全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全.docx
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全国卷高考数学圆锥曲线大题集大全
.
高考二轮复习专项:
圆锥曲线大题集
1.如图,直线l1与l2是同一平面内两条互相垂直的直线,交点是A,点B、D在直线l1上
(B、D位于点A右侧),且|AB|=4,|AD|=1,M是该平面上的一个动点,M在l1上的射影
点是N,且|BN|=2|DM|.
(Ⅰ)建立适当的坐标系,求动点M的轨迹C的方程.
(Ⅱ)过点D且不与l1、l2垂直的直线l交(Ⅰ)中的轨迹C于E、F两点;另外平面上的点G、
H满足:
AGAD(R);GEGF
2GH;GHEF0.
求点G的横坐标的取值X围.
l2
e
3
M
2
2.
设椭圆的中心是坐标原点,焦点在
x轴上,离心率
,点P(0,3)到这个椭圆
上的点的最远距离是
4,求这个椭圆的方程.
B
D
N
B
l1
A
x2
y2
1(a
b
0)
x
25,
3.
C1:
b2
椭圆
a2
的一条准线方程是
4
其左、右顶点分别
是A、B;双曲线C2
x2
y2
:
a2
b2
1
的一条渐近线方程为3x-5y=0.
〔Ⅰ〕求椭圆
C1的方程及双曲线
C2的离心率;
〔Ⅱ〕在第一象限内取双曲线
C2上一点P,连结AP交椭圆C1于点M,连结PB并延长交椭圆
1
于点N,假设AM
MP.
求证:
MN
AB0.
C
4.
椭圆的中心在坐标原点
O,右焦点F〔c,0〕到相应准线的距离为
1,倾斜角为45°的直线
交椭圆于A,B两点.设AB中点为M,直线AB与OM的夹角为
a.
〔1〕用半焦距c表示椭圆的方程及
tan;
〔2〕假设2<3,求椭圆率心率
e的取值X围.
x
2
y2
6
5.椭圆a
2
b2
e
〔a>b>0〕的离心率
3,过点A〔0,-b〕和B〔a,0〕的直线
3
与原点的距离为2
〔1〕求椭圆的方程
〔2〕定点E〔-1,0〕,假设直线y=kx+2〔k≠0〕与椭圆交于CD两点问:
是否存在k的值,使以CD为直径的圆过E点?
请说明理由
6.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0),平面内
两点G,M同时满足以下条件:
①GAGBGC0
MAMB
MC
;②
;③GM∥AB
Word资料
.
〔1〕求ABC的顶点C的轨迹方程;
〔2〕过点
P(3,0)的直线l与〔1〕中轨迹交于
E,F两点,求PEPF的取值X围
7.
设x,y
R,i,j
为直角坐标平面内x轴.y轴正方向上的单位向量,假设
a
xi(y2)j,bxi
(y2)j,且|a||b|8
〔Ⅰ〕求动点
M(x,y)的轨迹C的方程;
〔Ⅱ〕设曲线
C上两点A.B,满足
(1)
直线AB过点〔0,3〕,
(2)假设OP
OAOB,那么OAPB
为矩形,试求
AB方程.
8.
抛物线
C:
y2
m(xn),(m
0,n
0)的焦点为原点,C的准线与直线
l:
kxy2k
0(k
0)的交点M在x轴上,l与C交于不同的两点A、B,线段AB的垂直
平分线交x轴于点N〔p,0〕.
〔Ⅰ〕求抛物线
C的方程;
〔Ⅱ〕XX数
p的取值X围;
〔Ⅲ〕假设C的焦点和准线为椭圆Q的一个焦点和一条准线,试求Q的短轴的端点的轨迹方程.
9.
如图,椭圆的中心在原点,长轴
AA1在x轴上.以A、A1为焦点的双曲线交椭圆于
C、D、
1
AE
2
3
D1、C1四点,且|CD|=
2|AA1|.椭圆的一条弦
AC交双曲线于E,设EC
,当3
4
时,求双曲线的离心率
e的取值X围.
Word资料
.
10.
三角形ABC的三个顶点均在椭圆4x2
5y2
80上,且点A是椭圆短轴的一个端
点〔点A在y轴正半轴上〕.
