巧用图形运动构造全等三角形及其变换.docx

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巧用图形运动构造全等三角形及其变换

巧用图形运动构造全等三角形

学习了全等之后，我们可以利用全等证两条线段相等．基本步骤为：

（1）观察要证明的线段在哪两个可能全等的三角形中，找到并证明这两个三角形全等；

（2）若所证线段不在全等三角形中，可以相等线段替换后，证三角形全等；

（3）如果没有相等线段替换，则可以根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等三角形．

前两个步骤对于同学们来说并不是很困难，难就难在如何根据图形结合已知添加适当辅助线构造全等三角形．如果我们能从图形运动的角度，采取平移、翻折、旋转等方法，就可以先找出辅助线的位置，再恰当的做出辅助线构造全等三角形解决问题．

我们先看一下一道经典习题的常规解法．

【草根批注：

设正方形边长为a，AM=b，BM=a-b，BQ=QN=c，利用相似列等式，进行等式变形即可】

除了上述的常规构造解法，此题我们可以利用图形的运动巧添辅助线

【草根批注：

先证△MBN≌△MBH，再通过“等角对等边”证DM=MH】

【草根批注：

易证△QMB为等腰直角三角形，再证△DQM≌△MBN】

【草根批注：

易证△ABH是等腰直角三角形，继而可知AB垂直平分DH，从而可知DM=MH，再通过等角对等边证“MH=MN”】

【草根批注：

易证△AMH是等腰直角三角形，继而证明△MBN≌△MBH】

通常的情况下，我们是利用方法1和方法2来构造全等三角形解决问题．方法3、方法4、方法5、方法6巧妙地运用了图形的运动来构造全等三角形解决问题．图形的运动不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置，从而达到优化图形结构，进一步整合图形条件的目的，使较为复杂的问题得以创造性地解决．

数学因运动而充满活力，数学因变化而精彩纷呈．如果我们能运用“动”的思路观察、分析、推理、探究相关图形的位置变化情况或图形的相关性质就能巧妙地解决问题．

【草根批注：

一道普通试题变化孕育出这么多精彩绝伦的解法，足见沈老师在此用足了心思，这也是草根一看到这篇文章就要来的原因。

不过在这些表面光鲜运用图形运动的解法背后，其实道道对于学生利用等（同）角和差证等角的功力提出了相当的挑战，草根一直认为几何证明题大的方面要会添辅助线、小的方面要会证等角，所以把这六种解法拿去上课，既能开拓学生视野，而且还能锻炼学生证等角的能力】

一道几何证明题的变化演变

运用“问题变式”教学逐步帮助学生掌握辅助线添加方法的尝试

对于一些学生普遍感到有困难的数学问题的解决，一个基本思路就是把没有解决的问题化归为已经解决的问题，复杂的问题化归为简单的问题（波利亚，1945）。

由于在未解决问题（复杂问题）和解决了的简单问题之间没有清晰的联系，因此有时需要运用“问题变式”为完成这种化归设置一些路径。

这一转换过程可以用图1来表示。

在初中的数学教学中就有一些学生掌握较困难的难点，例如：

几何证明中的“辅助线添加”。

在实际教学中，我发现虽然教师针对这一难点，讲解了很多例题，学生也操练了不少习题，但实际效果并不理想，很多学生面对新的需要“添加辅助线”的数学问题时，依旧感到束手无策，可见学生对于辅助线添加的方法还没有真正掌握。

针对此，我尝试针对“添加辅助线构造全等三角形”中的一类问题，设计了一组“问题变式”（其基本结构如右图），试图以此逐步帮助学生掌握该类辅助线添加方法。

以下我就根据初二学生的一般认知水平，并结合课堂中学生的即时反馈，客观描述学生通过我所设计的这组“问题变式”的学习，其对于“添加辅助线构造全等三角形”这类数学问题的认知过程。

一、通过“源问题”给出问题解决的基本流程：

源问题：

如图（3），E是正方形ABCD边AB上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），在另一条直角边上截取DE=EF，联结BF，证明：

