函数的图像.docx
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函数的图像
第八节函数的图像
考纲解读
1•掌握描绘函数图像的两种基本方法一一直接描点法（列表描点）和图像变换法•
2•会利用函数图像进一步研究函数的性质，解决方程和不等式中的问题
3•会用数形结合、转化与化归的思想，分析解决数学问题命题趋势探究
基本初等函数的图像是高考中的重要考点之一，是用来研究其他图像问题的基础，是研究函
数性质的重要工具.
解决此类问题的重要思路是要利用函数性质与图像之间的对应关系去比照，如定义域、单调
性、奇偶性、特殊点等•
高考中总是以几类基本初等函数的图像为基础来考查函数图像，往往结合函数行之一并考察，题型主要是选择题与填空题，考查的形式主要有知式选图、知图选式、图像变换（平移变换、对称变换）以及灵活地应用图像解题，属于每年必考内容之一知识点精讲
一、掌握基本初等函数的图像
（1）一次函数；
（2）二次函数；（3）反比例函数；（4）指数函数；（5）对数函数；（6）三角函数•
二、函数图像作法
1.直接画
①确定定义域；②化简解析式；③考察性质：
奇偶性（或其他对称性）、单调性、周期性、
凹凸性；④特殊点、极值点、与横/纵坐标交点；⑤特殊线（对称轴、渐近线等）
2.图像的变换
（1）平移变换
的;
的;
的;
的；
（2）对称变换
y轴对称;
①i：
函数y=f（x）与函数y=f（-x）的图像关于
ii：
函数y=f（x）与函数y--f（x）的图像关于x轴对称；
iii:
函数y=f（X）与函数y--f（-X）的图像关于坐标原点（0,0）对称;
②i:
若函数f（x）的图像关于直线X二a对称，则对定义域内的任意x都有
f（a-x）二f（ax）或f（x）二f（2a-x）（实质上是图像上关于直线x=a对称的两点
连线的中点横坐标为a，即（a—X）（ax）=&为常数）；
2
ii：
若函数f（x）的图像关于点（a,b）对称，则对定义域内的任意x都有
f（x）=2b-f（2a-x）或f（a-x）=2b-f（ax）
3y=|f（x）的图像是将函数f（x）的图像保留x轴上方的部分不变，将x轴下方的部分
关于x轴对称翻折上来得到的（如图2-21（a）和图2-21（b））所示
4y二f（x）的图像是将函数f（x）的图像只保留y轴右边的部分不变，并将右边的图像
关于y轴对称得到函数y=f（x）左边的图像即函数y=f（x）是一个偶函数（如图2-21（c）
图2-21
注：
f（x）的图像先保留f（x）原来在x轴上方的图像，做出x轴下方的图像关于x轴对称
图形，然后擦去x轴下方的图像得到；而f（x）的图像是先保留f（x）在y轴右方的图像，擦去y轴左方的图像，然后做出y轴右方的图像关于y轴的对称图形得到•这两变换又叫翻
折变换•
⑤函数y=f'（x）与y=f（x）的图像关于y=x对称•
（3）伸缩变换
1y二Af（x）（A0）的图像，可将y二f（x）的图像上的每一点的纵坐标伸长（A1）或缩短
（0：
：
：
A：
：
：
1）到原来的A倍得到•
2y=f（「x）C「0）的图像，可将y=f（x）的图像上的每一点的横坐标伸长（0—「：
：
1）或
1
缩短1）到原来的一倍得到•
co
题型归纳及思路提示
题型31由式选图（识图）
思路提示
A
B
D
利用函数的性质（如定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、特殊点等）排除错误选项,从而筛选出正确答案
例2.70函数y=2x-X2的图像大致是（）
变式2在同一坐标系中画出函数y二logax,y二ax,y=x•a的图像，可能正确的是（）
是（）
D
变式3函数y=ax?
+bx与y=log^x,ab^0,a式b在同一直角坐标系中的图像可能
题型32函数图像的应用
思路提示1
利用函数图像判断方程解的个数•由题设条件作出所研究对象的图像，利用图像的直观性得
到方程解的个数.
