露天矿生产的车辆安排数学建模.docx

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露天矿生产的车辆安排数学建模

露天矿生产的车辆安排

摘要

本文是要解决露天矿的合理安排问题。

我们选择用优化模型求解，主要目的是求出在一定条件下的最优解。

在问题一中，我们根据题目要求，对各铲位铲出岩石（矿石）的总量、各卸点对岩石（矿石）的接收量、每个班次内铲位及卸点的限制等条件列出相应约束方程，并建立求非线性规划模型，通过运用lingo软件对题目进行求解。

最终解得使得总运量最小的方案为：

将卡车分配在第1、2、3、4、8、9、10号铲位，需要13辆车。

此时总运量最小为：

85607.06（吨公里）。

在问题二中，根据题目要求可看出问题一中的约束条件对于问题二基本适用，并且求一定条件下的最大产量也需要选择优化类模型。

因此我们对问题一中列出的条件加以改进，对岩石的运输优先级进行约束。

同样建立非线性规划模型，通过运用lingo软件对所建立模型进行求解。

最终解得最大产量为10.42万吨。

在本题中，模型一是对总运量的限制，求最优总运量，模型二在模型一的基础上添加岩石优先的条件，因此在建立模型时需要在问题一的基础上对问题二进行建模。

关键字：

非线性规划、最优化模型、lingo。

一、问题重述

钢铁工业是国家工业的基础之一，铁矿是钢铁工业的主要原料基地。

许多现代化铁矿是露天开采的，它的生产主要是由电动铲车（以下简称电铲）装车、电动轮自卸卡车（以下简称卡车）运输来完成。

提高这些大型设备的利用率是增加露天矿经济效益的首要任务。

露天矿里有若干个爆破生成的石料堆，每堆称为一个铲位，每个铲位已预先根据铁含量将石料分成矿石和岩石。

一般来说，平均铁含量不低于25%的为矿石，否则为岩石。

每个铲位的矿石、岩石数量，以及矿石的平均铁含量（称为品位）都是已知的。

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟。

卸货地点（以下简称卸点）有卸矿石的矿石漏、2个铁路倒装场（以下简称倒装场）和卸岩石的岩石漏、岩场等，每个卸点都有各自的产量要求。

从保护国家资源的角度及矿山的经济效益考虑，应该尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为29.5%

1%，称为品位限制）搭配起来送到卸点，搭配的量在一个班次（8小时）内满足品位限制即可。

从长远看，卸点可以移动，但一个班次内不变。

卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速28

。

卡车的耗油量很大，每个班次每台车消耗近1吨柴油。

发动机点火时需要消耗相当多的电瓶能量，故一个班次中只在开始工作时点火一次。

卡车在等待时所耗费的能量也是相当可观的，原则上在安排时不应发生卡车等待的情况。

电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

卡车每次都是满载运输。

每个铲位到每个卸点的道路都是专用的宽60

的双向车道，不会出现堵车现象，每段道路的里程都是已知的。

一个班次的生产计划应该包含以下内容：

出动几台电铲，分别在哪些铲位上；出动几辆卡车，分别在哪些路线上各运输多少次（因为随机因素影响，装卸时间与运输时间都不精确，所以排时计划无效，只求出各条路线上的卡车数及安排即可）。

