4 单摆.docx

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4单摆

4　单摆

记一记

单摆知识体系

1个模型——单摆是理想化的模型

1个公式——单摆的周期公式T＝2π

（θ<5°）

1个实验——测定当地的重力加速度

辨一辨

1.制作单摆的细线弹性越大、长度越短越好．（×）

2．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力．（×）

3．单摆经过平衡位置时受到的合力为零．（×）

4．若单摆的振幅变为原来的一半，则周期也将变为原来的一半．（×）

5．单摆的周期与摆球的质量有关，质量越大，周期越小．（×）

6．一个单摆在月球上摆动的周期大于其在地球上摆动的周期．（√）

想一想

1.单摆的摆长l等于悬线的长度吗？

提示：

不等于．单摆的摆长l等于悬线的长度与摆球的半径之和．

2．多多观察，写出生活中你能遇到哪些单摆模型．

提示：

坐钟、牛顿摆、秋千等．

3．由于单摆的回复力是由摆球的重力沿切线方向的分力提供的，那么是否摆球的质量越大，回复力越大，单摆摆动得越快，周期越小？

提示：

不是．摆球摆动的加速度除了与回复力有关外，还与摆球的质量有关，即a∝

，所以摆球质量增大后，加速度并不增大，其周期由T＝2π

决定，与摆球的质量无关．

4．将一个单摆移送到不同的星球表面时，周期会发生变化吗？

提示：

可能会．单摆的周期与所在地的重力加速度g有关，不同星球表面的重力加速度可能不同．

思考感悟：

练一练

1.下列有关单摆运动过程中的受力，说法正确的是（　　）

A．单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力

B．单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力

C．单摆经过平衡位置时合力为零

D．单摆运动的回复力是摆线拉力的一个分力

解析：

单摆运动是在一段圆弧上运动，因此单摆运动过程不仅有回复力，而且有向心力，即单摆的合外力不仅要提供回复力，而且要提供向心力，A项错误；单摆的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力，而不是摆线拉力的分力，B项正确，D项错误；单摆经过平衡位置时，回复力为零，向心力最大，故其合外力不为零，C项错误．

答案：

B

2．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是（　　）

A．t1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大

B．t2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小

C．t3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小

D．t4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大

解析：

在t1时刻和t3时刻摆球的位移最大，回复力最大，速度为零，A、C两项错误；在t2时刻和t4时刻摆球在平衡

位置，速度最大，悬线拉力最大，回复力为零，B项错误，D项正确．

答案：

D

3．如图是甲、乙两个单摆做简谐运动的图象，以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的正方向，从t＝0时刻起，当甲第一次到达右方最大位移处时，乙在平衡位置的（　　）

A．左方，向右运动B．左方，向左运动

C．右方，向右运动D．右方，向左运动

解析：

甲第一次到达右方最大位移处时，t＝1.5s，此时乙的位移为正值，且正在减小，故乙此时在平衡位置右侧，且向左运动，D项正确．

答案：

D

4．（多选）在用单摆测重力加速度的实验中，测得单摆偏角小于5°，实验中某学生所测g值偏大，其原因可能是（　　）

A．实验室离海平面太高

B．摆球太重

C．测出n次全振动时间为t，误作为（n＋1）次全振动时间进行计算

D．以摆线长与摆球直径之和作为摆长来计算

解析：

由单摆的周期公式T＝2π

得g＝

，g值偏大，可能是周期算小了或是摆长算长了，故C、D两项正确．

答案：

CD

要点一对单摆回复力及运动特征的理解

1.关于单摆，下列认识正确的是（　　）

A．一根线系着一个球悬挂起，这样的装置就是单摆

B．可以看成单摆的装置中，细线的伸缩和质量忽略不计，线长比小球直径大得多

C．单摆的振动总是简谐运动

D．两个单摆只要结构相同，它们的振动步调便相同

解析：

单摆是实际摆的理想化模型，实际摆只有在不计绳的伸缩、质量和阻力以及小球可以看作质点时才能看作单摆，A项错误，B项正确；单摆的运动只有在摆角很小时才能看作简谐运动，C项错误；两单摆结构相同时，振动步调不一定相同，D项错误．

答案：

B

2．对于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是（　　）

A．在位移为正的区间，速度和加速度都一定为负

B．当位移逐渐增大时，回复力逐渐增大，振动的能量也逐渐增大

C．摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，摆线所受拉力最大

D．摆球在最大位移处时，速度为零，处于平衡状态

解析：

在位移为正的区间，回复力F＝－kx为负，加速度为负，但速度可正可负，A项错误；当位移增大时，回复力增大，振动的能量不变，B项错误；平衡位置为摆球最低位置，摆球经过平衡位置时，速度最大，势能最小，由FT－mg＝

