中考数学重难点函数图象的点 因动点产生的平行四边.docx
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中考数学重难点函数图象的点因动点产生的平行四边
因动点产生的平行四边形问题
例12013年上海市松江区中考模拟第24题
如图1,已知抛物线y=-x2+bx+c经过A(0,1)、B(4,3)两点.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求tan∠ABO的值;
(3)过点B作BC⊥x轴,垂足为C,在对称轴的左侧且平行于y轴的直线交线段AB于点N,交抛物线于点M,若四边形MNCB为平行四边形,求点M的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
请打开超级画板文件名“13松江24”,拖动点N在直线AB上运动,可以体验到,MN有4次机会等于3,这说明以M、N、C、B为顶点的平行四边形有4个,而符合MN在抛物线的对称轴的左侧的平行四边形MNCB只有一个.
思路点拨
1.第
(2)题求∠ABO的正切值,要构造包含锐角∠ABO的角直角三角形.
2.第(3)题解方程MN=yM-yN=BC,并且检验x的值是否在对称轴左侧.
满分解答
(1)将A(0,1)、B(4,3)分别代入y=-x2+bx+c,得
解得,c=1.
所以抛物线的解析式是.
(2)在Rt△BOC中,OC=4,BC=3,所以OB=5.
如图2,过点A作AH⊥OB,垂足为H.
在Rt△AOH中,OA=1,,
所以.图2
所以,.
在Rt△ABH中,.
(3)直线AB的解析式为.
设点M的坐标为,点N的坐标为,
那么.
当四边形MNCB是平行四边形时,MN=BC=3.
解方程-x2+4x=3,得x=1或x=3.
因为x=3在对称轴的右侧(如图4),所以符合题意的点M的坐标为(如图3).
图3图4
考点伸展
第(3)题如果改为:
点M是抛物线上的一个点,直线MN平行于y轴交直线AB于N,如果M、N、B、C为顶点的四边形是平行四边形,求点M的坐标.
那么求点M的坐标要考虑两种情况:
MN=yM-yN或MN=yN-yM.
由yN-yM=4x-x2,解方程x2-4x=3,得(如图5).
所以符合题意的点M有4个:
,,,.
图5
例22012年福州市中考第21题
如图1,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=6,BC=8,动点P从点A开始沿边AC向点C以每秒1个单位长度的速度运动,动点Q从点C开始沿边CB向点B以每秒2个单位长度的速度运动,过点P作PD//BC,交AB于点D,联结PQ.点P、Q分别从点A、C同时出发,当其中一点到达端点时,另一点也随之停止运动,设运动的时间为t秒(t≥0).
(1)直接用含t的代数式分别表示:
QB=_______,PD=_______;
(2)是否存在t的值,使四边形PDBQ为菱形?
若存在,求出t的值;若不存在,说明理由,并探究如何改变点Q的速度(匀速运动),使四边形PDBQ在某一时刻为菱形,求点Q的速度;
(3)如图2,在整个运动过程中,求出线段PQ的中点M所经过的路径长.
图1 图2
动感体验
请打开几何画板文件名“12福州21”,拖动左图中的点P运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.拖动右图中的点Q运动,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.
请打开超级画板文件名“12福州21”,拖动点Q向上运动,可以体验到,PQ的中点M的运动路径是一条线段.点击动画按钮的左部,Q的速度变成1.07,可以体验到,当PQ//AB时,四边形PDBQ为菱形.点击动画按钮的中部,Q的速度变成1.
思路点拨
1.菱形PDBQ必须符合两个条件,点P在∠ABC的平分线上,PQ//AB.先求出点P运动的时间t,再根据PQ//AB,对应线段成比例求CQ的长,从而求出点Q的速度.
2.探究点M的路径,可以先取两个极端值画线段,再验证这条线段是不是点M的路径.
满分解答
(1)QB=8-2t,PD=.
