行星运动万有引力定律 典型例题精析 人教版.docx

行星运动万有引力定律 典型例题精析 人教版.docx

《行星运动万有引力定律 典型例题精析 人教版.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《行星运动万有引力定律 典型例题精析 人教版.docx（15页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

行星运动万有引力定律典型例题精析人教版

行星运动、万有引力定律典型例题精析

[例题1]　如图6－1所示，在与一质量为M，半径为R，密度均匀的球体距离为R处有一质量为m的质点，此时M对m的万有引力为F1．当从球M中挖去一个半径为R/2的小球体时，剩下部分对m的万有引力为F2，则F1与F2的比是多少？

[思路点拨]　F1为一个匀质实心球对质点的万有引力，可用万有引力定律的公式直接求得，其中r为匀质球球心到质点的距离．F2是一个不规则物体对质点的万有引力，但由于挖去部分为一匀质实心球，所以可先计算挖去部分对质点的万有引力，然后根据力的叠加原理用F1减去挖去部分的万有引力即可得F2．

实球M的引力F1可看成两个力的叠加：

剩下的部分对m的引力F2与半径为R/2的小球对m的引力F′2的和，即F1＝F2＋F′2．

因为半径R/2的小球体的质量

[小结]　万有引力定律的表达式适用于计算两质点之间的引力，若两物体不能看成质点时，应把物体进行分割，使每一小块的线度都小于两者间的距离，然后用叠加的方法求出引力的合力．需要说明的是对于两个均匀的球体来说，不管它们相距远近，万有引力定律的表达式都适用，表达式中的r是指两个球心间的距离．

的．这是因为对形状不规则物体当物体间距离较近时不可视为质点．

[例题2]　月球质量是地球质量的1/81，月球半径是地球半径的1/3.8．如果分别在地球上和月球上都用同一初速度竖直向上抛出一个物体（阻力不计），求：

（1）两者上升高度的比；

（2）两者从抛出到落地时间的比．

[思路点拨]　由于地球和月球的质量和半径的不同，而造成地球和月球表面的重力加速度的不同．因此应首先算出月球表面上的重力加速度，然后再根据运动学的公式计算．

[解题过程]　设质量为m的物体在月球上的重力加速度为g′，则有

物体在地球上的重力加速度为g，则有

（1）÷

（2）得

设在地球上上抛的高度为h，在月球上上抛的高度为h′．根据运动学公式可得

设在地球上抛出到落地需要的时间为t，在月球上所需的时间为

t′．根据运动学公式可得

[小结]由于万有引力的作用，星球表面上的物体都要受到星球对物体的引力，当物体随星球转动所需要的向心力比万有引力小得多的时候，

球半径的平方成反比

万有引力定律·典型例题解析

【例1】设地球的质量为M，地球半径为R，月球绕地球运转的轨道半径为r，试证在地球引力的作用下：

（4）已知r＝3.8×108m，月球绕地球运转的周期T＝27.3d，计算月球绕地球运转时的向心加速度a；

（5）已知地球表面重力加速度g＝9.80m/s2，利用第（4）问的计算结果，

解析：

（1）略；

（2）略；

（3）2.77×10-4；

（4）2.70×10-3m/s2

（5）2.75×10-4

的关系，即mg＝ma．以上三个关系式中的a是向心加速度，根据题目

距月球表面14m高处，有一质量m＝60kg的物体自由下落．

（1）它落到月球表面需用多少时间？

（2）它在月球上的“重力”和质量跟在地球上是否相同（已知地球表面重力加速度g地＝9.8m/s2）？

解析：

（1）4s

（2）588N

点拨：

（1）物体在月球上的“重力”等于月球对物体的万有引力，设

（2）在月球上和地球上，物体的质量都是60kg．物体在月球上的“重力”和在地球上的重力分别为G月＝mg月＝60×1.75N＝105N，G地＝mg地＝60×9.8N＝588N．

跟踪反馈

1．如图43－1所示，两球的半径分别为r1和r2，均小于r，两球质量分布均匀，大小分别为m1、m2，则两球间的万有引力大小为：

[]

A．Gm1m2/r2

B．Gm1m2/r12

C．Gm1m2/（r1＋r2）2

D．Gm1m2/（r1＋r2＋r）2

2．下列说法正确的是

[]

