河北省石家庄市正定中学学年高一上学期期末数学试.docx
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河北省石家庄市正定中学学年高一上学期期末数学试
2018-2018学年河北省石家庄市正定中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．若集合，则M∩N=（ ）
A．{y|y≥1}B．{y|y＞1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}
2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a
3．对于向量、、和实数λ，下列正确的是（ ）
A．若•=0，则=0或=0B．若λ=0，则λ=0或=
C．若2=2，则=或=﹣D．若•=•，则=
4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则等于（ ）
A．﹣B．C．0D．
5．已知函数f（x）=，则函数f（3x﹣2）的定义域为（ ）
A．[，]B．[﹣1，]C．[﹣3，1]D．[，1]
6．设f（x）=，则f
（1）=（ ）
A．3B．4C．5D．6
7．为得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可由函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
8．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A．B．（2，+∞）C．D．
9．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，有下列四个结论：
①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间[﹣，]上是增函数；③f（x）的图象关于点（，0）对称；④x=是f（x）的一条对称轴．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
10．如图，在△ABC中，++=，=，=，已知点P，Q分别为线段CA，CB（不含端点）上的动点，PQ与CG交于H，且H为线段CG中点，若=m，=n，则+=（ ）
A．2B．4C．6D．8
11．函数f（x）=ln|x﹣1|+2cosπx（﹣2≤x≤4）的所有零点之和等于（ ）
A．2B．4C．6D．8
12．函数f（x）=sin2xtanx+2sinxtan的值域为（ ）
A．[0，4]B．[0，4）C．[0，3）∪（3，4]D．[0，3）∪（3，4）
二、填空题（本大题包括4小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上）.
13．若f（x）是幂函数，且满足=2，则f（）= ．
14．已知△ABC中，AB=2，AC=4，点D是边BC的中点，则•等于 ．
15．化简= ．
16．函数f（x）=a|log2x|+1（a≠0），定义函数F（x）=，给出下列命题：
①F（x）=|f（x）；
②函数F（x）是偶函数；
③当a＜0时，若0＜m＜n＜1，则有F（m）﹣F（n）＜0成立；
④当a＞0时，函数y=F（x）﹣2有4个零点．
其中正确命题的序号为 ．
三、解答题（本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）.
17．（10分）已知=（x，1），=（4，﹣2）．
（Ⅰ）当∥时，求|+|；
（Ⅱ）若与所成角为钝角，求x的范围．
18．（12分）已知sinα=﹣，tan（α+β）=﹣3，π＜α＜，0＜β＜π．
（Ⅰ）求tanβ；
（Ⅱ）求2α+β的值．
19．（12分）已知f（x）=4sinωxsin（ωx+）﹣1（ω＞0），f（x）的最小正周期为π．
（Ⅰ）当x∈[0，]时，求f（x）的最大值；
（Ⅱ）请用“五点作图法”画出f（x）在[0，π]上的图象．
20．（12分）已知函数f（x）=的定义域为（﹣1，1），满足f（﹣x）=﹣f（x），且f（）=．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）证明f（x）在（﹣1，1）上是增函数；
（3）解不等式f（x2﹣1）+f（x）＜0．
21．（12分）如图所示，游乐场中的摩天轮匀速逆时针旋转，每转一圈需要6min，其中心O距离地面40.5m，摩天轮的半径为40m，已知摩天轮上点P的起始位置在最低点处，在时刻t（min）时点P距离地面的高度为f（t）=Asin（ωt+φ）+h（A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜0，t≥0）．
（Ⅰ）求f（t）的单调减区间；
（Ⅱ）求证：
f（t）+f（t+2）+f（t+4）是定值．
22．（12分）已知函数f（x）=9x﹣a•3x+1+a2（x∈[0，1]，a∈R），记f（x）的最大值为g（a）．
（Ⅰ）求g（a）解析式；
（Ⅱ）若对于任意t∈[﹣2，2]，任意a∈R，不等式g（a）≥﹣m2+tm恒成立，求实数m的范围．
2018-2018学年河北省石家庄市正定中学高一（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上）.