(2)如图3,作∠ABC的平分线交CA于P,过点P作PQ//AB交BC于Q,那么四边形PDBQ是菱形.
过点P作PE⊥AB,垂足为E,那么BE=BC=8.
在Rt△ABC中,AC=6,BC=8,所以AB=10.图3
在Rt△APE中,,所以.
当PQ//AB时,,即.解得.
所以点Q的运动速度为.
(3)以C为原点建立直角坐标系.
如图4,当t=0时,PQ的中点就是AC的中点E(3,0).
如图5,当t=4时,PQ的中点就是PB的中点F(1,4).
直线EF的解析式是y=-2x+6.
如图6,PQ的中点M的坐标可以表示为(,t).经验证,点M(,t)在直线EF上.
所以PQ的中点M的运动路径长就是线段EF的长,EF=.
图4图5图6
考点伸展
第(3)题求点M的运动路径还有一种通用的方法是设二次函数:
当t=2时,PQ的中点为(2,2).
设点M的运动路径的解析式为y=ax2+bx+c,代入E(3,0)、F(1,4)和(2,2),
得解得a=0,b=-2,c=6.
所以点M的运动路径的解析式为y=-2x+6.
例32012年烟台市中考第26题
如图1,在平面直角坐标系中,已知矩形ABCD的三个顶点B(1,0)、C(3,0)、D(3,4).以A为顶点的抛物线y=ax2+bx+c过点C.动点P从点A出发,沿线段AB向点B运动,同时动点Q从点C出发,沿线段CD向点D运动.点P、Q的运动速度均为每秒1个单位,运动时间为t秒.过点P作PE⊥AB交AC于点E.
(1)直接写出点A的坐标,并求出抛物线的解析式;
(2)过点E作EF⊥AD于F,交抛物线于点G,当t为何值时,△ACG的面积最大?
最大值为多少?
(3)在动点P、Q运动的过程中,当t为何值时,在矩形ABCD内(包括边界)存在点H,使以C、Q、E、H为顶点的四边形为菱形?
请直接写出t的值.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,△ACG的面积最大.观察右图,我们构造了和△CEQ中心对称的△FQE和△ECH′,可以体验到,线段EQ的垂直平分线可以经过点C和F,线段CE的垂直平分线可以经过点Q和H′,因此以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.
请打开超级画板文件名“12烟台26”,拖动点P在AB上运动,可以体验到,当P在AB的中点时,即t=2,△ACG的面积取得最大值1.观察CQ,EQ,EC的值,发现以C、Q、E、H为顶点的菱形有2个.点击动画按钮的左部和中部,可得菱形的两种准确位置。
思路点拨
1.把△ACG分割成以GE为公共底边的两个三角形,高的和等于AD.
2.用含有t的式子把图形中能够表示的线段和点的坐标都表示出来.
3.构造以C、Q、E、H为顶点的平行四边形,再用邻边相等列方程验证菱形是否存在.
满分解答
(1)A(1,4).因为抛物线的顶点为A,设抛物线的解析式为y=a(x-1)2+4,
代入点C(3,0),可得a=-1.
所以抛物线的解析式为y=-(x-1)2+4=-x2+2x+3.
(2)因为PE//BC,所以.因此.
所以点E的横坐标为.
将代入抛物线的解析式,y=-(x-1)2+4=.
所以点G的纵坐标为.于是得到.
因此.
所以当t=1时,△ACG面积的最大值为1.
(3)或.
考点伸展
第(3)题的解题思路是这样的:
因为FE//QC,FE=QC,所以四边形FECQ是平行四边形.再构造点F关于PE轴对称的点H′,那么四边形EH′CQ也是平行四边形.
再根据FQ=CQ列关于t的方程,检验四边形FECQ是否为菱形,根据EQ=CQ列关于t的方程,检验四边形EH′CQ是否为菱形.
,,,.
如图2,当FQ=CQ时,FQ2=CQ2,因此.
整理,得.解得,(舍去).
