高考数学理科一轮复习 第7章 立体几何 第4讲课后作业.docx

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高考数学理科一轮复习第7章立体几何第4讲课后作业

A组　基础关

1．若平面α∥平面β，直线a∥平面α，点B∈β，则在平面β内且过B点的所有直线中（　　）

A．不一定存在与a平行的直线

B．只有两条与a平行的直线

C．存在无数条与a平行的直线

D．存在唯一与a平行的直线

答案　A

解析　当直线a在平面β内且过B点时，不存在与a平行的直线，故选A.

2．设m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，且m，n⊂α，则“α∥β”是“m∥β且n∥β”的（　　）

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分也不必要条件

答案　A

解析　若m，n⊂α，α∥β，则m∥β且n∥β；反之若m，n⊂α，m∥β且n∥β，则α与β相交或平行，即“α∥β”是“m∥β且n∥β”的充分不必要条件．

3．如图所示，P是三角形ABC所在平面外一点，平面α∥平面ABC，α分别交线段PA，PB，PC于A′，B′，C′，若PA′∶AA′＝2∶3，则△A′B′C′与△ABC面积的比为（　　）

A．2∶5B．3∶8

C．4∶9D．4∶25

答案　D

解析　∵平面α∥平面ABC，平面PAB∩α＝A′B′，平面PAB∩平面ABC＝AB，∴A′B′∥AB.又∵PA′∶AA′＝2∶3，∴A′B′∶AB＝PA′∶PA＝2∶5.同理B′C′∶BC＝A′C′∶AC＝2∶5.

∴△A′B′C′与△ABC相似，∴S△A′B′C′∶S△ABC＝4∶25，故选D.

4．（2017·全国卷Ⅰ）如图，在下列四个正方体中，A，B为正方体的两个顶点，M，N，Q为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线AB与平面MNQ不平行的是（　　）

答案　A

解析　A项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的中点，则QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD与平面MNQ相交，∴直线AB与平面MNQ相交．B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.

C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ.又AB⊄平面MNQ，MQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ.又AB⊄平面MNQ，NQ⊂平面MNQ，

∴AB∥平面MNQ.故选A.

5．在空间四边形ABCD中，E，F分别为AB，AD上的点，且AE∶EB＝AF∶FD＝1∶4，又H，G分别为BC，CD的中点，则（　　）

A．BD∥平面EFG，且四边形EFGH是平行四边形

B．EF∥平面BCD，且四边形EFGH是梯形

C．HG∥平面ABD，且四边形EFGH是平行四边形

D．EH∥平面ADC，且四边形EFGH是梯形

答案　B

解析　如图，由题意得EF∥BD，且EF＝

BD.又因为H，G分别为BC，CD的中点，所以HG∥BD，且HG＝

BD.所以EF∥HG，且EF≠HG.所以四边形EFGH是梯形．又EF∥平面BCD，而EH与平面ADC不平行，故选B.

6．在直三棱柱ABC－A1B1C1中，平面α与棱AB，AC，A1C1，A1B1分别交于点E，F，G，H，且直线AA1∥平面α.有下列三个命题：

①四边形EFGH是平行四边形；②平面α∥平面BCC1B1；③平面α⊥平面BCFE.其中的真命题是（　　）

A．①②B．②③

C．①③D．①②③

答案　C

解析　直线AA1∥平面α，且平面α与平面AA1C1C、平面AA1B1B分别交于FG，EH，所以AA1∥FG，AA1∥EH，所以FG∥EH.又平面ABC∥平面A1B1C1，平面α与平面ABC、平面A1B1C1分别交于EF，GH，所以EF∥GH.所以四边形EFGH为平行四边形．因为AA1∥平面α，且AA1⊥平面ABC，所以平面α⊥平面ABC，即平面α⊥平面BCFE.平面α与平面BCC1B1可能相交，考虑特殊情况：

F与C重合，G与C1重合，此时满足题意，但是两平面相交．综上，应选C.

7．如图，在三棱柱ABC－A′B′C′中，点E，F，H，K分别为AC′，CB′，A′B，B′C′的中点，G为△ABC的重心．从K，H，G，B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（　　）

A．KB．H

C．GD．B′

答案　C

解析　显然EF∥AB，A′B′∥EF，故再选P点时，面PEF内不能再有直线与棱平行，而选B′时只有AB一条棱与平面PEF平行．故选C.

8．设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题．

①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ.

可以填入的条件有________．

答案　①或③

解析　由面面平行的性质定理可知，①正确；当n∥β，m⊂γ时，n和m在同一平面内，且没有公共点，所以平行，③正确．

9．（2018·北京海淀模拟）如图，ABCD－A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M，N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP＝

，过P，M，N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ＝________.

答案　

a

解析　如图所示，连接AC，易知MN∥平面ABCD，又平面PQNM∩平面ABCD＝PQ，MN⊂平面PQNM，

∴MN∥PQ.

又∵MN∥AC，∴PQ∥AC.

又∵AP＝

，∴

＝

＝

＝

，

∴PQ＝

AC＝

a.

