工程问题方法总结.docx
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工程问题方法总结
工程问题方法总结
一：
基本数量关系：
工效×时间=工作总量
二：
基本特点：
设工作总量为“1”，工效=1/时间
三：
基本方法：
算术方法、比例方法、方程方法。
四：
基本思想：
分做合想、合做分想。
五：
类型与方法：
一：
分做合想:
1.合想,2.假设法,3.巧抓变化（比例）,4.假设法。
二：
等量代换：
方程组的解法→代入法，加减法。
三：
按劳分配思路：
每人每天工效→每人工作量→按比例分配
四：
休息请假：
方法：
1.分想：
划分工作量。
2.假设法：
假设不休息。
五：
休息与周期：
1.已知条件的顺序：
①先工效，再周期，②先周期，再天数。
2.天数：
①近似天数，②准确天数。
3.列表确定工作天数。
六：
交替与周期：
估算周期，注意顺序！
七：
注水与周期：
1.顺序，2.池中原来是否有水，3.注满或溢出。
八：
工效变化。
九：
比例：
1.分比与连比，2.归一思想，3.正反比例的运用，4.假设法思想（周期）。
十：
牛吃草问题：
1.新生草量，2.原有草量，3.解决问题。
工程问题
在下面例题的讲述中，不完全采用通常教科书中“把工作量设为整体1”的做法，而偏重于“整数化”或“从比例角度出发”，也许会使我们的解题思路更灵活一些.
一、两个人的问题
标题上说的“两个人”，也可以是两个组、两个队等等的两个集体.
●例1一件工作，甲做9天可以完成，乙做6天可以完成。
现在甲先做了3天，余下的工作由乙继续完成，乙需要做几天可以完成全部工作？
解一：
把这件工作看作1，甲每天可完成这件工作的九分之一，做3天完成的1/3。
乙每天可完成这件工作的六分之一，（1-1/3）÷1/6=4（天）
答：
乙需要做4天可完成全部工作.
解二：
9与6的最小公倍数是18.设全部工作量是18份.甲每天完成2份，乙每天完成3份.乙完成余下工作所需时间是
（18-2×3）÷3=4（天）.
解三：
甲与乙的工作效率之比是
6∶9=2∶3.
甲做了3天，相当于乙做了2天.乙完成余下工作所需时间是6-2=4（天）.
●例2一件工作，甲、乙两人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲离开了，由乙继续做了40天才完成.如果这件工作由甲或乙单独完成各需要多少天？
解：
共做了6天后，
原来，甲做24天，乙做24天，
现在，甲做0天，乙做40=（24+16）天.
这说明原来甲24天做的工作，可由乙做16天来代替.因此甲的工作效率
如果乙独做，所需时间是50天
如果甲独做，所需时间是75天
答：
甲或乙独做所需时间分别是75天和50天.
●例3某工程先由甲独做63天，再由乙单独做28天即可完成；如果由甲、乙两人合作，需48天完成.现在甲先单独做42天，然后再由乙来单独完成，那么乙还需要做多少天？
解：
先对比如下：
甲做63天，乙做28天；
甲做48天，乙做48天.
就知道甲少做63-48=15（天），乙要多做48-28=20（天），由此得出甲的
甲先单独做42天，比63天少做了63-42=21（天），相当于乙要做
因此，乙还要做 28+28=56（天）.
答：
乙还需要做56天.
●例4一件工程，甲队单独做10天完成，乙队单独做30天完成.现在两队合作，其间甲队休息了2天，乙队休息了8天（不存在两队同一天休息）.问开始到完工共用了多少天时间？
解一：
甲队单独做8天，乙队单独做2天，共完成工作量
余下的工作量是两队共同合作的，需要的天数是 2+8+1=11（天）.
答：
从开始到完工共用了11天.
解二：
设全部工作量为30份.甲每天完成3份，乙每天完成1份.在甲队单独做8天，乙队单独做2天之后，还需两队合作
（30-3×8-1×2）÷（3+1）=1（天）.