假设三角形ABC的重心是椭圆的右焦点,试求直线
BC的方程;
假设角A为900
,AD垂直BC于D,试求点D的轨迹方程.
11.
如图,过抛物线x2
4y的对称轴上任一点
P(0,m)(m
0)作直线与抛物线交于A,B
两点,点Q是点P关于原点的对称点.
(1)
设点P分有向线段
AB所成的比为
,证明:
QP(QAQB);
(2)
设直线AB的方程是x
2y
12
0,过A,B两点的圆C与抛物线在点
A处有共同的
切线,求圆C的方程.
p2
p
12.
动点P〔p,-1〕,Q〔p,
1
2〕,过Q作斜率为2
的直线l,PQ中点M的轨迹
为曲线C.
〔1〕证明:
l经过一个定点而且与曲线
C一定有两个公共点;
〔2〕假设〔1〕中的其中一个公共点为
A,证明:
AP是曲线C的切线;
〔3〕设直线AP的倾斜角为
,AP与l的夹角为
,证明:
或
是定值.
Word资料
.
13.在平面直角坐标系内有两个定点
F1、F2和动点
P,F1、F2坐标分别为F1(
1,0)、
|PF1|
2
F2(1,0),动点P满足|PF2
|
2
,动点P的轨迹为曲线C,曲线C关于直线y
x的对
称曲线为曲线C',直线y
x
m
3与曲线C'交于A、B两点,O是坐标原点,△ABO的面
积为7,
〔1〕求曲线C的方程;〔2〕求m的值。
x2
y
2
1(a
0,b0)
14.双曲线a2
b2
的左右两个焦点分别为F1、F2,点P在双曲线右支
上.
3
41
16
(
5
)
PF1PF2,求双曲线的方程;
〔Ⅰ〕假设当点P的坐标为
5
时,
〔Ⅱ〕假设|PF1|3|PF2
|,求双曲线离心率e的最值,并写出此时双曲线的渐进线方程.
x2
y
2
1
a
b
15.假设F1、F2为双曲线
的左右焦点,O为坐标原点,P在双曲线的左支上,点
F1O
OF1
OM
0)
PM,OP(
)(
M在右准线上,且满足;
OF1
OM1
.
〔1〕求该双曲线的离心率;
〔2〕假设该双曲线过
N〔2,
3〕,求双曲线的方程;
〔3〕假设过N〔2,
3〕的双曲线的虚轴端点分别为
B1、B2〔B1在y轴正半轴上〕,点A、B
在双曲线上,且B2
A
B2B,求B1A
B1B时,直线AB的方程.
16.以O为原点,OF所在直线为x轴,建立如
所示的坐标系。
设
OFFG1,点F的
坐标为(t,0),t[3,
),点G的坐标为(x0,y0)。
〔1〕求x0关于t的函数x0
f(t)的表达式,判断函数
f(t)的单调性,并证明你的判断;
(2〕设OFG的面积最小值时椭圆的方程;
S
31t
G,求当|OG|取
6,假设以O为中心,F为焦点的椭圆经过点
Word资料
.
(0,9)
PD
(1),
〔3〕在〔2〕的条件下,假设点P的坐标为
2,C、D是椭圆上的两点,且PC
XX数
的取值X围。
Word资料
.
17.点C为圆(x1)2y28的圆心,点A〔1,0〕,P是圆上的动点,点Q在圆的
半径CP上,且MQ
AP
0,AP
2AM.
〔Ⅰ〕当点P在圆上运动时,求点
Q的轨迹方程;
〔Ⅱ〕假设直线y
kx
k2
1与〔Ⅰ〕中所求点
Q
的轨迹交于不同两点
F,H,O是坐标原点,
2
3
OFOH
4,求△FOH的面积的取值X围。
且3
18.如下图,O是线段AB的中点,|AB|=2c,以点A为圆心,2a为半径作一圆,其中a
c。
〔1〕假设圆A外的动点P到B的距离等于它到圆周的最短距离,建立适当坐标系,求动点
P
A
O
B
的轨迹方程,并说明轨迹是何种曲线;
〔2〕经过点O的直线l与直线AB成60°角,当c=2,a=1时,动点P的轨迹记为E,设过点B的直线m交曲线E于M、N两点,且点M在直线AB的上方,求点M到直线l的距离d的取值X围。
Word资料
.
