椭圆四 面积问题.docx
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椭圆四面积问题
椭圆四面积问题
椭圆四:面积问题
椭圆四：
有关面积问题
1.（2021一模）海淀19．（本小题满分13分）
已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，左右焦点分别为F1,F2，且|F1F2|2，点（1，在椭圆C上.（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）过F1的直线l与椭圆C相交于A,B两点，且
AF2B且与直线l相切的圆的方程.
19．（本小题满分13分）
F2为圆心3）2
解：
（Ⅰ）设椭圆的方程为221,（ab0），由题意可得：
椭圆C两焦点坐标分别为F1（1,0），F2（1,0）.
.……………1分
2a4.
a2,又c1b2413，
.……………3分
……………4分
x2y21.故椭圆的方程为43
.……………5分
（Ⅱ）当直线lx轴，计算得到：
A（1,）,B（1,），
SAF2B|AB||F1F2|323，不符合题意.
当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为：
yk（x1），
.……………6分
yk（x1）
由x2y2，消去y得（34.……………7分k2x）28k2x4k212，0
显然0成立，设A（x1,y1）,B（x2,y2），
8k24k212
x1x2,则x1x2
34k234k2
.……………8分
又|AB|
12（k21）
|AB|，.……………9分22
34k34k
.……………10分
所以SAFB
1112（k21）|AB|r22234k4
化简，得17kk180，
即（k21）（17k218）0，解得k1所以，r
.……………12分
故圆F2的方程为：
（x1）2y22.（Ⅱ）另解：
设直线l的方程为xty1，
.……………13分
xty1
由x2y2，消去x得（43t2）y26ty90，0恒成立，
134
设A（x1,y1）,B（x2,y2），则y1y2
yy,1222
43t43t
……………8分
|y1y2|
2的半径为r
.……………9分
，.……………10分
所以SAF2B
，解得|F1F2||y1y2||y1y2|27
……………12分
故圆F2的方程为：
（x1）2y22.2.朝阳（2021一模理）
19．（本小题满分14分）
.……………13分
已知A（2,0），B（2,0）为椭圆C的左、右顶点，F为其右焦点，P是椭圆C上异于A，B的动点，且
APB面积的最大值为
（Ⅰ）求椭圆C的方程及离心率；
（Ⅱ）直线AP与椭圆在点B处的切线交于点D，当直线AP绕点A转动时，试判断以BD
为直径的圆与直线PF的位置关系，并加以证明．
答案：
19．（本小题满分14分）
解：
（Ⅰ）由题意可设椭圆C的方程为221（ab0），F（c,0）．
2ab2
解得bc1．
a2,a2b2
1，离心率为．……6分故椭圆C的方程为
（Ⅱ）以BD为直径的圆与直线PF相切．
证明如下：
由题意可设直线AP的方程为yk（x2）（k0）.
则点D坐标为（2,4k），BD中点E的坐标为（2,2k）．
yk（x2）,
由x2y2得（34k2）x216k2x16k2120．
134
16k212
设点P的坐标为（x0,y0），则2x0．
12k68k2
yk（x2）所以x0，．……………………………10分0022
34k34k
因为点F坐标为（1,0），当k
时，点P的坐标为（1,），点D的坐标为（2,2）.22
直线PFx轴，此时以BD为直径的圆（x2）（y1）1与直线PF相切．
1y04k时，则直线PF的斜率kPF.2x0114k2
所以直线PF的方程为y
点E到直线PF
|BD|．2
2k8k314k22|k|．2
14k|14k2|
又因为|BD|4|k|，所以d
故以BD为直径的圆与直线PF相切．
综上得，当直线AP绕点A转动时，以BD为直径的圆与直线PF相切．………14分3.（2021顺义二模理19）.（本小题满分14分）已知椭圆C的左，右焦点坐标分别为F1,0,F2
3,0,离心率是
。
椭圆C的左，右顶点分2
别记为A,B。