解三：
甲队做1天相当于乙队做3天.
在甲队单独做8天后，还余下（甲队）10-8=2（天）工作量.相当于乙队要做2×3=6（天）.乙队单独做2天后，还余下（乙队）6-2=4（天）工作量.
4=3+1，
其中3天可由甲队1天完成，因此两队只需再合作1天.
解四：
方法：
分休合想（题中说甲乙两队没有在一起休息，我们就假设他们在一起休息.）
甲队每天工作量为1/10，乙为1/30，因为甲休息了2天，而乙休息了8天，因为8>2，所以我们假设甲休息两天时，乙也在休息。
那么甲开始工作时，乙还要休息：
8-2=6（天）那么这6天内甲独自完成了这项工程的1/10×6=6/10，剩下的工作量为1-6/10=4/10，而这剩下的4/10为甲乙两人一起合作完成的工程量，所以，工程量的4/10需要甲乙合作：
（4/10）÷（1/10+1/30）=3天。
所以从开始到完工共需：
8+3=11（天）
●例5一项工程，甲队单独做20天完成，乙队单独做30天完成.现在他们两队一起做，其间甲队休息了3天，乙队休息了若干天.从开始到完成共用了16天.问乙队休息了多少天？
解一：
如果16天两队都不休息，可以完成的工作量是（1÷20）×16+（1÷30）×16=4/3
由于两队休息期间未做的工作量是4/3-1=1/3
乙队休息期间未做的工作量是1/3-1/20×3=11/60
乙队休息的天数是11/60÷（1/30）=11/2
答：
乙队休息了5天半.
解二：
设全部工作量为60份.甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两队休息期间未做的工作量是 （3+2）×16-60=20（份）.
因此乙休息天数是 （20-3×3）÷2=5.5（天）.
解三：
甲队做2天，相当于乙队做3天.
甲队休息3天，相当于乙队休息4.5天.
如果甲队16天都不休息，只余下甲队4天工作量，相当于乙队6天工作量，乙休息天数是
16-6-4.5=5.5（天）.
●例6有甲、乙两项工作，张单独完成甲工作要10天，单独完成乙工作要15天；李单独完成甲工作要8天，单独完成乙工作要20天.如果每项工作都可以由两人合作，那么这两项工作都完成最少需要多少天？
解：
很明显，李做甲工作的工作效率高，张做乙工作的工作效率高.因此让李先做甲，张先做乙.
设乙的工作量为60份（15与20的最小公倍数），张每天完成4份，李每天完成3份.
8天，李就能完成甲工作.此时张还余下乙工作（60-4×8）份.由张、李合作需要 （60-4×8）÷（4+3）=4（天）. 8+4=12（天）.
答：
这两项工作都完成最少需要12天.
●例7一项工程，甲独做需10天，乙独做需15天，如果两人合作，他
要8天完成这项工程，两人合作天数尽可能少，那么两人要合作多少天？
解：
设这项工程的工作量为30份，甲每天完成3份，乙每天完成2份.
两人合作，共完成
3×0.8+2×0.9=4.2（份）.
因为两人合作天数要尽可能少，独做的应是工作效率较高的甲.因为要在8天内完成，所以两人合作的天数是
（30-3×8）÷（4.2-3）=5（天）.
很明显，最后转化成“鸡兔同笼”型问题.
二、多人的工程问题
我们说的多人，至少有3个人，当然多人问题要比2人问题复杂一些，但是解题的基本思路还是差不多.
●例9一件工作，甲、乙两人合作36天完成，乙、丙两人合作45天完成，甲、丙两人合作要60天完成.问甲一人独做需要多少天完成？
解：
设这件工作的工作量是1.
甲、乙、丙三人合作每天完成
减去乙、丙两人每天完成的工作量，甲每天完成
答：
甲一人独做需要90天完成.