1．若集合，则M∩N=（ ）
A．{y|y≥1}B．{y|y＞1}C．{y|y＞0}D．{y|y≥0}
【考点】交集及其运算；指数函数的定义、解析式、定义域和值域．
【分析】求出指数函数y=2x及函数y=的值域，分别确定出集合M和N，找出两集合解集中的公共部分即可得到两集合的交集．
【解答】解：
由集合M中的函数y=2x＞0，得到函数的值域为y＞0，
∴集合M={y|y＞0}，
由集合N中的函数y=≥0，得到函数的值域为y≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y＞0}．
故选C
【点评】此题属于以函数的值域为平台，考查了交集的运算，是高考中常考的基本题型．
2．已知a=log20.3，b=20.1，c=0.21.3，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．a＜b＜cB．c＜a＜bC．a＜c＜bD．b＜c＜a
【考点】对数值大小的比较．
【分析】看清对数的底数，底数大于1，对数是一个增函数，0.3的对数小于1的对数，得到a小于0，根据指数函数的性质，得到b大于1，而c小于1，根据三个数字与0，1之间的关系，得到它们的大小关系．
【解答】解：
由对数和指数的性质可知，
∵a=log20.3＜0
b=20.1＞20=1
c=0.21.3＜0.20=1
∴a＜c＜b
故选C．
【点评】本题考查对数的性质，考查指数的性质，考查比较大小，在比较大小时，若所给的数字不具有相同的底数，需要找一个中间量，把要比较大小的数字用不等号连接起来．
3．对于向量、、和实数λ，下列正确的是（ ）
A．若•=0，则=0或=0B．若λ=0，则λ=0或=
C．若2=2，则=或=﹣D．若•=•，则=
【考点】平面向量数量积的运算．
【分析】利用平面向量的几个常见的基本概念，对选项分别分析选择．
【解答】解：
对于A，若时，•=0也成立；故A错误；
对于C，2=2，得到，什么长度相等，但是方向不确定；故C错误；
对于D，•=•，得到=0，得到或者或者；故D错误；
故选：
B．
【点评】本题考查了平面向量的数量积以及数乘、模的关系等；属于基础题．
4．已知角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，则等于（ ）
A．﹣B．C．0D．
【考点】运用诱导公式化简求值．
【分析】利用三角函数的定义，求出tanθ，利用诱导公式化简代数式，代入即可得出结论．
【解答】解：
∵角θ的顶点在坐标原点，始边与x轴正半轴重合，终边在直线3x﹣y=0上，
∴tanθ=3，
∴===，
故选：
B．
【点评】本题考查三角函数的定义，考查诱导公式的运用，正确运用三角函数的定义、诱导公式是关键．
5．已知函数f（x）=，则函数f（3x﹣2）的定义域为（ ）
A．[，]B．[﹣1，]C．[﹣3，1]D．[，1]
【考点】函数的定义域及其求法．
【分析】运用偶次根式被开方数非负，求得f（x）的定义域，再由﹣1≤3x﹣2≤3，解不等式即可得到所求．
【解答】解：
由﹣x2+2x+3≥0，
解得﹣1≤x≤3，
即定义域为[﹣1，3]．
由﹣1≤3x﹣2≤3，
解得≤x≤，
则函数f（3x﹣2）的定义域为[，]，
故选：
A．
【点评】本题考查函数定义域的求法，注意偶次根式的含义和定义域含义，考查运算能力，属于基础题．
6．设f（x）=，则f
（1）=（ ）
A．3B．4C．5D．6
【考点】函数的值．
【分析】由已知得f
（1）=f[f
（2）]+1=f（2×2﹣1）+1，由此能求出结果．
【解答】解：
∵f（x）=，
∴f
（1）=f[f
（2）]+1=f（2×2﹣1）+1=f（3）+1
=2×3﹣1+1=6．
故选：
D．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．
7．为得到函数y=sin2x﹣cos2x的图象，可由函数y=sin2x的图象（ ）
A．向左平移个单位B．向右平移个单位
C．向左平移个单位D．向右平移个单位
【考点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换．
【分析】由条件利用两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，可得结论．
【解答】解：
∵函数y=sin2x﹣cos2x=sin（2x﹣）=sin[2（x﹣）]，
∴把函数y=sin2x的图象向右平移个单位，可得函数y=sin2x﹣cos2x的图象，
故选：
B．
【点评】本题主要考查两角差的正弦公式，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律的简单应用，属于基础题．
8．已知定义域为R的偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，且=2，则不等式f（log4x）＞2的解集为（ ）
A．B．（2，+∞）C．D．
【考点】对数函数的单调性与特殊点；偶函数．
【分析】由题意知不等式即f（log4x）＞，即log4x＞，或log4x＜﹣，利用对数函数的定义域和单调性
求出不等式的解集．
【解答】解：
由题意知不等式f（log4x）＞2，即f（log4x）＞，又偶函数f（x）在（﹣∞，0]上是减函数，
∴f（x）在[0，+∞）上是增函数，∴log4x＞=log42，或log4x＜﹣=，
∴0＜x＜，或x＞2，
故选A．
【点评】本题考查函数的奇偶性和单调性的应用，对数函数的单调性及特殊点．
9．已知函数f（x）=sin2x﹣cos2x，有下列四个结论：
①f（x）的最小正周期为π；②f（x）在区间[﹣，]上是增函数；③f（x）的图象关于点（，0）对称；④x=是f（x）的一条对称轴．其中正确结论的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
【考点】命题的真假判断与应用．
【分析】函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），分析函数的周期性，单调性，对称性，可得答案．
【解答】解：
函数f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），
①f（x）的最小正周期为π，故①正确；
②由2x﹣∈[﹣+2kπ，+2kπ]（k∈Z）得：
x∈[﹣+kπ，+kπ]（k∈Z），
故f（x）在区间[﹣，]上不是单调函数，故②错误；
③由2x﹣=2kπ得：
x=+kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于点（，0）对称，故③正确；
④由2x﹣=+2kπ得：
x=+kπ，（k∈Z），
当k=0时，f（x）的图象关于x=对称，
故④正确；
故选：
C
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了三角函数的图象和性质，难度中档．
10．如图，在△ABC中，++=，=，=，已知点
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