一个合格的计划要在卡车不等待条件下满足产量和质量（品位）要求，而一个好的计划还应该考虑下面两条原则之一：

1.总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小；

2.利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

请你就两条原则分别建立数学模型，并给出一个班次生产计划的快速算法。

针对下面的实例，给出具体的生产计划、相应的总运量及岩石和矿石产量。

某露天矿有铲位10个，卸点5个，现有铲车7台，卡车20辆。

各卸点一个班次的产量要求：

矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

铲位和卸点位置的二维示意图如下，各铲位和各卸点之间的距离（公里）如附录。

二、问题分析

2.1问题背景分析：

对问题一的分析：

问题一要求总运量（吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而运输成本最小。

由题目可以看出这是一个优化模型，需要求出一定条件下的最优解。

因此运用非线性规划建立该问题的数学模型。

根据题目可知，影响总运量（吨公里）的因素有：

铲位铲出总量、卸点接收总量、每个班次内铲位及卸点限制、以及卸点接收的矿石的平均含铁量。

最终写出目标函数并求解。

由于题目要求总运量（吨公里）最小，因此目标函数是运输总重量和运输距离的函数关系。

问题二要求获得最大产量。

7辆铲车一直不停的工作，在一个班次内所能生产的最大的矿石与岩石产量的总和，即在一个班次内总车次的上限为：

（车），产量的最大上限为

（吨）。

在此条件的约束下，考虑到要获得最大的产量，就必须使铲车所运输的车次达到最多。

所以根据次原理，以最大的出车次数为目标函数，求得最大产量以及在最大产量条件下的各铲位的出车次数。

三、模型假设与约定

（1）每个铲位至多能安置一台电铲，卡车的装卸过程中没有意外。

（2）卡车只在开始工作时点火一次，不发生熄火现象。

（3）电铲和卸点都不能同时为两辆及两辆以上卡车服务。

（4）卡车每次都是满载而归。

（5）在铲位和卸点之间不会出现堵车现象。

（6）卸点可以移动，但一个班次内不变，不会影响最终结果。

四、符号说明与名词解释

各铲位矿石的生产量

各铲位岩石的生产量

各个卸点的接收总量

从铲位运到卸点的矿石（岩石）的总运输量

矿石内的含铁量

从铲位到卸点的距离

号卡车在一个班次内的运输量

五、模型建立与求解

5.1问题一模型建立

在卡车不等待的条件下满足产量和质量（品位）的要求，使总运量（单位：

吨公里）最小，同时出动最少的卡车，从而使运输成本最小。

在卡车运行期间影响效率的因素有：

铲位、卸点的产量，每个班次装车与卸车的次数，矿石中铁的平均含量等。

为此，我们可以建立非线性规划模型列出以上约束条件及目标函数来求解。

露天矿的装运系统包括四个阶段：

装车、满载运行、卸车和空车运行。

在这四个阶段中，分别根据影响因素列出约束条件：

（1）铲位产出：

一个班次内，铲位的矿石的总运输量不超过该铲位的矿石生产量，

矿石：

岩石：

（

分别为各个铲位矿石和岩石的生产量）

（2）每个铲位装车次数的限制

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟，故在一个班次（8小时）内，每个铲位的最多装车次数为

（车），所用卡车载重量为154吨，得到相应质量为

（吨），则产量限制为：

（3）每个班次内卸点的限制

每个卸点至多能安置一台卡车，卡车的平均卸车时间为3分钟，故在一个班次（8小时）内，每个卸点的最多卸车次数为

（车），所用卡车载重量为154吨，得到相应质量为

（吨），则卸点卸车次数应满足：

（4）卸点接收的矿石的平均含铁量：

一个班次内应尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为

，称为品位限制）搭配起来送到卸点，根据题意的矿石卸点

的矿石平均含铁量：

（5）卸点接收量

在一个班次内，从10个铲位运往卸点的矿石（岩石）总量应不小于卸点的产量要求即：

（

为各个卸点的接收量）

最终由于所求是最小总运量（吨公里），因此列出目标函数如下：

5.2问题一模型求解

根据已知数据运用lingo软件可求得最优解。

已知数据如下：

铲位10个，卸点5个，铲车7台，卡车20辆。

各卸点一个班次的产量要求：

矿石漏1.2万吨、倒装场Ⅰ1.3万吨、倒装场Ⅱ1.3万吨、岩石漏1.9万吨、岩场1.3万吨。

电铲的平均装车时间为5分钟，卡车的平均卸车时间为3分钟。

所用卡车载重量为154吨，平均时速

，所需矿石含铁量为

。

表1各铲位和卸点之间的距离

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石漏

5.26

5.19

4.21

4.00

2.95

2.74

2.46

1.90

0.64

1.27

倒装场Ⅰ

1.90

0.99

1.90

1.13

1.27

2.25

1.48

2.04

3.09

3.51

岩场

5.89

5.61

4.56

3.51

3.65

2.46

1.06

0.57

岩石漏

0.64

1.76

1.27

1.83

2.74

2.60

4.21

3.72

5.05

6.10

倒装场Ⅱ

4.42

3.86

3.72

3.16

2.25

2.81

0.78

1.62

1.27

0.50

表2各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石量

0．95

1．05

1．00

1．05

1．10

1．25

1．05

1．30

1．35

1．25

岩石量