例9也可以整数化，设全部工作量为180份，甲、乙合作每天完成5份，乙、丙合作每天完成4份，甲、丙合作每天完成3份.请试一试，计算是否会方便些？
●例10一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天.这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作.问总共用了多少天？
解：
甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天）.
说明甲做了2天，乙做了2×3=6（天），丙做2×6=12（天），三人一共做了 2+6+12=20（天）.
答：
完成这项工作用了20天.
本题整数化会带来计算上的方便.12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了
●例11一项工程，甲、乙、丙三人合作需要13天完成.如果丙休息2天，乙就要多做4天，或者由甲、乙两人合作1天.问这项工程由甲独做需要多少天？
解：
丙2天的工作量，相当乙4天的工作量.丙的工作效率是乙的工作效率的4÷2=2（倍），甲、乙合作1天，与乙做4天一样.也就是甲做1天，相当于乙做3天，甲的工作效率是乙的工作效率的3倍.
他们共同做13天的工作量，由甲单独完成，甲需要
答：
甲独做需要26天.
事实上，当我们算出甲、乙、丙三人工作效率之比是3∶2∶1，就知甲做1天，相当于乙、丙合作1天.三人合作需13天，其中乙、丙两人完成的工作量，可转化为甲再做13天来完成.
●例12某项工作，甲组3人8天能完成工作，乙组4人7天也能完成工作.问甲组2人和乙组7人合作多少时间能完成这项工作？
解一：
设这项工作的工作量是1.
甲组每人每天能完成
乙组每人每天能完成
甲组2人和乙组7人每天能完成
答：
合作3天能完成这项工作.
解二：
甲组3人8天能完成，因此2人12天能完成；乙组4人7天能完成，因此7人4天能完成.
现在已不需顾及人数，问题转化为：
甲组独做12天，乙组独做4天，问合作几天完成？
小学算术要充分利用给出数据的特殊性.解二是比例灵活运用的典型，如果你心算较好，很快就能得出答数.
●例13制作一批零件，甲车间要10天完成，如果甲车间与乙车间一起做只要6天就能完成.乙车间与丙车间一起做，需要8天才能完成.现在三个车间一起做，完成后发现甲车间比乙车间多制作零件2400个.问丙车间制作了多少个零件？
解一：
仍设总工作量为1.
甲每天比乙多完成
因此这批零件的总数是
丙车间制作的零件数目是
答：
丙车间制作了4200个零件.
解二：
10与6最小公倍数是30.设制作零件全部工作量为30份.甲每天完成3份，甲、乙一起每天完成5份，由此得出乙每天完成2份.
乙、丙一起，8天完成.乙完成8×2=16（份），丙完成30-16=14（份），就知
乙、丙工作效率之比是16∶14=8∶7.
已知
甲、乙工作效率之比是3∶2=12∶8.
综合一起，甲、乙、丙三人工作效率之比是 12∶8∶7.
当三个车间一起做时，丙制作的零件个数是
2400÷（12-8）×7=4200（个）.
●例14搬运一个仓库的货物，甲需要10小时，乙需要12小时，丙需要15小时.有同样的仓库A和B，甲在A仓库、乙在B仓库同时开始搬运货物，丙开始帮助甲搬运，中途又转向帮助乙搬运.最后两个仓库货物同时搬完.问丙帮助甲、乙各多少时间？
解：
设搬运一个仓库的货物的工作量是1.现在相当于三人共同完成工作量2，所需时间是
答：
丙帮助甲搬运3小时，帮助乙搬运5小时.
解本题的关键，是先算出三人共同搬运两个仓库的时间.本题计算当然也可以整数化，设搬运一个仓库全部工作量为60.甲每小时搬运6，乙每小时搬运5，丙每小时搬运4.
三人共同搬完，需要
60×2÷（6+5+4）=8（小时）.
甲需丙帮助搬运
（60-6×8）÷4=3（小时）.
