简单的线性规划典型例题.docx

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简单的线性规划典型例题

2019年简单的线性规划典型例题

篇一：

典型例题：

简单的线性规划问题

典型例题

【例1】求不等式｜x－1｜+｜y－1｜≤2表示的平面区域的面积.

【例2】某矿山车队有4辆载重量为10t的甲型卡车和7辆载重量为6t的乙型卡车，有9名驾驶员此车队每天至少要运360t矿石至冶炼厂.已知甲型卡车每辆每天可往返6次，乙型卡车每辆每天可往返8次甲型卡车每辆每天的成本费为252元，乙型卡车每辆每天的成本费为160元.问每天派出甲型车与乙型车各多少辆，车队所花成本费最低?

参考答案

例1：

【分析】依据条件画出所表达的区域，再根据区域的特点求其面积.

【解】｜x－1｜+｜y－1｜≤2可化为

或其平面区域如图：

或或

∴面积S=×4×4=8

【点拨】画平面区域时作图要尽量准确，要注意边界.

例2：

【分析】弄清题意，明确与运输成本有关的变量的各型车的辆数，找出它们的约束条件，列出目标函数，用图解法求其整数最优解.

【解】设每天派出甲型车x辆、乙型车y辆，车队所花成本费为z元，那么

z=252x+160y，

作出不等式组所表示的平面区域，即可行域，如图

作出直线l0：

252x+160y=0，把直线l向右上方平移，使其经过可行域上的整点，且使在y轴上的截距最小.

观察图形，可见当直线252x+160y=t经过点（2，5）时，满足上述要求.

此时，z=252x+160y取得最小值，即x=2，y=5时，

zmin=252×2+160×5=1304.

答：

每天派出甲型车2辆，乙型车5辆，车队所用成本费最低.

【点拨】用图解法解线性规划题时，求整数最优解是个难点，对作图精度要求较高，平行直线系f（x，y）=t的斜率要画准，可行域内的整点要找准，最好使用“网点法”先作出可行域中的各整点.

篇二：

不等式线性规划知识点梳理及经典例题及解析

线性规划讲义

【考纲说明】

（1）了解线性规划的意义、了解可行域的意义；

（2）掌握简单的二元线性规划问题的解法．

（3）巩固图解法求线性目标函数的最大、最小值的方法；（4）会用画网格的方法求解整数线性规划问题．

（5）培养学生的数学应用意识和解决问题的能力．

【知识梳理】

简单的线性规划问题一、知识点

1.目标函数:

Ｐ＝２ｘ＋ｙ是一个含有两个变量ｘ和ｙ的函数，称为目标函数．2.可行域:

约束条件所表示的平面区域称为可行域.3.整点:

坐标为整数的点叫做整点．

4.线性规划问题:

求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，通常称为线性规划问题．只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．

5.整数线性规划:

要求量取整数的线性规划称为整数线性规划．二、疑难知识导析

线性规划是一门研究如何使用最少的人力、物力和财力去最优地完成科学研究、工业设计、经济管理中实际问题的专门学科.主要在以下两类问题中得到应用：

一是在人力、物力、财务等资源一定的条件下，如何使用它们来完成最多的任务；二是给一项任务，如何合理安排和规划，能以最少的人力、物力、资金等资源来完成该项任务.1.对于不含边界的区域，要将边界画成虚线．

2.确定二元一次不等式所表示的平面区域有多种方法，常用的一种方法是“选点法”：

任选一个不在直线上的点，检验它的坐标是否满足所给的不等式，若适合，则该点所在的一侧即为不等式所表示的平面区域；否则，直线的另一侧为所求的平面区域．若直线不过原点，通常选择原点代入检验．3.平移直线ｙ＝－kｘ＋Ｐ时，直线必须经过可行域．4.对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．

5.简单线性规划问题就是求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，无论此类题目是以什么实际问题提出，其求解的格式与步骤是不变的：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域；（3）在可行域内求目标函数的最优解.