BF平分∠CBM。

第一步：

观察图形，通过“外角的性质”或“同角的余角”发现“∠ADE=∠BEF”；

第二部：

根据已掌握的“等角”和“等边”的条件，构造全等三角形（过点F做FH⊥AB于H）；

第三步：

利用构造出的全等三角形，通过合理论证得到须证明的结论。

注：

由△ADE≌△EFH，

得FH=AE、EH=AD=AB，继而可推得：

BH=FH，即△BFH是等腰直角三角形。

二、通过“垂直变式题”，逐步增加认知负荷，驱动高层的数学思维

变式一：

如图

（1），E是正方形ABCD边AB上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

求证：

DE=EF。

变式二：

如图

（2），E是正方形ABCD边AB延长线上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

求证：

DE=EF。

对于“变式一”，学生会发现如果依旧“过点F做FH⊥AB于H”，由于苦于找不到“等边”的条件，所以无法证明△DAE≌△EFH。

（注：

事实上，如果仅根据初二学生的认知水平，确实证不出这组三角形的任何一组等边）

面对学生的困惑，我引导他们思考：

和源问题相比，什么结论依旧存在，什么条件已经不存在了？

学生容易发现，“等角”的结论依旧存在，但“等边”的条件“消失”了，而证明“三角形全等”必须至少要找出一组对应边相等，于是我进一步引导学生：

是不是可以通过构造辅助线创造“等边”。

不久，就有学生提出：

在AD上截取DG=EB，联结GE（如图6），由于AD=AB，不难发现△GAE是等腰直角三角形，从而可得∠DGE=135°，又因为∠EBF=135°，所以∠DGE=∠EBF，从而证明了△DGE≌△EBF。

对于“变式二”，课堂中有很多学生在尝试模仿“变式一”中添加的辅助线的方法：

在AD上截取DG=EB，联结GE（如图7）。

继而就开始苦苦思索△DGE≌△EBF的原因……，而事实上，易发现△DGE与△EBF并不“全等”。

于是在部分学生心中就会产生新的困惑：

为什么“变式一”中成功的辅助线添加的方法，在“变式二”中“失灵”了呢？

针对部分学生的“困惑”，我引导学生重新反思“变式一”。

学生发现“变式一”中添加辅助线的初衷确实是为了利用“等角”的阶段结论，截取一条相等线段从而构造“全等三角形”，但在截取相等线段的同时也“无意之间”产生了一个等腰直角△GAE，而恰恰正是这个等腰直角三角形在关键时刻提供了另一组“等角”的条件，所以“变式一”中“截取相等线段”的辅助线其实有着一箭双雕的“妙用”！

而如果在“变式二”中，我们机械“模仿”变式一，依然在AD上截取DG，那“变式一”中的等腰直角三角形将不复存在，证不出全等也自然在情理之中了。

在反思原有辅助线添加方法的基础上，我进一步引导学生，既然“截取相等线段”不行，那我们应该怎样添加这条辅助线呢？

话音刚落，不少同学异口同声地回答：

“应该‘补’！

”即延长AD至点G，使得DG=EB，连结GE（如图8）。

容易发现，这样添加的辅助线构造了相等线段的同时也“产生”出了一个新的等腰直角△GAE，利用该等腰直角三角形，不难发现“∠G=∠FBE”，从而可证“△DGE≌△EBF”。

三、通过“水平变式题”，巩固已掌握的数学方法，为量变到质变提供可能。

变式三：

已知：

如图（9）△ABD和△DBC均为等边三角形，点E、F分别在边AB、BC上，联结ED、DF，若∠DEF=60°，证明：

△EDF是等边三角形。

虽然“变式三”只是背景由“正方形”变为了“等边三角形”，辅助线的添加方法并没有发生“变化”，但班内依旧有近三分之一的同学有困难，这正说明学生之间思维能力是有差异的，所以此处设计的“变式三”，既为部分困难的学生提供再“运用”、再“巩固”的机会，也为另一部分同学提供了思考这类问题“共性”的机会。

我想量变是质变的基础，学生只有通过适当的反复，才能通过表面特征的重复，才能慢慢形成解决问题的一般方法。

所以“水平变式题”在“问题变式”教学过程中同样起着至关重要的作用。

四、最后通过“垂直变式题”，从特殊到一般摸索出这类题目一般规律。

变式四：

已知：

如图（4），AB=AE，∠A=∠BCD=α，若∠DEF=______（用“α”表示），则可证BC=CD。

对于“变式四”，由条件“∠A=∠BCD=α”可得到一组等角：

∠B=∠DCE；利用这组等角，在AB上截取GB=CE，由于AB=AE，所以AG=AC，进一步可得：

∠AGC=90-α/2，所以若希望△GBC≌△CED的结论依旧成立，则∠DEF的度数也须等于“=90-α/2”。

换言之，符合这样规律的问题，都可以参考本例添加辅助线。

从而，由特殊到一般摸索出了这类几何证明题的一般规律。

就本节课的教学设计而言，我从源问题出发先铺设了两道“垂直变式题”，引导学生在利用等角构造全等三角形的基础上，逐步增加认知负荷，逐步驱动高层的数学思维，逐步由表层类比（数字和字母的变化）向结构类比转化。

增加深层策略，由原来的程式知识转为策略知识，由表层学习向结构学习转化，逐步增加对数学本质的深层体会，从而使学生的体验由起点（例题）到终点（垂直变式题）的深层经历。