19.设O为坐标原点,曲线x2y22x6y10上有两点P、Q满足关于直线
xmy40对称,又以PQ为直径的圆过O点.
〔1〕求m的值;
〔2〕求直线PQ的方程.
20.在平面直角坐标系中,假设a
(x
3,y),b(x3,y),且a
b
4
,
〔1〕求动点Q(x,y)的轨迹C的方程;
〔2〕定点P(t,0)(t
0),假设斜率为1的直线l过点P并与轨迹C交于不同的两点A,B,
且对于轨迹C上任意一点M,都存在
[0,2],使得OMcos
OA
sin
OB成立,
试求出满足条件的实数
t的值。
x2
y2
1
〔a>0,b>0〕的右准线l2与一条渐近线l交于两点
21.双曲线
a2
b2
P、Q,F
是双曲线的右焦点。
〔I〕求证:
PF⊥l
;
〔II〕假设△PQF为等边三角形,且直线
y=x+b交双曲线于A,B两点,且AB
30,求双
曲线的方程;
(III〕延长FP交双曲线左准线l1和左支分别为点M、N,假设M为PN的中点,求双曲线的离心率e。
22.又曲线在左右顶点分别是A,B,点P是其右准线上的一点,假设
点A关于点P的对称点是M,点P关于点B的对称点是N,且M、N都在此双曲线上。
〔I〕求此双曲线的方程;
〔II〕求直线MN的倾斜角。
23.
如图,在直角坐标系中,
点A〔-1,0〕,B〔1,0〕,P〔x,y〕〔y
0〕。
设AP、OP、BP
与x轴正方向的夹角分别为
α、β、γ,假设
。
〔I〕求点P的轨迹G的方程;
〔II〕设过点C〔0,-1〕的直线l与轨迹G交于不同两点
M、N。
问在x轴上是否存在
一点Ex0,0,使△MNE为正三角形。
假设存在求出
x0值;假设不存在说明理由。
x2
y2
F1
2,0
24.
C:
2
b
21ab0
,且焦点为
设椭圆a
过点M2,1
。
Word资料
.
〔1〕求椭圆C的方程;
〔2〕当过点P4,1
的动直线与椭圆C相交与两不同点
A、B时,在线段AB上取点Q,
满足APQB
AQ
PB,证明:
点Q总在某定直线上。
25.
平面直角坐标系中,
O为坐标原点,给定两点
A〔1,0〕、B〔0,-2〕,点C满足
OC
OA
OB,其中
、
R,且
2
1
〔1〕求点C的轨迹方程;
x2
y2
1(a
0,b
0)
〔2〕设点C的轨迹与双曲线a2
b2
交于两点M、N,且以MN为直径的圆
1
1
为定值
过原点,求证:
a2
b2
.
26.
设F(1,0)
,M、P分别为x轴、y轴上的点,且
PMPF
0,动点N满足:
MN
2NP.
〔1〕求动点N的轨迹E的方程;
〔2〕过定点C(c,0)(c
0)任意作一条直线
l与曲线E交与不同的两点
A、B,问在x轴
上是否存在一定点Q,使得直线
AQ、BQ的倾斜角互补?
假设存在,求出
Q点的坐标;假设
不存在,请说明理由.
3
1
27.
如图,直角梯形
ABCD中,∠DAB
90
,AD∥BC,AB=2,AD=2,BC=2
椭圆F以A、B为焦点,且经过点
D,
〔Ⅰ〕建立适当的直角坐标系,求椭圆
F的方程;
〔Ⅱ〕是否存在直线
l与
椭圆F交于M、
MN的中点为点C
,假设存在,求直
N两点,且线段
线l的方程;假设不存在,说明理由.
D
28.
如下图,B〔–c,0〕,C〔c,0〕,AH⊥BC,垂足为H,且BH3HC.
A
C
〔1〕假设ABAC=0,求以B、C为焦点并且经过点A的椭圆的离心率;
B
〔2〕D分有向线段AB的比为,A、D同在以B、C为焦点的椭圆上,
7
当―5≤≤2时,求椭圆的离心率e的取值X围.
Word资料
.