乙需丙帮助搬运
（60-5×8）÷4=5（小时）.
三、水管问题
从数学的内容来看，水管问题与工程问题是一样的.水池的注水或排水相当于一项工程，注水量或排水量就是工作量.单位时间里的注水量或排水量就是工作效率.至于又有注入又有排出的问题，不过是工作量有加有减罢了.因此，水管问题与工程问题的解题思路基本相同.
例15甲、乙两管同时打开，9分钟能注满水池.现在，先打开甲管，10分钟后打开乙管，经过3分钟就注满了水池.已知甲管比乙管每分钟多注入0.6立方米水，这个水池的容积是多少立方米？
解：
甲每分钟注入水量是：
（1-1/9×3）÷10=1/15
乙每分钟注入水量是：
1/9-1/15=2/45
因此水池容积是：
0.6÷（1/15-2/45）=27（立方米）
答：
水池容积是27立方米.
例16有一些水管，它们每分钟注水量都相等.现在打开其中若干根水管，经过预定的时间的1/3，再把打开的水管增加一倍，就能按预定时间注满水池，如果开始时就打开10根水管，中途不增开水管，也能按预定时间注满水池.问开始时打开了几根水管？
分析：
增开水管后，有原来2倍的水管，注水时间是预定时间的1-1/3=2/3，2/3是1/3的2倍，因此增开水管后的这段时间的注水量，是前一段时间注水量的4倍。
设水池容量是1，前后两段时间的注水量之比为：
1：
4，
那么预定时间的1/3（即前一段时间）的注水量是1/（1+4）=1/5。
10根水管同时打开，能按预定时间注满水，每根水管的注水量是1/10，预定时间的1/3，每根水官的注水量是1/10×1/3=1/30
要注满水池的1/5，需要水管1/5÷1/30=6（根）
解：
前后两段时间的注水量之比为：
1：
[（1-1/3）÷1/3×2]=1：
4
前段时间注水量是：
1÷（1+4）=1/5
每根水管在预定1/3的时间注水量为：
1÷10×1/3=1/30
开始时打开水管根数：
1/5÷1/30=6（根）
答：
开始时打开6根水管。
例17蓄水池有甲、丙两条进水管，和乙、丁两条排水管.要灌满一池水，单开甲管需3小时，单开丙管需要5小时.要排光一池水，单开乙管需要4小，丁管需要6小时，现在水池内有六分之一的水，如按甲、乙、丙、丁、甲、乙……的顺序轮流打开1小时，问多少时间后水开始溢出水池？
分析：
，否则开甲管的过程中水池里的水就会溢出.
以后（20小时），池中的水已有
此题与广为流传的“青蛙爬井”是相仿的：
一只掉进了枯井的青蛙，它要往上爬30尺才能到达井口，每小时它总是爬3尺，又滑下2尺.问这只青蛙需要多少小时才能爬到井口？
看起来它每小时只往上爬3-2=1（尺），但爬了27小时后，它再爬1小时，往上爬了3尺已到达井口.
因此，答案是28小时，而不是30小时.
例18一个蓄水池，每分钟流入4立方米水.如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空.现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？
解：
先计算1个水龙头每分钟放出水量.
2小时半比1小时半多60分钟，多流入水
4×60=240（立方米）.
时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是
240÷（5×150-8×90）=8（立方米），
8个水龙头1个半小时放出的水量是
8×8×90，
其中90分钟内流入水量是4×90，因此原来水池中存有水8×8×90-4×90=5400（立方米）.
打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要
5400÷（8×13-4）=54（分钟）.
答：
打开13个龙头，放空水池要54分钟.
水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水.这在题目中却是隐含着的.
例19一个水池，地下水从四壁渗入池中，每小时渗入水量是固定的.打开A管，8小时可将满池水排空，打开C管，12小时可将满池水排空.如果打开A，B两管，4小时可将水排空.问打开B，C两管，要几小时才能将满池水排空？
解：
设满水池的水量为1.