然后通过一道“水平变式题”的巩固后，进一步通过反思理解了这类几何问题的一般规律，掌握了这类几何问题的辅助线的添加方法。

其实针对这类问题的解决我们还可以设计出很多相关问题变式，如下例：

源问题：

如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若EF=BE+DF，试证明：

∠EAF=45°；

变式一（垂直变式），如图11，已知，在正方形ABCD的边BC、CD上有两点E、F，若∠EAF=45°，试证明：

EF=BE+DF；

变式二（垂直变式），如图12，已知，在正方形ABCD的边BC、CD延长线上有两点E、F，若∠EAF=45°，问此时线段EF、线段BE和线段DF之间有着怎样的数量关系？

并请证明你的结论；

变式三（水平变式），如图13，已知△ABC是边长为9的等边三角形，△BDC是等腰三角形，且∠BDC=120°，以D为顶点作一个60°角，使其两边分别交边AB于点M、交AC于点N，联接MN，求△AMN的周长。

变式四（垂直变式），若AB=AC，BD=CD，∠A=α，若∠BDC=______，∠MDN=____________，则可证

MN=BN+。

通过这些“问题变式”训练，我所教学生处理类似“添加辅助线构造全等三角形”相关问题的能力得到了一定的提高。

所以我认为“问题变式”教学的优势就在于，变式题不同于记忆型题目和高层思维型题目（如开放题），而是在记忆型题目和高层思维型题目两个“极端”之间保持“平衡”，真正使学生的数学学习循序渐进、“变”中得“进”，融会贯通，从而达到减负增效的作用。

一道数学压轴题的思路来源

我的思考一、本题是该命题老师其常用构题思想（我多年观察后的体会）的体现：

利用基本图形合成试题背景、运用图形的运动构造试题，本题的背景是两个3:

4:

5的直角三角形的拼接，然后是一个等角的旋转，由此产生了一组经典的相似三角形：

△ABE∽△ACF，然而这竟触动了我对于另一老题的新的诠释，大家看：

例：

如图，E是正方形ABCD边AB上一点。

直角三角尺的一条直角边经过点D，且直角顶点E在AB边上滑动（点E不与点A，B重合），另一条直角边与∠CBM的平分线BF相交于点F。

求证：

DE=EF。

解析：

右图是本例最经典的解法，在AD上截取DG=EB，联结GE，由于AD=AB，不难发现△GAE是等腰直角三角形，从而可得∠DGE=135°，又因为∠EBF=135°，所以∠DGE=∠EBF，从而证明了△DGE≌△EBF

现在换一个视角看问题，由结论倒退由于需证明的是DE=EF，所以连接DF，△DEF自然是一个等腰直角三角形，∠EDF=45°，再连接DB呢？

以下将详细证明此题

证：

连接DB、DF

∵在正方形ABCD中，∴BD平分∠ABC，∠ABC=90°，∴∠DBC=45°同理∠ADB=45°

∵BF平分∠CBM，∴∠CBF=45°，∴∠DBF=90°

∵∠DEF=90°，∴点D、E、B、F四点共圆，∴∠BDF=∠BEF

∵∠BEF+∠DEF=∠A+∠ADE，∠DEF=∠A=90°，∴∠BEF=∠ADE

∴∠BDF=∠ADE，∴∠EDF=∠ADB=45°，∴∠DFE=45°=∠EDF，∴DE=EF

剖析自己的思索的过程，在陈永明教授著《数学习题教学研究》一书中称之为“联想”，而之所以我能这么“联想”是因为我分析了原题图形的基本特征（此岸），熟悉另一问题的大致背景（彼岸），并且从中找到了部分共同的特点，从而进行了尝试，

所以从这道题我自己的经历看，能进行合理“联想”有三个要素：

①熟悉“此岸”与“彼岸”；②发现共同要素；③动手尝试。

我的思考二：

经我高手同事的点拨，我发现本例第三问的“GA=EG”这一情况有比我视频中介绍的更巧妙的方法，大家看下图，GA=EG→∠EAG=∠AEG=∠D=∠DCG，得AE∥CD结合AD∥EC可知四边形AECD是平行四边形，EC=AD=9

其实这个平行四边形很难看出来，原因是原图不像平行四边形！

现在的问题是：

如何从不准的图中发现特殊图形关系？

有人说，图不准就画一个准的呗？

这是典型站着说话不腰疼，学生怎么就能“剧透”得知准的图长什么样？

对此我的思考是：

①要求学生做题时，标注条件（如下图）；

②平时课上就要训练学生看不太准确的图，并要求把题目条件标注在图上后，看图回答“看到…想到…”，如本例，看到∠BAC=∠AEC想到相似、看到∠AEC=∠DCG想到平行。