积储知识：

一．1.点P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0上，则点P坐标适合方程，即Ax0+By0+C=0

2.点P（x0,y0）在直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），则当B>0时，Ax0+By0+C>0;当B<0时，Ax0+By0+C0时，Ax0+By0+C<0;当B0注意：

（1）在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点，把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得实数的符号都相同,

（2）在直线Ax+By+C=0的两侧的两点，把它的坐标代入Ax+By+C,所得到实数的符号相反,

即：

1.点P（x1,y1）和点Q（x2,y2）在直线Ax+By+C=0的同侧，则有（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）>0

2.点P（x1,y1）和点Q（x2,y2）在直线Ax+By+C=0的两侧，则有（Ax1+By1+C）（Ax2+By2+C）<0二.二元一次不等式表示平面区域:

①二元一次不等式Ax+By+C>0（或

②二元一次不等式Ax+By+C≥0（或≤0）在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域且包括边界;

注意：

作图时,不包括边界画成虚线;包括边界画成实线.三、判断二元一次不等式表示哪一侧平面区域的方法:

方法一:

取特殊点检验;“直线定界、特殊点定域

原因:

由于对在直线Ax+By+C=0的同一侧的所有点（x,y）,把它的坐标（x,y）代入Ax+By+C,所得到的实数的符号都相同,所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点（x0,y0）,从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C>0表示直线哪一侧的平面区域.特殊地,当C≠0时，常把原点作为特殊点，当C=0时，可用（0，1）或（1，0）当特殊点，若点坐标代入适合不等式则此点所在的区域为需画的区域，否则是另一侧区域为需画区域。

方法二：

利用规律：

1.Ax+By+C>0,当B>0时表示直线Ax+By+C=0上方（左上或右上），

当B

2.Ax+By+C0时表示直线Ax+By+C=0下方（左下或右下）

当B

四、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：

②线性目标函数：

③线性规划问题：

④可行解、可行域和最优解：

【经典例题】

一．建构数学

?

4x?

y?

10?

4x?

3y?

20?

1．问题：

在约束条件?

下，如何求目标函数P?

2x?

y的最大值？

?

x?

0?

?

y?

0

首先，作出约束条件所表示的平面区域，这一区域称为可行域，如图

（1）所示．

其次，将目标函数P?

2x?

y变形为y?

?

2x?

P的形式，它表示一条直线，斜率为，且在y轴上的截距为P．

平移直线y?

?

2x?

P，当它经过两直线4x?

y?

10与4x?

3y?

20的交点A（,5）时，直线在y

轴上的截距最

54

大，如图

（2）所示．

因此，当x?

555

y?

5时，目标函数取得最大值2?

?

5?

7.5，即当甲、乙两种产品分别生产t和5t时，可

444

54

获得最大利润7.5万元．

这类求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题，通常称为线性规划问题．其中（,5）使目标函数取得最大值，它叫做这个问题的最优解．对于只含有两个变量的简单线性规划问题可用图解法来解决．说明：

平移直线y?

?

2x?

P时，要始终保持直线经过可行域（即直线与可行域有公共点）．

二．数学运用

?

x?

4y?

?

3?

例1．设z?

2x?

y，式中变量x,y满足条件?

3x?

5y?

25，求z的最大值和最小值．

?

x?

1?

解：

由题意，变量x,y所满足的每个不等式都表示一个平面区域，不等式组则表示这些平面区域的公共区域．由图知，原点（0,0）不在公共区域内，当x?

0,y?

0时，z?

2x?

y?

0，即点（0,0）在直线l0：

2x?

y?

0上，作一组平行于l0的直线l：

2x?

y?

t，t?

R，可知：

当l在l0的右上方时，直线l上的点（x,y）

满足2x?

y?

0，即t?

0，而且，直线l往右平移时，t随之增大．由图象可知，

当直线l经过点A（5,2）时，对应的t最大，当直线l经过点B（1,1）时，对应的t最小，所以，zmax?

2?

5?

2?

12，zmin?

2?

1?

1?

3．

y

x?

1

C

Ax?

4y?

3?

0

O

3x?

5y?

25?

0

x

?

x?

4y?

?

3?

例2．设z?

6x?

10y，式中x,y满足条件?

3x?

5y?

25，求z的最大值和最小值．

?

x?

1?

解：

由引例可知：

直线l0与AC所在直线平行，则由引例的解题过程知，

当l与AC所在直线3x?

5y?

25?

0重合时z最大，此时满足条件的最优解有无数多个，当l经过点B（1,1）时，对应z最小，

∴zmax?

6x?

10y?

50，zmin?

6?

1?

10?

1?

16．

?

2x?

y?

3?

0?

例3．已知x,y满足不等式组?

2x?

3y?

6?