1．25

1．10

1．35

1．05

1．15

1．35

1．05

1．15

1．35

1．25

铁含量

30%

28%

29%

32%

31%

33%

32%

31%

33%

31%

目标函数及约束条件如下：

目标函数：

S.T

通过运用lingo软件求解，可得到以下结果，用表格显示如下：

表3各个铲位的实际运输量

1.2474

1.0472

0.6622

0.6930

0.0308

0.8008

1.0708

1.4784

表4各个卸点的接收量

矿石漏

倒装场Ⅰ

岩场

岩石漏

倒装场Ⅱ

1.2012

1.3090

1.9096

1.3090

表5各个铲位到各个卸点的运送次数

铲位

卸点

矿石漏

倒装场Ⅰ

岩场

岩石漏

倒装场Ⅱ

说明：

数字1，2，3….表示相应的铲位，下同

表6车辆分配

铲位

卸点

矿石漏

倒装场Ⅰ

岩场

岩石漏

倒装场Ⅱ

由表5、6可得出适合题目的最优分配方案为：

表7派车方案

铲位

卸点

矿石漏

1（13）

2（52）

1（13）

倒装场Ⅰ

2（40）

2（45）

岩场

2（70）

1（15）

岩石漏

2（81）

2（43）

倒装场Ⅱ

1（15）

2（68）

说明：

2（81）从铲位1派2辆车运送81次

按照以上分配方案总运量（吨公里）最小为85607.06吨公里。

5.3问题二模型建立

利用现有的车辆获得最大的产量。

（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）

10个铲位和5个卸点所得的最大产量为

，即

问题一和问题二所要求解的目标不同，但除目标函数外，其他条件基本相同，建立非线性规划模型。

目标函数：

约束条件：

（1）铲位产出：

一个班次内，铲位的矿石的总运输量不超过该铲位的矿石生产量，

矿石：

岩石：

（

分别为各个铲位矿石和岩石的生产量）

（2）每个铲位装车次数的限制

每个铲位至多能安置一台电铲，电铲的平均装车时间为5分钟，故在一个班次（8小时）内，每个铲位的最多装车次数为

（车），所用卡车载重量为154吨，得到相应质量为

（吨），则产量限制为：

（3）每个班次内卸点的限制

每个卸点至多能安置一台卡车，卡车的平均卸车时间为3分钟，故在一个班次（8小时）内，每个卸点的最多卸车次数为

（车），所用卡车载重量为154吨，得到相应质量为

（吨），则卸点卸车次数应满足：

（4）卸点接收的矿石的平均含铁量：

一个班次内应尽量把矿石按矿石卸点需要的铁含量（假设要求都为

，称为品位限制）搭配起来送到卸点，根据题意的矿石卸点

的矿石平均含铁量：

（5）卸点接收量

在一个班次内，从10个铲位运往卸点的矿石（岩石）总量应不小于卸点的产量要求即：

（

为各个卸点的接收量）

最终由于所求是最小总运量（吨公里），因此列出目标函数如下：

在模型一的基础上加入岩石优先运输约束条件：

（6）岩石优先运输条件：

5.4问题二模型求解

问题二要求利用现有车辆运输，获得最大的产量（岩石产量优先；在产量相同的情况下，取总运量最小的解）。

同问题一，运用非线性规划求出最优解。

目标函数及约束条件如下：

目标函数：

约束条件：

ST：

运用lingo软件进行编程后获得结果如下：

表8各线路的运输量

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石漏

0.2

倒装场1

0.2176

1.0795

岩场

1.1787

0.6249

岩石漏

1．25

0.7185

1.05

倒装场2

0.2167

0.2692

0.8142

表9各线路所需车辆：

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石漏

倒装场1

岩场

岩石漏

倒装场2

此时总产量为：

10.42万吨。

六、模型评价

模型优点：

（1）问题一中我们根据题目要求建立非线性规划模型，求得题目所要求的最优解。

我们建立的模型具有一定的实用性，在露天矿生产过程中可以得到较好的应用。

（2）建立的模型既为露天矿的工作节省了时间，又节省了成本。

（3）运用matlab软件进行求解计算，因此得到的数据较为准确。

模型缺点：

（1）模型中的理想条件（如卡车运行过程中不熄火、无等待现象等）在现实环境下不能真正实现。

（2）现实条件下装车与卸车时间不可能完全按照题中所给标准实现。

参考文献

[1]陈宗海，过程系统建模与仿真，合肥：

中国科学技术大学出版社，1997

[2]邓成梁，运筹学得原理和方法，武汉：

华中科技大学出版社，2002

[3]费培之，数学模型实用教程，成都，四川大学出版社，1998。

[4]马振华，运筹学与最优化理论卷，北京：

清华大学出版社，1998

[5]蔡延光，钱积新，孙优贤，智能运输调度系统得设计与实现，决策与决策支持系统，6（4）：

108-114，1996

[6]黄光球，桂中岳，露天矿运输系统元胞自动机模糊仿真方法，旷冶，7

（1）：

14-24，1998

附录：

附录1：

各铲位和各卸点之间的距离（公里）如下表：

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石漏

5.26

5.19

4.21

4.00

2.95

2.74

2.46

1.90

0.64

1.27

倒装场Ⅰ

1.90

0.99

1.90

1.13

1.27

2.25

1.48

2.04

3.09

3.51

岩场

5.89

5.61

4.56

3.51

3.65

2.46

1.06

0.57

岩石漏

0.64

1.76

1.27

1.83

2.74

2.60

4.21

3.72