点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线AS,BS与直线l:
x
（1）求椭圆C的方程；
（2）求线段MN长度的最小值；
（3）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上的T满足：
TSA的面积为
分别交于M,N两点。
3
。
试确定点T的个数。
5
，且c，所以a2,ba2c21
y21…………………………………………….3分所以椭圆C的方程为4
（2）易知椭圆C的左，右顶点坐标为A（2,0）,B（2,0）,直线AS的斜率k显然存在，且k0故可设直线AS的方程为yk（x2），从而M（
104,k）33
yk（x2）
得（14k）x16kx16k40x22
16k2428k2
设S（x1,y1），则
（2）x1，得x1
14k214k24k28k24kS（,从而y1，即222
14k14k14k
又B（2,0）,故直线BS的方程为y
（x2）4k
110y（x2）x4k3，所以N（10,4）由得
10433kyx33k
又k0，所以MN当且仅当
4k44k48233k33k3
时，即k1时等号成立33k
所以k1时，线段MN的长度取最小值………………………………..9分
（3）由
（2）知，当线段MN的长度取最小值时，k1
此时AS的方程为xy20，S（,,55
要使TSA的面积为，
只需点T到直线AS的距离等于
的直线l上4
所以点T在平行于AS且与AS距离等于
设l':
xyt0，则由
，解得t或t
y1324①当t时，由得5x12x50
2xy30
由于440，故直线l与椭圆C有两个不同交点
y152
②t时，由4得5x20x210
2xy50
由于200，故直线l与椭圆C没有交点
综上所求点T的个数是2.…
4.（2021寒假）东城19．（本小题满分13分）
的中心在原点，一个焦点F
．（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1，过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA，PB分别交椭圆C于另外两点A，B，求证：
直线AB的斜率为定值；（Ⅲ）求PAB面积的最大值．答案：
19．（本小题满分13分）
解：
（Ⅰ）设椭圆C的方程为221（ab0）．
a2b2c2,
由题意a:
b………………………………………………2分
c解得a4，b2．
1．………………………………………………4分所以椭圆C的方程为
（Ⅱ）由题意知，两直线PA，PB的斜率必存在，设PB的斜率为k，
则PB的直线方程为yk
yk（x1）,
（2k2）x22kk）xk）240.………………设A（xA,yA），B（xB
，xB1
同理可得xA，
则xAxB
8kyyk（x1）k（x1）
，.ABAB22
所以直线AB的斜率kAB
.……………………………………
（Ⅲ）设AB的直线方程为y
ym,
22由y2x2得4xm
由）216（m24）0，得m
8.……………………………………10分
m24此时xAxB，xAxB.
到AB的距离为d
则SPAB
2m2m282
因为m4使判别式大于零，所以当且仅当m2时取等号，
PAB13分5.（2021一模）石景山19．（本题满分14分）
已知椭圆221（ab0）的离心率为，长轴长为23，直线l:
ykxm交椭圆于不同
的两点A、B。
（1）求椭圆的方程；
（2）求m1,且0,求k的值（O点为坐标原点）；（3）若坐标原点O到直线l的距离为答案：
19．（本题满分14分）解：
（1）设椭圆的半焦距为c，
，求AOB面积的最大值。
2
由abc,得b1.2分
所求椭圆方程为y21.3分
（2）m1,ykx1.
设A（x1,y1）,B（x2,y2），
其坐标满足方程3
ykx1
消去y并整理得
（13k2）x26kx0,4分
则（6k）4（13k）（3k3）0（*）5分
6k3k23
x1x2故x1x26分22
13k13k
AOOB0
x1x2y1y2x1x2（kx11）（kx21）
（1k2）x1x2k（x1x2）k2
3k236kk2322
（1k）kk20
13k213k23k1
k经检验k*）式8分
（k1）9分4
将ykxm代入椭圆方程，整理得（13k2）x26kmkx3m230.
