法，我们叫作从特殊到一般的分析方法，简单地说就是难的不会，想简单的．

　　例9问5条直线最多将平面分为多少份？

　　分析直接想五条直线的情况不好想，先研究一些简单的情况，不难知道：

　　一条直线最多将平面分为2部分；

　　二条直线最多将平面分为4部分；

　　三条直线最多将平面分为7部分；

　　四条直线最多将平面分为11部分；

　　五条直线的图不易画出，所以很难下结论，分析一下上面特殊情形的结论，看看能不能发现一些规律．

　　二条直线分平面的4部分恰好是在一条直线分平面的2部分的基础上增添了2部分；三条直线分平面的7部分恰好是在二条直线分平面的4部分的基础上增添了3部分，类似地，四条直线分平面的11部分是在三条直线分平面的7部分的基础上增添4部分，怎样解释这个规律呢？

我们以四条直线的情形作为例子．

　　三条直线将平面分为7部分，新加上一条虚线，由于要求分平面的部分数尽可能多，所以新添虚线不能过实线的交点，这样，虚线与三条实线有三个交点，这三个交点将虚线分为四段，其中的每一段都将所在的平面部分一分为二，所以也就是使所分平面的份数增加4．

　　解：

因为四条直线最多分平面为11部分，添上第五条线，它与前四条线至多有4个交点，这4个交点将第五条线分为5段，其中每一段将所在平面部分一分为二，所以五条直线最多将平面分为11＋5＝16部分．

　　说明：

仿照前面的分析方法不难分析出n条直线最多分平面的部分数为：

　　　2＋2＋3＋…＋（n－1）＋n

　　例10在平面上画20个圆，问这20个圆最多可能将平面分为多少个部分？

　　分析直接画出20个圆去数当然是行不通的．先考虑一些简单的情况：

　　一个圆最多分平面为2部分；

　　二个圆最多分平面为4部分；

　　三个圆最多分平面为8部分；

　　当第二个圆在第一个圆的基础上加上去时，第二个圆应与第一个圆有2个交点，这两个交点将新加的圆分为2段，其中每一段弧都将所在平面部分一分为二，所以所分平面部分数在原有2部分的基础上又增添2部分．同样道理，三个圆最多分平面的部分数是在2个圆分平面为4部分的基础上又增加4部分．

　　解：

继续前面的分析过程，画第20个圆时，与前19个圆最多有19×2＝38个交点，第20个圆的圆弧被分成为38段，也就是增加了38个区域，所以20个圆最多分平面的部分数为：

　　2＋1×2＋2×2＋…＋19×2

　　＝2＋2（1＋2＋3＋…＋19）

　　＝382．

　　说明：

类似的分析我们可以得到计算n个圆最多分平面部分数的公式：

　　2＋1×2＋2×2＋…＋（n－1）×2

　　＝2＋2[1＋2＋…＋（n－1）]

　　＝2＋n（n－1）

　　＝n2－n＋2．

　　例11有70个数排成一排，除两头两个数外，每个数的3倍都恰好等于它两边两个数之和，已知前面两个数是0和1，问最后一个数除以6的余数是多少？

　　分析直接求第70个数除以6的余数不容易，先求它除以2和除以3的余数．

　　解：

设最后一个数为x，先求x除以2的余数，列出下表观察规律：

　　我们发现这列数的规律是：

　　偶，奇，奇，偶，奇，奇，…

　　这个规律是可靠的，如果一个数左边两个数都是奇数，那么这个数就是奇数的3倍减去一个奇数，所以这个数一定是偶数，同样可以分析出，如果一个数左边两个数一奇一偶，那么这个数一定是奇数．