如图3,当EQ=CQ时,EQ2=CQ2,因此.
整理,得..所以,(舍去).
图2图3
例42011年上海市中考第24题
已知平面直角坐标系xOy(如图1),一次函数的图象与y轴交于点A,点M在正比例函数的图象上,且MO=MA.二次函数
y=x2+bx+c的图象经过点A、M.
(1)求线段AM的长;
(2)求这个二次函数的解析式;
(3)如果点B在y轴上,且位于点A下方,点C在上述二次函数的图象上,点D在一次函数的图象上,且四边形ABCD是菱形,求点C的坐标.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11上海24”,拖动点B在y轴上点A下方运动,四边形ABCD保持菱形的形状,可以体验到,菱形的顶点C有一次机会落在抛物线上.
思路点拨
1.本题最大的障碍是没有图形,准确画出两条直线是基本要求,抛物线可以不画出来,但是对抛物线的位置要心中有数.
2.根据MO=MA确定点M在OA的垂直平分线上,并且求得点M的坐标,是整个题目成败的一个决定性步骤.
3.第(3)题求点C的坐标,先根据菱形的边长、直线的斜率,用待定字母m表示点C的坐标,再代入抛物线的解析式求待定的字母m.
满分解答
(1)当x=0时,,所以点A的坐标为(0,3),OA=3.
如图2,因为MO=MA,所以点M在OA的垂直平分线上,点M的纵坐标为.将代入,得x=1.所以点M的坐标为.因此.
(2)因为抛物线y=x2+bx+c经过A(0,3)、M,所以解得,.所以二次函数的解析式为.
(3)如图3,设四边形ABCD为菱形,过点A作AE⊥CD,垂足为E.
在Rt△ADE中,设AE=4m,DE=3m,那么AD=5m.
因此点C的坐标可以表示为(4m,3-2m).将点C(4m,3-2m)代入,得.解得或者m=0(舍去).
因此点C的坐标为(2,2).
图2图3
考点伸展
如果第(3)题中,把“四边形ABCD是菱形”改为“以A、B、C、D为顶点的四边形是菱形”,那么还存在另一种情况:
如图4,点C的坐标为.
图4
例52011年江西省中考第24题
将抛物线c1:
沿x轴翻折,得到抛物线c2,如图1所示.
(1)请直接写出抛物线c2的表达式;
(2)现将抛物线c1向左平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为M,与x轴的交点从左到右依次为A、B;将抛物线c2向右也平移m个单位长度,平移后得到新抛物线的顶点为N,与x轴的交点从左到右依次为D、E.
①当B、D是线段AE的三等分点时,求m的值;
②在平移过程中,是否存在以点A、N、E、M为顶点的四边形是矩形的情形?
若存在,请求出此时m的值;若不存在,请说明理由.
图1
动感体验
请打开几何画板文件名“11江西24”,拖动点M向左平移,可以体验到,四边形ANEM可以成为矩形,此时B、D重合在原点.观察B、D的位置关系,可以体验到,B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况.
思路点拨
1.把A、B、D、E、M、N六个点起始位置的坐标罗列出来,用m的式子把这六个点平移过程中的坐标罗列出来.
2.B、D是线段AE的三等分点,分两种情况讨论,按照AB与AE的大小写出等量关系列关于m的方程.
3.根据矩形的对角线相等列方程.
满分解答
(1)抛物线c2的表达式为.
(2)抛物线c1:
与x轴的两个交点为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c2:
与x轴的两个交点也为(-1,0)、(1,0),顶点为.
抛物线c1向左平移m个单位长度后,顶点M的坐标为,与x轴的两个交点为、,AB=2.
抛物线c2向右平移m个单位长度后,顶点N的坐标为,与x轴的两个交点为、.所以AE=(1+m)-(-1-m)=2(1+m).
①B、D是线段AE的三等分点,存在两种情况:
情形一,如图2,B在D的左侧,此时,AE=6.所以2(1+m)