（6km）24（13k2）（3m23）0（*）
6km3m23
x1x2,x1x2.22
13k13k
36k2m212（m21）
|AB|（1k）（x2x1）（1k）[2]2
（3k1）3k1
12（k21）（3k21m2）3（k21）（9k21）
11分222
（3k1）（3k1）
343
9k6k21
34（k0）12分12369k226
当且仅当9k
时等号成立，3
满足（*）式3
经检验，k
当k0时，|AB3综上可知|AB|max2.13分
当|AB最大时，AOB的面积最大值S
14分2
6.海淀（2021寒假）
19.（本小题满分14分）
已知点M（1,y）在抛物线C:
y2px（p0）上，M点到抛物线C的焦点F的距离为2，直线
xb与抛物线交于A,B两点.2
（Ⅰ）求抛物线C的方程；
（Ⅱ）若以AB为直径的圆与x轴相切，求该圆的方程；（Ⅲ）若直线l与y轴负半轴相交，求AOB面积的最大值.答案：
19.（共14分）
解：
（Ⅰ）抛物线y22px（p0）的准线为x
，.....................................1分2
由抛物线定义和已知条件可知|MF|1（）12，
解得p2，故所求抛物线方程为y24x.......................................3分
yxb
（Ⅱ）联立，消x并化简整理得y28y8b0.2
2y4x
依题意应有6432b0，解得b2...............................................4分设A（x1,y1）,B（x2,y2），则y1y28,y1y28b，.............................................5分设圆心Q（x0,y0），则应有x0
x1x2yy2
y014.22
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r|y0|4，........................6分
又|AB|.所以
|AB|2r8，.........................................7分
解得b..........................................8分
5所以x1x22b2y12b2y24b16故所求圆的方程为（x方法二：
，所以圆心为（,4）.55
）（y4）216.............................................9分5
yxb联立，消掉y并化简整理得x2（4b16）x4b20，2
2y4x
依题意应有16（b4）216b20，解得b2.............................................4分设A（x1,y1）,B（x2,y2），则x1x24b16,x1x24b2..............................................5分设圆心Q（x0,y0），则应有x0
x1x2yy2
y014，22
因为以AB为直径的圆与x轴相切，得到圆半径为r|y0|4......................................6分
，又|AB|又|AB|2r
88，.............................................7分
解得b，..............................................8分
所以x1x2
，所以圆心为（,4）.55
）（y4）216..............................................9分5
故所求圆的方程为（x
（Ⅲ）因为直线l与y轴负半轴相交，所以b0，
又l与抛物线交于两点，由（Ⅱ）知b2，所以2b0，...........................................10分直线l：
y
xb整理得x2y2b0，2
，.................................................11分
的距离d所以SAOB
|AB|d4..................................................12分2
令g（b）b32b2，2b0，
g（b）3b24b3b（b）
由上表可得g（b）最大值为g（）................................................13分
所以当b时，AOB................................................14分
7.东城（2021一模理）（19）（本小题共13分）
y2x2已知椭圆221（ab0）的离心率为，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形
的顶点．斜率为k（k0）的直线l过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P，Q两点，线段PQ的垂直平分线与
y轴相交于点M（0,m）．
（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）求（Ⅲ）试用
表示△MPQ的面积，并求面积的最大值．
答案：
（19）（共13分）
解：
（Ⅰ）依题意可得，
，bc，
又abc，可得b1,a．
x21．所以椭圆方程为2
（Ⅱ）设直线l的方程为ykx1，
ykx1,由y2可得（k22）x22kx10．
x1,2
设P（x1,y1）,Q（x2,y2），则x1x2
xx，．12
k22k22
），k22k22
可得y1y2k（x1x2）2
设线段PQ中点为N，则点N的坐标为（由题意有kMNk1，
2k1．kk22
，k221．2
又k0，所以0m
（Ⅲ）设椭圆上焦点为F，
则SMPQ
FMx1
x1x2由m
k2，可得．
所以x1x2
又FM1m，
所以SMPQ
所以△MPQ的面积为2m（1m）（0m
设f（m）m（1m），
则f'（m）（1m）2（14m）．
可知f（m）在区间（0,）单调递增，在区间（,）单调递减．所以，当（0,）时，f（m）有最大值f（）
1427．64
所以，当（0,）时，△MPQ的面积有最大值
8.（2021西城二模理19.）（本小题满分14分）
x2y2已知椭圆M:
221（ab
0）的离心率为，且椭圆上一点与椭圆的两个焦点构成的三角
形周长为642．
（Ⅰ）求椭圆M的方程；
（Ⅱ）设直线l与椭圆M交于A,B两点，且以AB为直径的圆过椭圆的右顶点C，求ABC面积的最大值．
解：
（Ⅰ）因为椭圆M上一点和它的两个焦点构成的三角形周长为642，
所以2a2c642，……………1分
，所以c，………………2分
3，c………………4分
y21.………………5分所以b1，椭圆M的方程为9
（Ⅱ）方法一：
不妨设BC的方程yn（x3）,（n0），则AC的方程为y
（x3）.n
yn（x3）,
12222（n）x6nx9n10，………………6分由x2得2
设A（x1,y1），B（x2,y2），
81n2927n23
因为3x2，所以x2，………………7分
9n219n21273n2
同理可得x1，………………8分2
所以|BC|n，|AC|，………………10分22
9n1n9n
1，………………12分SABC|BC||AC|
设tn2，
则S，………………13分
64648t2t
当且仅当t时取等号，
所以ABC面积的最大值为.………………14分
方法二：
不妨设直线AB的方程xkym.