可知，在平衡位置摆线所受拉力最大，C项正确；摆球在最大位移处，速度为零，但加速度不为零，并不处于平衡状态，D项错误．

答案：

C

要点单摆的周期公式

3.甲、乙两个单摆摆长相等，将两个单摆的摆球由平衡位置拉开，使摆角α甲>α乙（α甲、α乙都小于5°），在同一地点由静止开始同时释放，则（　　）

A．甲先到达平衡位置

B．乙先到达平衡位置

C．甲、乙同时到达平衡位置

D．无法判断

解析：

由单摆的周期公式T＝2π

，可知周期T与l、g有关，与质量、摆动的幅度无关，当在同一地点释放时，周期只与摆长有关，故同时释放，同时到达平衡位置，故C项正确．

答案：

C

4．一个单摆，在第一个行星上的周期为T1，在第二个行星上的周期为T2，若这两个行星的质量之比为M1：

M2＝4：

1，半径之比R1：

R2＝2：

1，则（　　）

A．T1：

T2＝1：

1B．T1：

T2＝4：

1

C．T1：

T2＝2：

1D．T1：

T2＝1：

2

解析：

单摆的周期公式为T＝2π

，同一单摆即有T∝

，又据万有引力定律mg＝G

，有g＝

，因此T∝

，故T1：

T2＝

＝

＝1：

1，故A项正确．

答案：

A

5．如图所示，光滑糟的半径R远大于小球运动的弧长，今有两个小球（视为质点）同时由静止释放，其中甲球开始时离槽最低点O远些，则它们第一次相遇的地点在（　　）

A．O点

B．O点偏左

C．O点偏右

D．无法确定，因为两小球质量关系未定

解析：

由于半径R远大于运动的弧长，所以小球做简谐运动，其周期都为T＝2π

，与位移的大小无关，故同时到达O点，A项正确．

答案：

A

要点三实验：

用单摆测定重力加速度

6．某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：

（1）用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.

（2）小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________．（填选项前的字母）

A．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时

B．测量摆球通过最低点100次的时间t，则单摆周期

C．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大

D．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小

解析：

（1）主尺读数加游标尺读数的总和等于最后读数，0.9cm＋7×

mm＝0.97cm，不需要估读．

（2）单摆符合简谐运动的条件是最大偏角不超过5°，并从平衡位置计时，故A项错误；若第一次过平衡位置计为“0”，则周期T＝

，若第一次过平衡位置计为“1”，则周期T＝

，B项错误；由T＝2π

得g＝

，其中L为摆长，即悬线长加摆球半径，若为悬线长加摆球直径，由公式知g偏大，故C项正确；为了能将摆球视为质点和减少空气阻力引起的相对误差，应选密度较大体积较小的摆球，故D项错误．

答案：

（1）0.97　

（2）C

7．在“用单摆测重力加速度”的实验中，

（1）某同学的操作步骤为：

a．取一根细线，下端系住直径为d的金属小球，上端固定在铁架台上

b．用米尺量得细线长度l

c．在摆线偏离竖直方向5°位置释放小球

d．用秒表记录小球完成n次全振动的总时间t，得到周期T＝

e．用公式g＝

计算重力加速度

按上述方法得出的重力加速度值与实际值相比________（选填“偏大”“相同”或“偏小”）．

（2）已知单摆在任意摆角θ时的周期公式可近似为T′＝T0

，式中T0为摆角趋近于0°时的周期，a为常数．为了用图象法验证该关系式，需要测量的物理量有______________________________________________________________．

若某同学在实验中得到了如图所示的图线，则图象中的横轴表示________________．

解析：

（1）在实验操作中有一项存在问题．用米尺量得细线的长度l，在计算时就把l作为摆长来处理了，这是不妥的，应该再加上小球的半径．因摆长等于在单摆自然下垂时从悬点到球心的距离．由此判断，所得重力加速度的值偏小．

（2）要验证T′＝T0

，具体做法是测量在不同摆角下的周期．由此我们需要测量摆角θ，测量在该摆角下摆n次全振动的总时间t′，得到周期T′＝

.改换摆角，再次测量．

将图象中的直线反向延长后与横轴有交点，该交点的意义是摆角接近0°时的单摆的周期T0，所以得横轴是T′.