10．如图，在正四棱柱A1C中，E，F，G，H分别是棱CC1，C1D1，D1D，DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH及其内部运动，则M只需满足条件________时，就有MN∥平面B1BDD1.（注：

请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况）

答案　M位于线段FH上（答案不唯一）

解析　连接HN，FH，FN，则FH∥DD1，HN∥BD，

∴平面FHN∥平面B1BDD1，只要M∈FH，则MN⊂平面FHN，

∴MN∥平面B1BDD1.

B组　能力关

1．如图是正方体的平面展开图，关于这个正方体有以下判断：

①ED与NF所成的角为60°；②CN∥平面AFB；③BM∥DE；④平面BDE∥平面NCF.

其中正确判断的序号是（　　）

A．①③B．②③

C．①②④D．②③④

答案　C

解析　把正方体的平面展开图还原成正方体ABCD－EFMN，得ED与NF所成的角为60°，故①正确；CN∥BE，CN不包含于平面AFB，BE⊂平面AFB.

∴CN∥平面AFB，故②正确；BM与ED是异面直线，故③不正确；∵BD∥FN，BE∥CN，BD∩BE＝B，BD，BE⊂平面BDE，所以平面BDE∥平面NCF，故④正确．正确判断的序号是①②④，故选C.

2．（2016·全国卷Ⅰ）平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，α∥平面CB1D1，α∩平面ABCD＝m，α∩平面ABB1A1＝n，则m，n所成角的正弦值为（　　）

A.

B．

C．

D．

答案　A

解析　如图，过点A补作一个与正方体ABCD－A1B1C1D1相同棱长的正方体，易知m，n所成角为∠EAF1，因为△EAF1为正三角形，所以sin∠EAF1＝sin60°＝

，故选A.

3．如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝6，AB＝3，AD＝8，点M是棱AD的中点，点N在棱AA1上，且满足AN＝2NA1，P是侧面四边形ADD1A1内一动点（含边界）．若C1P∥平面CMN，则线段C1P长度的取值范围是（　　）

A．[

，5]B．[4,5]

C．[3,5]D．[3，

]

答案　A

解析　如图所示，取棱A1D1的中点E，在DD1上取点F，使D1F＝2DF，连接C1E，EF，C1F，EN，MF.

∵E，M分别是所在棱的中点，D1F＝2DF，AN＝2NA1，

∴Rt△D1EF≌Rt△AMN，

Rt△A1EN≌Rt△DMF.

∴EF＝MN，EN＝MF.

∴四边形MNEF为平行四边形，∴MN∥EF.

连接EM.∵E，M分别是A1D1，AD的中点，

∴A1E＝AM，A1E∥AM.

∴四边形A1AME是平行四边形．

∴AA1∥EM且AA1＝EM.

∴EM∥CC1，EM＝CC1，

∴四边形EMCC1是平行四边形．

∴C1E∥CM.又∵EF∩C1E＝E，MN∩CM＝M，

∴平面C1EF∥平面CNM.

∵P是侧面四边形ADD1A1内一点，且C1P∥平面CMN，

∴点P必在线段EF上．

∵AA1＝6，AB＝3，AD＝8，

∴C1E＝5，C1F＝5，EF＝4

，

∴△C1EF为等腰三角形．当P在EF的中点时，C1P⊥EF，此时C1P最短；当P位于E或F处时，C1P最长．

故（C1P）min＝

＝

＝

，（C1P）max＝C1E＝C1F＝5，

∴线段C1P长度的取值范围是[

，5]．故选A.

4．如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是平行四边形，四边形BDEF是矩形，G和H分别是CE和CF的中点．

求证：

平面BDGH∥平面AEF.

证明　在△CEF中，因为G，H分别是CE，CF的中点，所以GH∥EF，

又因为GH⊄平面AEF，EF⊂平面AEF，

所以GH∥平面AEF.

设AC∩BD＝O，连接OH，

在△ACF中，因为OA＝OC，CH＝HF，所以OH∥AF，

又因为OH⊄平面AEF，AF⊂平面AEF，

所以OH∥平面AEF.

又因为OH∩GH＝H，OH，GH⊂平面BDGH，

所以平面BDGH∥平面AEF.

C组　素养关

1．（2018·豫东名校联考）如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E为线段AD上的任意一点（不包括A，D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG.

证明：

FG∥平面AA1B1B.

证明　在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，BB1∥CC1，BB1⊂平面BB1D，CC1⊄平面BB1D，所以CC1∥平面BB1D.

又CC1⊂平面CEC1，平面CEC1与平面BB1D交于FG，

所以CC1∥FG.

因为BB1∥CC1，所以BB1∥FG.

而BB1⊂平面AA1B1B，FG⊄平面AA1B1B，

所以FG∥平面AA1B1B.

2．底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，E是AB上一点，且

＝

，在侧棱PD上能否找到一点F，使AF∥平面PEC.

解　设AF存在，过F点作DC的平行线交PC于点G，连接EG，如图．

∵AB∥CD，∴AE∥FG.

则AE，GF确定一个平面，

若AF∥平面PEC，则AF∥EG.

∴AE＝GF.而

＝

.∴AE＝

AB.

又AB＝CD，∴GF＝

DC.

∵GF∥DC，∴

＝

＝

.

∴存在这样的F点

，使AF∥平面PEC.