xkym,222由x2消去得（k9）y2kmym90，………………6分x2
y1,9
设A（x1,y1），B（x2,y2），
2kmm29
则有y1y22，y1y22.①………………7分
因为以AB为直径的圆过点C，所以CACB0.
由CA（x13,y1）,CB（x23,y2），
得（x13）（x23）y1y20.………………8分将x1ky1m,x2ky2m代入上式，
得（k21）y1y2k（m3）（y1y2）（m3）20.
或m3（舍）.………………10分5
所以m（此时直线AB经过定点D（,0），与椭圆有两个交点），
所以SABC|DC||y1
将①代入上式，解得m
1……………12分2设t
11,0t，
则SABC所以当t
（0,]时，SABC取得最大值.28898
9.（2021寒假）崇文（19）（本小题共14分）
已知椭圆的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，短轴长为2，且两个焦点和短轴的两个端点恰为一个正方形的顶点．过右焦点F与x轴不垂直的直线l交椭圆于P，Q两点．（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）当直线l的斜率为1时，求POQ的面积；
（Ⅲ）在线段OF上是否存在点M（m,0）,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形？
若存在，求出m
答案：
19）（共14分）
x2y2解：
（Ⅰ）由已知，椭圆方程可设为221ab0．----------------1分
∵两个焦点和短轴的两个端点恰为正方形的顶点，且短轴长为2，∴bc1,a
y21．----------------4分所求椭圆方程为2
（Ⅱ）右焦点F1,0，直线l的方程为yx1．设Px1,y1,Qx2,y2，
x22y22,12由得3y2y1y11,y2．，解得0
3yx1,
∴SPOQ
OFy1y2y1y2．----------------9分223
（Ⅲ）假设在线段OF上存在点Mm,00m1,使得以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形．因为
直线与x轴不垂直，所以设直线l的方程为ykx1k0．
x2y2,2222由可得12kx4kx2k20．
ykx1,
4k22k22
x1x2∴x1x2．
12k212k2
uuuruuur
xm,1y,MQ,m,MP12x2y
以MP,MQ为邻边的平行四边形是菱形
xyx2x10．其中y21
uuuruuuruuuruuuruuuruuurMPMQPQMPMQPQ0
x1x22m,y1y2x2x1,y2y10（x1x22m）（x2x1）（y1y2）（y2y1）0（x1x22m）k（y1y2）0
4k24k22
（2m）k
（2）0
12k212k2
k22k24km0mk0．212k
．----------------14分2
10.丰台18.（本小题满分13分）
已知O为平面直角坐标系的原点，过点M（2,0）的直线l与圆x2y21交于P、Q两点．
1
（Ⅰ）若OPOQ，求直线l的方程；
（Ⅱ）若OMP与OPQ的面积相等，求直线l的斜率．解：
（Ⅰ）依题意，直线l的斜率存在，
因为直线l过点M（2,0），可设直线l：
yk（x2）．
因为P、Q两点在圆xy1上，所以OPOQ1，
11因为OPOQ，所以OPOQOPOQcosPOQ
所以POQ120所以O到直线l的距离等于．
得k所以直线l
的方程为x2
0或x20…………………6分
（Ⅱ）因为OMP与OPQ的面积相等，所以MQ2MP，
设P（x1,y1），Q（x2,y2），所以
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