A1
B.2
C.3
D.4
例2.71函数f（x）=2Xlog°.5X-1的零点个数为（）
2
I-xX2
变式1已知函数f（x）二/,若关于x的方程f（x）=k有两个不同的实根,
1）3,xc2
则实数k的取值范围是
2
变式2直线y=1与曲线y=x-x+a有4个交点，则a的取值范围是
变式3函数f（x）=2Inx的图像与函数g（x）=x2-4x•5的图像的交点个数为（）
A3B.2C.1D.0
变式4
设定义域为R的函数f（x）=『gx7以知），则关于x的方程
[0（x=1）
If（x）
f+bf（x）+c=0有7个不同实数解的充要条件是（）
Ab：
：
0且c0B.b0且c：
：
0
C.b：
：
0且c=0Db0且c=0
『5仪4_ixx0）
变式5设定义域为R的函数f（x），若关于x的方程
乂+4x+4（xc0）
if（x）!
2-2mxf（x）2m有）7个不同实数解，则m=
思路提示2
利用函数图像求解不等式的解集及参数的取值范围•先作出所研究对象的图像，求出它们的
交点，根据题意结合图像写出答案
[2」-1（xM0）
例2.72设函数f（x）=!
，若f（x0）•1，则X0的取值范围是（）
x2（x>0）
C.（-：
：
2）U（0,D.（—1）U（1,
2x-41,若不等式fx三ax的解集非
变式1（2010新课标全国卷理24）设函数fx二
空，求a的取值范围•
变式2已知函数f（X）=*
「/）若不等式f（2-a2）：
＞f（a），则实数a的取值范围
4x_x（xc0）
是（）
A、：
i—2亠—IB、：
；：
—1,2C、：
i—2,1D、[•「，「2].[1,•：
：
产2
变式3（2012福建理15）对于实数a和b，定义运算
，设
a—ab,a兰b
a*b=J2
p2-ab,a>b
fxi=i.2x-1*x-1，且关于x的方程fxi；=mmR恰有3个互不相等的实数根为
:
:
x空10）
.,若a,b,c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c）则
--x6x10abc的取值范围是
思路提示3
A、1,10
B、
5,6C、10,12D、20,24
利用函数图像求函数的最值，先做出所涉及到的函数图像，根据题目对函数的要求，从
图像上寻找取得最值的位置，计算出结果，这体现出了数形结合的思想。
例2、73用minE,b,c｝表示a,b,c三个数中的最小值，设f（x）=min<2x,x+2,10—x>
x一0，贝yfx的最大值为（）
变式1设f（x）=1—2x2,g（x）=x2—2x,若F（x）=f（x）；g（x）_丨f（x）;gx\则卩⑴
的最大值为.
变式2已知两条直线h：
y二m和l2:
y一m0,li与函数y=log2x的图像从左2m+1
到右相交于点A,B，I2与y=log?
x的图像从左到右相交于点C,D，记线段AC和BD在
K
x轴上的投影长度分别为a,b.当m变化时，一的最小值为（）
a
A、16.2B、8、,2C、834D、434
最有效训练题
B、10a,1-b
D、a2,2b
A、
1若点a,b在y=lgx图像上，a=1，则下列点中也在此图像上的是
BCD
3、函数y=fx的图像如图2—26所示，则函数y=log1fx的图像大致是（）
4、函数y=xln-x与y=xlnx的图像关于（）
A、直线y=x对称B、x轴对称C、y轴对称D、原点对称
5、若函数y=f（xj（xER）满足f（x+2）=f（x），且x^（-1,1时，f（x）=x.则函数
y=f（x的图像与函数y=log4X的图像的交点个数为（）
A、3B、4C、6D、8
6、函数ynfx与函数yngx的图像分别如图2—27（a）（b）所示.则函数
y=fxgx的图像可能是（）
7、把函数y二log2-2x3的图像向左平移1个单位长度得到函数的图像.
8、指数函数y=b的图像如图2—28所示，则二次函数y二ax2-bx的顶点的横坐标
2丿
取值范围是.
图2-28
9、若a1,则函数fx=ax，x-4的零点为m，
11
gX；=logax•X-4的零点为n，贝y的取值范围是
mn
10、若直角坐标平面内的两点P,Q满足条件：
QP,Q都在函数y二fx的图像上；©P,Q
关于原点对称，则称函数对〔P,Q是函数y二fx的一对友好点对”（点对P,Q于Q,pl
看作同一对友好点对”）.已知函数
log2x（x>0）
y=f（x）=」2，则此函数的友好点对"有对.
、—x2—4x（x兰0）
（5）y=x-x2
⑺y=x22x-3
11、作出下列函数的图像
2
12、已知函数f（x）=x—4x+3
（1）求函数fx的单调区间;
（2）求m得取值范围，使得方程fx=mx有4个不等实根
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