答案：

（1）偏小　

（2）T′（或t′、n）、θ　T′

基础达标

1.在如图所示的装置中，可视为单摆的是（　　）

解析：

单摆是由不可伸长的细线和金属小球组成的，其悬点应在摆球摆动过程中固定不变，故只有A项正确．

答案：

A

2．在月球上周期相等的弹簧振子和单摆，把它们放到地球上后，弹簧振子的周期为T1，单摆的周期为T2，则T1和T2的关系为（　　）

A．T1>T2B．T＝T2

C．T1

解析：

弹簧振子的周期由振动系统本身决定，与重力加速度无关，故T1＝T月，对单摆来说，由T＝2π

可知，其周期与单摆所处位置的重力加速度g有关，因g地>g月，故T2T2，A项正确，B、C、D三项错误．

答案：

A

3．天津市某中学生在本校实验室利用一单摆做小角度摆动，通过实验得到摆球振动位移x随时间t变化的关系如图所示，则下列说法正确的是（　　）

A．该同学所用单摆摆长约为1m

B．t＝0时刻与t＝1s时刻摆球的速度相同

C．t＝0时刻摆球加速度为零，所受合力为零

D．t＝0.5s时刻摆线的拉力最大

解析：

从图象可以知道，T＝2s，T＝2π

，L＝

≈1m，A项正确；t＝0时刻与t＝1s时刻摆球都处于平衡位置，速度大小相等，但方向相反，B项错误；t＝0时刻摆球处于平衡位置即最低点，单摆实际上在一定的弧度内做圆周运动，如图．在最低点，合力提供向心力，所以合力和加速度都不为零，故C项错误；t＝0.5s时，在最大位移处，速度为0，重力沿绳子方向的分力G1与绳子拉力T′平衡，T′＝G1，拉力比重力小，而在平衡位置速度最大，合力提供向心力即T－G＝m

，拉力比重力大，D项错误．

答案：

A

4．如图所示，单摆的周期为T，则下列说法正确的是（　　）

A．把摆球质量增加一倍，其它条件不变，则单摆的周期变小

B．把摆角α变小，其它条件不变，则单摆的周期变小

C．将此摆从地球移到月球上，其它条件不变，则单摆的周期将变长

D．将单摆摆长增加为原来的2倍，其它条件不变，则单摆的周期将变为2T

解析：

根据单摆的周期公式T＝2π

可知，周期与摆球的质量和摆角无关，摆长增加为原来的2倍，周期变为原来的

倍，故A、B、D三项错误；月球表面的重力加速度小于地球表面的重力加速度，由周期公式T＝2π

知，将此摆从地球移到月球上，单摆的周期将变长，C项正确．

答案：

C

5．两个相同的单摆静止于平衡位置，使摆球分别以水平初速度v1、v2（v1>v2）在竖直平面内做小角度摆动，它们的频率与振幅分别为f1、f2和A1、A2，则（　　）

A．f1＞f2，A1＝A2B．f1＜f2，A1＝A2

C．f1＝f2，A1＞A2D．f1＝f2，A1＜A2

解析：

由单摆周期公式T＝2π

可知，单摆振动的周期或频率只与摆长和当地重力加速度有关，因此两单摆的频率相等，即f1＝f2；由机械能守恒定律有

mv2＝mgh，解得h＝

，即摆球经过平衡位置的速度越大，达到的高度越高，其振幅也就越大，C项正确．

答案：

C

6．如图所示，用绝缘细线悬吊着的带正电小球在匀强磁场中做简谐运动，则（　　）

A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同

B．当小球每次通过平衡位置时，速度相同

C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同

D．撤去磁场后，小球摆动周期变大

解析：

小球摆动过程中，洛伦兹力垂直速度，所以回复力不变，所以周期不变，故D项错误；因洛伦兹力不做功，每次通过平衡位置时动能相同，但速度不同，故A项正确，B项错误；由于通过平衡位置时的速度方向不同，所受洛伦兹力方向不同，丝线的拉力大小不同，故C项错误．

答案：

A

7．在同一地点，单摆甲的周期是单摆乙的周期的4倍，下列说法正确的是（　　）

A．甲的频率是乙的4倍B．甲的摆长是乙的16倍

C．甲的振幅是乙的4倍D．甲的振动能量是乙的4倍

解析：

由单摆的周期公式T＝2π

，可知L＝

，故B项正确；甲的频率是乙的频率的

，故A项错误；虽然甲、乙两单摆的摆长有L甲＝4L乙，但两个单摆的摆角不确定，两摆球质量不确定，故C、D两项错误．

答案：

B

8．有一天体半径为地球半径的2倍，平均密度与地球相同，将在地球表面走时准确的摆钟移到该星球表面，秒针走一圈的实际时间为（　　）

A.

minB.

min

C.