A管每小时排出
A管4小时排出
因此，B，C两管齐开，每小时排水量是
B，C两管齐开，排光满水池的水，所需时间是
答：
B，C两管齐开要4小时48分才将满池水排完.
本题也要分开考虑，水池原有水（满池）和渗入水量.由于不知具体数量，像工程问题不知工作量的具体数量一样.这里把两种水量分别设成“1”.但这两种量要避免混淆.事实上，也可以整数化，把原有水设为8与12的最小公倍数24.
从本质上讲，与例18和例19是类同的.题目涉及三种数量：
原有草、新长出的草、牛吃掉的草.这与原有水量、渗入水量、水管排出的水量，是完全类同的.
例20有三片牧场，场上草长得一样密，而且长得一样快。
12头牛4星期吃完第一块牧场上的草；7头牛9星期吃完第二片牧场的草.问多少头牛18星期才能吃完第三片牧场的草？
解：
吃草总量=一头牛每星期吃草量×牛头数×星期数.根据这一计算公式，可以设定“一头牛每星期吃草量”作为草的计量单位.
原有草+4星期新长的草=12×4.
原有草+9星期新长的草=7×9.
由此可得出，每星期新长的草是
（7×9-12×4）÷（9-4）=3.
那么原有草是 7×9-3×9=36（或者12×4-3×4）.
对第三片牧场来说，原有草和18星期新长出草的总量是
这些草能让
90×7.2÷18=36（头）
牛吃18个星期.
答：
36头牛18个星期能吃完第三片牧场的草.
例20与例19的解法稍有一点不一样.例20把“新长的”具体地求出来，把“原有的”与“新长的”两种量统一起来计算.事实上，如果例19再有一个条件，例如：
“打开B管，10小时可以将满池水排空.”也就可以求出“新长的”与“原有的”之间数量关系.但仅仅是例19所求，是不需要加这一条件.好好想一想，你能明白其中的道理吗？
例21画展9点开门，但早有人排队等候入场.从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多.如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队，如果开5个入场口，9点5分就没有人排队.问第一个观众到达时间是8点几分？
解：
设一个入场口每分钟能进入的观众为1个计算单位.
从9点至9点9分进入观众是3×9，
从9点至9点5分进入观众是5×5.
因为观众多来了9-5=4（分钟），所以每分钟来的观众是
（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5.
9点前来的观众是
5×5-0.5×5=22.5.
这些观众来到需要
22.5÷0.5=45（分钟）.
答：
第一个观众到达时间是8点15分.
挖一条水渠，甲、乙两队合挖要六天完成。
甲队先挖三天，乙队接着挖一天，可挖这条水渠的3/10，两队单独挖各需几天？
分析:
甲乙合作1天后,甲又做了2天共3/10-1/6=4/30
2÷（3/10-1/6）
=2÷4/30
=15（天）
1÷（1/6-1/15）=10（天）
答:
甲单独做要15天,乙单独做要10天.
.一件工作，如果甲单独做，那么甲按规定时间可提前2天完成，乙则要超过规定时间3天才完成。
现在甲乙二人合作二天后，剩下的乙单独做，刚好在规定日期内完成。
若甲乙二人合作，完成工作需多长时间？
解设:
规定时间为X天.（甲单独要X-2天,乙单独要X+3天,甲一共做了2天,乙一共做了X天）
1/（X-2）×2+X/（X+3）=1
X=12
规定要12天完成
1÷[1/（12-2）+1/（12+3）]
=1÷（1/6）
=6天
答:
两人合作完成要6天.例：
一项工程，甲单独做63天，再由乙做28天完成，甲乙合作需要48天完成。
甲先做42天，乙做还要几天？
答：
设甲的工效为x,乙的工效为y
63x+28y=1
48x+48y=1
x=1/84
y=1/112
乙还要做（1-42/84）÷（1/112）=56（天）
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