5.05

6.10

倒装场Ⅱ

4.42

3.86

3.72

3.16

2.25

2.81

0.78

1.62

1.27

0.50

各铲位矿石、岩石数量（万吨）和矿石的平均铁含量如下表：

铲位1

铲位2

铲位3

铲位4

铲位5

铲位6

铲位7

铲位8

铲位9

铲位10

矿石量

0．95

1．05

1．00

1．05

1．10

1．25

1．05

1．30

1．35

1．25

岩石量

1．25

1．10

1．35

1．05

1．15

1．35

1．05

1．15

1．35

1．25

铁含量

30%

28%

29%

32%

31%

33%

32%

31%

33%

31%

模型一代码：

model:

sets:

cw/1..10/:

HTL,cw_num,CWY,CWK,flag;!

cw_num:

铲位实际产量;

xd/1..5/:

xd_NEED,xd_num;!

xd_num:

卸点接收量;

link（xd,cw）:

distance,car_max,count,car_fp,car_yxcount;

car_max:

每一条路线上的最大总车次,count:

各铲位到各卸点的运送次数;

car_fp:

车辆具体分配，car_yxcount:

每辆车在每条线路最多运行的次数;

endsets

data:

HTL=30282932313332313331;

CWY=1.251.101.351.051.151.351.051.151.351.25;

CWK=0.951.051.001.051.101.251.051.301.351.25;

xd_NEED=1.21.31.31.91.3;

distance=5.265.194.214.002.952.742.461.900.641.27

1.900.991.901.131.272.251.482.043.093.51

5.895.615.614.563.513.652.462.461.060.57

0.641.761.271.832.742.604.213.725.056.10

4.423.863.723.162.252.810.781.621.270.50;

enddata

目标函数;

min=@sum（cw（i）:

@sum（xd（j）:

count（j,i）*154*distance（j,i）））;

卡车在一个班次内在每一条路线上最多可以运行的次数;

@for（link（i,j）:

car_yxcount（i,j）=@floor（（8*60-（@floor（（distance（i,j）/28*60*2+3+5）/5）-1）*5）/（distance（i,j）/28*60*2+3+5）））;

各个路线上的最大总车次数;

@for（link（i,j）:

car_max（i,j）=（@floor（（distance（i,j）/28*60*2+3+5）/5））*car_yxcount（i,j））;

计算各个铲位的总产量;

@for（cw（j）:

cw_num（j）=@sum（xd（i）:

count（i,j）））;

计算各个卸点的总需求量;

@for（xd（i）:

xd_num（i）=@sum（cw（j）:

count（i,j）））;

各铲位到各卸点的运送次数限制;

@for（link（i,j）:

count（i,j）<=car_max（i,j））;

每个班次内铲位铲出的产量限制;

@for（cw（j）:

cw_num（j）<=flag（j）*8*60/5）;

电铲数量约束

@sum（cw（j）:

flag（j））<=7;

卸点接收量限制;

@for（xd（i）:

xd_num（i）<=8*60/3）;

铲位产量约束;

@for（cw（i）:

count（1,i）+count（2,i）+count（5,i）<=CWK（i）*10000/154）;

@for（cw（i）:

count（3,i）+count（4,i）<=CWY（i）*10000/154）;

各卸点需求量限制;

@for（xd（i）:

xd_num（i）>=xd_NEED（i）*10000/154）;

含铁量限制;

@sum（cw（j）:

count（1,j）*（HTL（j）-30.5））<=0;

@sum（cw（j）:

count（2,j）*（HTL（j）-30.5））<=0;

@sum（cw（j）:

count（5,j）*（HTL（j）-30.5））<=0;

@sum（cw（j）:

count（1,j）*（HTL（j）-28.5））>=0;

@sum（cw（j）:

count（2,j）*（HTL（j）-28.5））>=0;

@sum（cw（j）:

count（5,j）*（HTL（j）-28.5））>=0;

各铲位及卸点车辆分配;

@for（link（i,j）:

car_fp（i,j）=count（i,j）/car_yxcount（i,j））;

各个路线所需卡车总数;

car_need=@sum（link（i,j）:

car_fp（i,j））;

车辆总数限制;

car_need<=20;

整数限制;

@for（link（i,j）:

@gin（count（i,j）））;

@for（cw（j）:

@bin（flag（j）））;

end

模型2代码：

model:

sets:

cw/1..10/:

HTL,cw_num,CWY,CWK,flag;!

cw_num:

铲位实际产量;

xd/1..5/:

xd_NEED,xd_num;!

xd_num:

卸点接收量;

link（xd,cw）:

distance,car_max,count,car_fp,

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