29.在直角坐标平面中,ABC的两个顶点A,B的坐标分别为A(1,0),B(1,0),平面内
两点G,M同时满足以下条件:
①GA
MA
MB
MC
GBGC0;②
;③GM∥AB
〔1〕求
ABC的顶点C的轨迹方程;
〔2〕过点
P(3,0)的直线l与〔1〕中轨迹交于
E,F两点,求PEPF的取值X围
答案:
1.解:
(Ⅰ)
以A点为坐标原点,l1
为x轴,建立如下图的坐标系,
那么D(1,0),B(4,0),
设M〔x,y〕,那么N〔x,0〕.
∵|BN|=2|DM|,
∴|4-x|=2(x-1)2+y2,
整理得3x2+4y2=12,
∴动点M的轨迹
x2y2
方程为4+3=1.
(Ⅱ)∵AG
AD(R),
∴A、D、G三点共线,即点
G在x轴上;又∵GE
GF2GH,∴H点为线段EF的中点;
又∵GHEF
0,∴点G是线段EF的垂直平分线
GH与x轴的交点。
设l:
y=k(x-1)(k≠0),代入3x2+4y2=12得
(3+4k2)x2-8k2x+4k2-12=0,由于l过点D(1,0)是椭圆的焦点,
∴l与椭圆必有两个交点,
设E(x1,y1),F(x2,y2),EF的中点H的坐标为〔x0,y0〕,
∴x1+x2=
8k2
,x1x2=
4k2-12
,
3+4k2
3+4k2
x1+x2
4k2
-3k
x0=
=
,y0=k(x0-1)=
,
2
3+4k2
3+4k2
∴线段EF的垂直平分线为
1
y-y0=-k(x-x0),令y=0得,
-3k2
4k2
k2
点G的横坐标xG=ky0+x0=
+
3+4k2
=
3+4k2
3+4k2
1
3
=-
,
4
4(3+4k2)
∵k≠0,∴k2>0,∴3+4k2>3,0<
1
<1
,∴-1
<-
3
<0,
(3+4k2)
3
4
4(3+4k2)
Word资料
.
∴xG=
1
-
3
(0,1
〕
4
4(3+4k2)
4
∴点G的横坐标的取值X围为
(0,
1
〕.
4
e
3
c
3a
2.解:
∵
2
,∴
2
由a2
b2
c2
得
a
2b
x2
y2
1
4b2
b2
0〕
∴设椭圆的方程为
〔b
即x2
4b2
4y2〔
byb〕
设M(x,y)是椭圆上任意一点,那么
|PM|2
x2
(y3)2
3(y1)2
4b2
12
〔b
yb〕
假设b
1即
b
1
b,那么当y
1时,|PM|max2
4b2
12
由有4b2
12
16,得b
1;
假设0
b
1即
1
b,那么当y
b时,|PM|max2
b2
6b9
由有b2
6b
9
16,得b
7〔舍去〕.
综上所述,b
1,a
2.
x2
y2
1
所以,椭圆的方程为
4
.
a2
25
c
4
a
5
b
3
解之得:
b
3
a
5
c
4
c2
a2
b2
3.解:
〔I〕由
x2
y2
1
x2
y2
25
9
25
1
∴椭圆的方程为
,双曲线的方程
9.
e2
34
又C25
9
34
∴双曲线的离心率
5
Word资料
.
〔Ⅱ〕由〔Ⅰ〕A〔-5,0〕,B〔5,0〕
设M(x0,y0)那么由AM
MP得M为AP的中点
x02
y02
1
25
9
(2x0
5)
y02
1
∴P点坐标为(2x0
5,2y0)
将M、p坐标代入
c1、c2方程得
25
9
消去y0
2
5x0
25
0
x0
5或x0
5(舍)
得2x0
解之得
2
由此可得P〔10,3
3)
当P为〔10,33)
y
33(x5)
y
33(x5)
时PB:
105
即
5
x2
y2
得
x2
15
x
250
x
5或
5(
舍
)
代入25
1:
2
2
9
xN
5
xN
xM
2
MN⊥x轴
即MN
AB
0
a2
c1,那么a2
cc2,b2
a2
c2
c,
4.解:
〔1〕由题意可知c
所以椭圆方程为
x2
y2
4分
c2
1
设A(x1,y1),B(x2,y2),将其代入椭