0，求使x?

y取最大值的整数x,y．

?

3x?

5y?

15?

0?

解：

不等式组的解集为三直线l1：

2x?

y?

3?

0，l2：

2x?

3y?

6?

0，l3：

3x?

5y?

15?

0所围成的三角形内部

y（不含边界），设l1与l2，l1与l3，l2与l3交点分别为A,B,C，则A,B,C坐标分别为

Al1（8,4），B（0,?

3），

7512C（,?

），l3

A1919

作一组平行线l：

x?

y?

t平行于l0：

x?

y?

0，当l往l0右上方移动时，t随之增大，

153

O

C

l2

x

63

∴当l过C点时x?

y最大为，但不是整数解，

19

75

又由0?

x?

知x可取1,2,3，

19

当x?

1时，代入原不等式组得y?

?

2，∴x?

y?

?

1；当x?

2时，得y?

0或?

1，∴x?

y?

2或1；当x?

3时，y?

?

1，∴x?

y?

2，

?

x?

2?

x?

3

故x?

y的最大整数解为?

或?

．

?

y?

0?

y?

?

1

例4．投资生产A产品时，每生产100吨需要资金200万元，需场地200平方米，可获利润300万元；投资生产B产品时，每生产100米需要资金300万元，需场地100平方米，可获利润200万元．现某单位可使用资金1400万元，场地900平方米，问：

应作怎样的组合投资，可使获利最大？

解：

设生产A产品x百吨，生产B产品y米，利润为S百万元，

?

2x?

3y?

14?

2x?

y?

9?

则约束条件为?

，目标函数为S?

3x?

2y．

?

x?

0?

?

y?

0

作出可行域（如图），

3S3S3S

x?

，它表示斜率为?

，在y轴上截距为的直线，平移直线y?

?

x?

，当它经

222222135S135

过直线与2x?

y?

9和2x?

3y?

14的交点（,）时，最大，也即S最大．此时，S?

3?

?

2?

?

14.75．

42242

将目标函数变形为y?

?

因此，生产A产品3.25百吨，生产B产品2.5米，利润最大为1475万元．说明：

（1）解线性规划应用题的一般步骤：

①设出数；②列出约束条件（要注意考虑数据、变量、不等式的实际

含义及计量单位的统一）；③建立目标函数；④求最优解．

一、对于有实际背景的线性规划问题，可行域通常是位于第一象限内的一个凸多边形区域，此时变动直线的最

佳位置一般通过这个凸多边形的顶点．

三、画区域

1.用不等式表示以A（1,4），B（?

3,0），C（?

2,?

2）为顶点的三角形内部的平面区域．

分析：

首先要将三点中的任意两点所确定的直线方程写出，然后结合图形考虑三角形内部区域应怎样表示。

解：

直线AB的斜率为：

kAB?

4?

0?

1，其方程为y?

x?

3．

1?

（?

3）可求得直线BC的方程为y?

?

2x?

6．直线AC的方程为y?

2x?

2．?

ABC的内部在不等式x?

y?

3?

0所表示平面区域内，同时在不等式

同时又在不等式2x?

y?

2?

0所表示2x?

y?

6?

0所表示的平面区域内，

区域内（如图）．?

x?

y?

3?

0,所以已知三角形内部的平面区域可由不等式组?

?

2x?

y?

6?

0,表示．

?

2x?

y?

2?

0?

的平面

说明：

用不等式组可以用来平面内的一定区域，注意三角形区域内部不包括边界线．2画出2x?

3?

y?

3表示的区域，并求所有的正整数解（x,y）．

?

y?

2x?

3,

解：

原不等式等价于?

而求正整数解则意味着x，y还有限制条件，即求

y?

3.?

?

x?

0,y?

0,

?

x?

z,y?

z,?

．?

?

y?

2x?

3,?

?

y?

3.

依照二元一次不等式表示的平面区域，知2x?

3?

y?

3表示的区域如下图：

对于2x?

3?

y?

3的正整数解，容易求得，在其区域内的整数解为

（1,1）、（1,2）、（1,3）、（2,2）、（2,3）．

3设x?

0，y?

0，z?

0；p?

?

3x?

y?

2z，q?

x?

2y?

4z，x?

y?

z?

1，用图表示出点（p,q）的范围．分析：

题目中的p，q与x，y，z是线性关系．可借助于x，y，z的范围确定（p,q）的范围．1?

x

?