minD．2min

解析：

由万有引力公式得

＝mg，天体表面的重力加速度g＝

，M＝

πR3ρ，所以该天体表面重力加速度g′是地球表面重力加速度的2倍，即g′＝2g，由单摆的周期公式T＝2π

，得出T′＝

T，秒针走一圈时，完成全振动的次数相同，由于周期不同，所以实际经历的时间不同，该摆钟在地球上秒针转一圈时间为1min，在该天体表面秒针转一圈时间为

min，故B项正确．

答案：

B

9．把调准的摆钟由北京移到广州，下列说法正确的是（　　）

A．变慢了，要使它变准确应该增加摆长

B．变慢了，要使它变准确应该减短摆长

C．变快了，要使它变准确应该增加摆长

D．变快了，要使它变准确应该减短摆长

解析：

北京所处位置的纬度比广州所处位置的纬度高，即北京当地的重力加速度比广州的重力加速度大，由单摆的周期公式T＝2π

可知，从北京移到广州后，单摆的周期变长了，摆钟变慢了，要调准摆钟应减小摆长，从而使周期恢复到原来的值．时钟才能走时准确，故B项正确．

答案：

B

10．如图所示，三根细线在O点处打结，A、B端固定在同一水平面上相距为l的两点上，使△AOB成直角三角形，∠BAO＝30°，已知OC线长也是l，下端C点系着一个小球，下列说法正确的是（以下皆指小角度摆动，重力加速度为g）（　　）

A．让小球在纸面内振动，周期T＝2π

B．让小球垂直纸面振动，周期T＝2π

C．让小球在纸面内振动，周期T＝2π

D．让小球垂直纸面振动，周期T＝2π

解析：

让小球在纸面内振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为l，周期T＝2π

；让小球垂直纸面振动，在偏角很小时，单摆做简谐运动，摆长为

，周期T′＝2π

，A项正确，B、C、D三项错误．

答案：

A

能力达标

11．

（1）在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l和周期T计算重力加速度的公式是g＝________.若已知摆球直径为2.00cm，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________m．若测定了40次全振动的时间为75.2s，单摆摆动周期是________．

（2）为了提高测量精度，需多次改变l值，并测得相应的T值．现将测得的六组数据标示在以l为横坐标，以T2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：

①单摆做简谐运动应满足的条件是________．

②试根据图中给出的数据点作出T2和l的关系图线，根据图线可求出g＝________m/s2.（结果取两位有效数字）

解析：

（1）由T＝2π

，可知g＝

.由图可知：

摆长l＝（88.50－1.00）cm＝87.50cm＝0.8750m，T＝

＝1.88s.

（2）①单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.

②把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k＝

.由T2＝

L得k＝

，所以g＝

＝9.8m/s2.（9.9m/s2也正确）．

答案：

（1）

　0.8750m　1.88s

（2）①摆角小于5°　②9.8m/s2（9.9m/s2也正确）

12．将一单摆装置竖直悬挂于某一深度为h（未知）且开口向下的小筒中（单摆的下部分露于筒外），如图甲所示，将悬线拉离平衡位置一个小角度后由静止释放，设单摆摆动过程中悬线不会碰到筒壁，如果本实验的长度测量工具只能测量出筒的下端口到摆球球心的距离L，并通过改变L而测出对应的摆动周期T，再以T2为纵轴、L为横轴作出函数关系图象，那么就可以通过此图象得出小筒的深度h和当地的重力加速度g.

（1）现有如下测量工具：

A.时钟；B.停表；C.天平；D.毫米刻度尺．本实验所需的测量工具有________．

（2）如果实验中所得到的T2L关系图象如图乙所示，那么真正的图象应该是a、b、c中的________．

（3）由图象可知，小筒的深度h＝________m；当地重力加速度g＝________m/s2.

解析：

（1）测量筒的下端口到摆球球心之间的距离L要用到毫米刻度尺，测单摆的周期需要用停表，所以测量工具选B、D.

（2）设摆线在筒内部分的长度为h，由T＝2π

得，T2＝

L＋

h，可知T2L关系图象为a.

（3）将T2＝0，L＝－30cm代入上式可得h＝30cm＝0.3m；将T2＝1.20s2，L＝0代入上式可求得g＝π2m/s2≈9.86m/s2.

答案：

（1）BD　

（2）a　（3）0.3　9.86

13．一个单摆的摆长为l，在其悬点O的正下方0.19l处有一钉子P（如图所示），现将摆球向左拉到A处，使摆线偏角θ<5°，放手后使其摆动，摆动到B的过程中摆角也小于5°，求出单摆的振动周期．

解析：

释放后摆球到达右边最高点B处，由机械能守恒可知B和A等高，则摆球始终做简谐运动．单摆做简谐运动的摆长有所变化，它的周期为两个不同单摆的半周期的和．

小球在左边的周期为T1＝2π

小球在右边的周期为T2＝2π

则整个单摆的周期为T＝

＋

＝π

＋π

＝1.9π

.

答案：

1.9π