　　因为70÷3余1，所以x是偶数，下面来求x除以3的余数，列出下表观察一下这列数除以3余数的规律：

　　因为每个数的3倍是它两边两个数之和，所以间隔一个数的两个数之和一定是3的倍数．所以不难分析出这列数除以3的余数规律是：

　　0，1，0，2，0，1，0，2，…

　　又由于70÷4余2，所以第70个数x除以3的余数为1．

　　我们已经知道x是一个除以3余1的偶数，所以x除以6应该余4．

　　我们还可以用带余除式推出这个结论，因为x除以3余1，所以x可以写成下式：

　　x=3k+1（k是自然数）

　　又因为x是偶数，所以k应是一个奇数，也就是说k被2除余1，写成带余除式就是：

　　k=2m+1（m是自然数）

　　综合两个式子就得到

　　x=3（2m+1）＋1＝6m+3+1=6m+4

　　因此，x除以6余4．

　　说明：

本题的解法告诉我们，如果已知一个数除以两个数后各自的余数，那么应如何去求它除以这两个数的乘积的余数．作为练习请同学们完成下题．

　　已知某数除以3余2，除以4余3，求这个数除以12的余数是多少？

　　例1243位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数互不相同，每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片，画片只有两种，3分一张和5分一张，每人都尽量多买5分一张的画片，问他们共买了多少张3分的画片？

　　分析本题实际上是要将8到50的所有自然数表示成若干个3与若干个5的和，其中5的个数要尽可能多．因为求的是3的个数，所以只要求出8至12的表示中有多少个3即可．

　　解：

我们有：

　　8=5+3

　　9=3＋3+3

　　10=5+5

　　11=5+3＋3

　　12=3+3+3＋3．

　　下面的表示式中3的个数不会再增加，只要在前面的表示中加5就可以了，例如．

　　13=8+5=5+5+3

　　14=9＋5=3＋3＋3＋5

　　等等

　　前五个式子中3的个数为：

　　1＋3+0+2+4=10．

　　因为43÷5=8余3，所以3的总个数为：

　　10×8＋1＋3＋0＝84．

　　答：

3分的画片共买了84张．

　　思考：

　　①本题中如果要求5分画片共买多少张应怎样做？

　　②如果本题改为让3分画片尽可能多，求5分画片共有多少张，应怎样做？

　　例13有十个人各拿一只提桶同时到水龙头前排队打水．设水龙头注满第一个人的桶需要1分钟，注满第二个人的桶需要2分钟，…，如此下去．问：

　　①当只有一个水龙头时，应如何安排这十个人的次序，使他们总的费时为最少？

这时间等于多少分钟？

　　②当只有两个水龙头可用时，应如何安排这十个人的次序，使他们总的花费时间为最少？

这时间等于多少分钟？

　　分析①我们用A1，A2，…，A9，A10分别表示第一，第二，…，第九，第十个人，先考虑只有A1、A2两个人的情形．

　　如果A1在前，A2在后，总共花费的时间为：

　　1×2＋2×1=4（分钟）．

　　如果A2在前，A1在后，总共花费的时间为：

　　2×2＋1×1=5（分钟）．

　　因此，对两个人的情况，提小桶的人在前，提大桶的人在后，总共花费的时间最少，由此就不难知道十个人如何排列，总费时最少．

　　②先考虑只有A1，A2，A3，A4四个人的情况．这时候可能的排列方法有以下几种：

　　总费时=1×1＋2×3＋3×2＋4×1＝17（分钟）

　　总费时=2×1＋1×3＋3×2＋4×1=15（分钟）

　　总费时=3×1＋1×3＋2×2＋4×1=14（分钟）

　　总费时=4×1+1×3+2×2+3×1=14（分钟）

　　总费时=1×2＋2×1＋3×2＋4×1=14（分钟）

　　总费时=1×2＋3×1＋2×2＋4×1=13（分钟）

　　通过比较发现，第6种方法最合理（甲龙头A1A4、乙龙头A2A3费时与第6种方法一样多），下面就来分析十个人的排列方法．

　　解：

①根据两个人的排队顺序规律，不难推测出多于2人的排队方法应是从A1开始，按由小到大的顺序排队．因为在多于2人的排队方法中，如有二人不是从小到大排列，只要交换这二人的位置，总费时必然减少，所以本题十个人的排队方法为：

　　A1，A2，…，A9，A10

　　总共花费时间为：

　　1×10＋2×9＋3×8＋4×7＋5×6＋6×5＋7×4＋8×3+9×2+10×1

　　=（1×10+2×9+3×8+4×7+5×6）×2

　　=220（分钟）．

　　②根据四个人的排队规律，不难分析出十个人的排队规律为：

　　甲龙头：

A1，A3，A5，A7，A9

　　乙龙头：

A2，A4，A6，A8，A10

　　总共花费时间：

　　1×5＋3×4+5×3+7×2+9×1+2×5+4×4＋6×3＋8×2＋10×1

　　=125（分钟）．