（8?

q?

6p）,

?

3x?

y?

2z?

?

p,?

27

?

解：

由?

得1?

x?

2y?

4z?

q,?

（14?

5q?

3p）,?

y?

?

x?

y?

z?

1,27?

?

1?

z?

（5?

4p?

3q）,?

27?

篇三：

简单的线性规划典型例题精析

（二）

典例剖析

?

5x?

3y?

15?

［例1］求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件?

y?

x?

1

?

x?

5y?

3?

?

5x?

3y?

15?

【解】由不等式组?

y?

x?

1

?

x?

5y?

3?

作出可行区域，如图7—26所示的阴影部分．

∵目标函数为z=3x+5y,

∴作直线l:

3x+5y=t（t∈R）．

当直线l在l0的右上方时，l上的点（x,y）满足3x+5y＞0，即t＞0，而且，直线l向右平移时，t随之增大，在可行域内以经过点A（35,）的直线l1所对应的t最大．22

类似地，在可行域内，以经过B（－2,－1）的直线l2所对应的t最小．∴zmax35?

3?

?

5?

?

17,zmin?

3?

（?

2）?

5?

（?

1）?

?

11．22

【点评】正确地作出不等式组表示的平面区域（可行域），再由线性目标函数作出一组平行线考查最值，是解线性规划问题的基本步骤．

［例2］某纺纱厂生产甲、乙两种棉纱，已知生产甲种棉纱1吨需耗一级子棉2吨、二级子棉1吨;生产乙种棉纱需耗一级子棉1吨、二级子棉2吨，每1吨甲种棉纱的利润是600元，每1吨乙种棉纱的利润是900元，工厂在生产这两种棉纱的计划中要求消耗一级子棉不超过300吨、二级子棉不超过250吨．甲、乙两种棉纱应各生产多少（精确到吨），能使利润总额最大?

【分析】将已知数据列成下表：

?

2x?

y?

300,?

x?

2y?

250,?

解：

设生产甲、乙两种棉纱分别为x吨、y吨，利润总额为z元，那么?

?

x?

0,

?

?

y?

0;

z=600x+900y.

作出以上不等式组所表示的平面区域（如图7—27），即

可行域．

作直线l:

600x+900y=0，即直线l:

2x+3y=0,把直线l向右

上方平移至l1的位置时，直线经过可行域上的点M，且与原

点距离最大，此时z=600x+900y取最大值．解方程组

?

2x?

y?

300350200,得M的坐标为x=,y=.?

33?

x?

2y?

250

【答】应生产甲种棉纱350200吨，乙种棉纱吨，能33

使利润总额达到最大．

【点评】解线性规划应用问题的步骤是：

①从实际问题中抽象出不等式列出不等式组及线性目标函数;②由不等式组作出可行域;③作出一组平行直线Ax+By－ｚ=0考查最值．

［例3］要将甲、乙两种长短不同的钢管截成A、B、C三种规格，每根钢管可同时截得三种规格的短钢管的根数如下表所示：

今需A、B、C三种规格的钢管各13、16、18根，问各截这两种钢管多少根可得所需三种规格钢管，且使所用钢管根数最少．

?

2x?

2y?

13,?

x?

3y?

16,?

?

【解】设需截甲种钢管x根，乙种钢管y根，则?

4x?

y?

18,

?

x?

0,?

?

?

y?

0.

作出可行域（如图7—28）：

目标函数为z=x+y,

作出一组平行直线x+y=t中（t为参数）经过可行域内

的点且和原点距离最近的直线，此直线经过直线

4x+y=18和直线x+3y=16的交点A（3846,），直线方程1111

为x+y=843846.由于和都不是整数，所以可行域内111111

的点（3846,）不是最优解．1111

经过可行域内的整点且与原点距离最近的直线是x+y=8,经过的整点是B（4，4），它是最优解．

【答】要截得所需三种规格的钢管，且使所截两种钢管的根数最少，方法是截甲种钢管、乙种钢管各4根．

【点评】此例的解法是，先依条件列出不等式组，作出可行域，不考虑x、y为非负整数的条件，求出符合题中其他条件的最优解，然后看此最优解是否为非负整数解，若是非负整数解，则即为所求.若不是非负整数解，则应求出经过可行域内的非负整数解且与原点距离最远（或最近）的点的直线，这个非负整数解就是最优解．