A．地球是宇宙的中心，太阳、月亮及其他行星都绕地球运动

B．太阳是静止不动的，地球和其他行星都绕太阳运动

C．地球是绕太阳运动的一颗行星

D．日心说和地心说都是错误的

3．已知太阳质量是1.97×1030kg，地球质量是5.98×1024kg，太阳和地球间的平均距离1.49×1011m，太阳和地球间的万有引力是_______N．已知拉断截面积为1cm2的钢棒力4.86×104N，那么，地球和太阳间的万有引力可以拉断截面积是_______m2的钢棒．

4．下列说法正确的是

[]

A．行星绕太阳的椭圆轨道可以近似地看作圆形轨道，其向心力来源于太阳对行星的引力

B．太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力，所以行星绕太阳运转而不是太阳绕行星运转

C．万有引力定律适用于天体，不适用于地面上的物体

D．行星与卫星之间的引力，地面上的物体所受的重力和太阳对行星的引力，性质相同，规律也相同

参考答案

1．D2．CD3．3.54×1022；7.28×134．A

万有引力定律在天体运动中的应用·典型例题精析

[例题1]　两颗人造卫星的质量之比m1∶m2＝1∶2，轨道半径之比R1∶R2＝3∶1．求：

（1）两颗卫星运行的线速度之比；

（2）两颗卫星运行的角速度之比；

（3）两颗卫星运行的周期之比；

（4）两颗卫星运行的向心加速度之比；

（5）两颗卫星运行的向心力之比．

[思路点拨]　将卫星的运动近似看成匀速圆周运动，其所需向心力系万有引力，即

应用时根据实际情况选用适当公式进行分析为求解此类问题的基本方法．

[小结]　本题是典型地把天体（或卫星）的运动视为圆周运动，并应用万有引力等于向心力解题的题目．此方法主要用于计算天体的质量，讨论天体（或卫星）的速度、角速度、周期及半径等问题．在应用以上思路解题时，一般常采用比例计算法．

[例题2]　飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上某一点A处将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运行，椭圆与地球表面在B点相切，如图6－2所示．试求飞船由A点到B点所需的时间（已知地球半径为R0）？

[思路点拨]　设飞船沿椭圆轨道运动时的周期为T′，因椭圆轨道

故飞船由A点到B点所需的时间为

[小结]　分析天体运动的问题，基本方法是把天体的运动看成匀速圆周运动，所需向心力由万有引力提供，依此分析和求解．但同时也应注意开普勒行星运动三大定律也是解决有关天体运动的重要方法．

[例题3]　如图6－3所示，某行星围绕太阳C沿椭圆轨道运行．它的近日点A离太阳的距离为a，行星经过近日点时的速率为vA，行星的远日点B离太阳的距离为b，求它经过远日点时速度的大小．

[思路点拨]　尽管该题是一个椭圆轨道问题，但我们仍可以利用太阳对行星的万有引力等于行星所需的向心力来解题．但此时要注意向心力公式中的r应为该点的曲率半径．

解：

设A、B点的曲率半径为r，于是有

[小结]由于受圆周运动计算半径的习惯影响，解题者往往误认为椭圆在A、B两点的曲率半径就等于A、B两点至太阳C的距离．其实，椭圆的形状是左右对称的，A点与B点的曲率半径应该相等．

万有引力定律在天文学上的应用·典型例题解析

【例1】在天体运动中，将两颗彼此距离较近的行星称为双星，由于两星间的引力等于向心力而使它们在运动中距离保持不变，已知两个行星的质量分别为M1、M2，相距为L，求它们的角速度．

解析：

如图44－2所示，设M1的轨道半径为r1，M2的轨道半径为r2，两个行星都绕O点做匀速圆周运动的角速度为ω；由于两个行星之间的万有引力提供向心力，根据牛顿第二定律有

以上三式联立解得

点拨：

双星之间的万有引力大小相等，方向相反，这两个行星之所以能在引力作用下不相互靠近而保持距离不变，是因为它们都绕着二者联线上的同一点（质心）做匀速圆周运动，并且它们的角速度相同．这就是双星的物理模型．

【例2】某星球可视为球体，其自转周期为T，在它的两极处，用弹簧秤测得某物体重为P，在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，星球的平均密度是多少？

解析：

设被测物体的质量为m，星球的质量为M，半径为R；在两

因星球自转物体做匀速圆周运动，星球对物体的万有引力和弹簧秤对物

根据密度的定义式可得星球的平均密度为

点拨：

重力是由于地球对物体的吸引而产生的力，但是不能认为重力就是地球对物体的吸引力．严格地讲，只有在两极处，重力才等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力．由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力．

【例3】宇航员站在一星球表面上的某高处，沿水平方向抛出一个小球．经过时间t，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离

L．已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R，万有引力常数为G．求该星球的质量M．

点拨：

设抛出点的高度为h，第一次平抛的水平射程为x，则有x2＋h2＝L2．由平抛运动规律得知，当初速增大到2倍，其水平射程也增

【例4】在地球某处海平面上测得物体自由下落高度h所需的时间为t，到某高山顶测得物体自由下落h同样高度所需时间增加了Δt，已知地球半径为R，试求山的高度H．

跟踪反馈

1．天体之间的作用力主要是_______力．

2．若已知行星绕太阳做匀速圆周运动的轨道半径为r，运行周期为T，则太阳的质量M太＝_______．

3．在月球上以初速度V0竖直上抛一个小球，经过时间t落回到抛出点，已知月球的半径为R，试求月球的质量．

4．若已知太阳的一个行星绕太阳运转的轨道半径为r，周期为T，引力常量为G，则可求得

[]

A．该行星的质量

B．太阳的质量

C．该行星的平均密度

D．太阳的平均密度

参考答案

万有引力综合应用

（2）·典型例题解析

【例1】关于人造地球卫星，下列说法正确的是（已知地球半径为6400km）

[]

A．运行的轨道半径越大，线速度也越大；

B．运行的速率可能等于8km/s；

C．运行的轨道半径越大，周期也越大；

D．运行的周期可能等于80min．

解析：

C正确．

设地球质量为M，卫星质量为m，卫星在轨道半径为r的轨道上运

卫星的运行速率最大，卫星的最大运行速率为7.9km/s．应该指出7.9km/s是卫星在绕地球做圆周运动时的最大速度，当卫星绕地球做椭圆运动时

T越大．由周期公式代入g的关系得T的最小值为85min，80min＜85min，故D也错．

点拨：

本题从几个侧面考查了卫星的问题．从卫星发射，到卫星的运转，以及卫星的宇宙速度．既然是卫星问题总离不开万有引力提供向心力问题，当然是把卫星的运动当成圆周运动看待．

【例2】如果在离月球表面高度为300km处发射月球卫星，它速度应多大？

（月球质量m月＝7.38×1022kg，月球半径R月＝1.67×106m）

【例3】如果地球自转速度加快，地球上物体的重量将发生怎样的变化？

地球自转角速度等于多少时，在赤道上物体的重量为零？

这时一昼夜将有多长（R地＝6370km，M地＝5.98×1024kg）

点拨：

物体随地球自转所需的向心力是地球对物体引力一部分，在赤道上引力方向与向心力一致．由F心＝mω2R可知，当角速度增大时，向心力增大，物体的重力将减小．由F引＝F心＋G知，当F引＝F心

转周期，即一昼夜的时间为T＝5067s．

【例4】如图47－1所示，A、B两颗行星绕同一恒星做匀速圆周运动．运动方向相同，A的周期为T1，B的周期为T2，某时刻两行星的距离最近，求：

（1）再经过多长时间两行星的距离又最近？

（2）再经过多长时间，两行星的距离最远？

点拨：

两行星转过的角度差为2π的整数倍时，其相距最近，这时三颗星在同一直线上，而且A在中间．两行星转过的角度差为π的奇数倍时，其相距最远，这时三颗星在同一直线上，而且恒星在中间．

（n＝1、2、3、…）

跟踪反馈

1．人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其速率：

[]

A．一定等于7.9km/s

B．等于或小于7.9km/s

C．一定大于7.9km/s

D．介于7.9～11.2km/s

2．人造地球卫星运行中由于受大气阻力，轨道半径逐渐减小，则线速度和周期变化情况是

[]

A．速度减小，周期增大

B．速度减小，周期减小

C．速度增大，周期增大

D．速度增大，周期减小

3．设想人类开发月球，不断地把月球上的矿藏搬运到地球上．假如经过长时间开采后，地球仍可看成均匀球体，月球仍沿开采前的圆轨道运动，则与开采前比较

[]

A．地球与月球间的万有引力将变大

B．地球与月球间的万有引力将变小

C．月球绕地球运动的周期将变长

D．月球绕地球运动的周期将变短

4．天文观测某行星的线速度为v，离太阳距离为r，则可知太阳的质量为_______．已知地球绕太阳公转的线速度约30km/s，轨道半径为1.5×108km，可知太阳的质量为_______kg．（取一位有效数字）

参考答案

1．B2．D3．BD4．rv2/G；2×1030