人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案 83.docx

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人教版部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二含答案83

人教版_部编版八年级数学上册第十二章第二节三角形全等的判定考试复习题二（含答案）

已知：

四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC，连接BD．

（1）画出示意图；

（2）请问：

DB平分∠ADC吗？

请给出结论，并说明理由．

【答案】

（1）见解析；

（2）DB平分∠ADC，理由见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据题意画出图形即可；

（2）作BM⊥AD于M，BN⊥DC交DC的延长线于N，根据AAS证明△ABM≌△CBN，得出BM=BN，再根据HL证明△DBM≌△DBN即可解决问题．

【详解】

解：

（1）根据题意画出图形如下：

（2）DB平分∠ADC，理由：

作BM⊥AD于M，BN⊥DC交DC的延长线于N，

∵∠ABC=∠ADC=90°，

∴∠MBN=90°，

∴∠ABM=∠CBN，

∵BM⊥AD于M，BN⊥DC交DC的延长线于N，

∴∠AMB=∠CNB=90°，

又∵AB=BC，

∴△ABM≌△CBN，

∴BM=BN，

∵BD=BD，

∴Rt△DBM≌Rt△DBN，

∴∠BDM=∠BDN，即DB平分∠ADC．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，学会添加常用辅助线，构造全等三角形是解题的关键．

22．如图，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD、CE相交于F，若∠C=30°，DF=2，求BD的长．

【答案】6．

【解析】

【分析】

根据已知利用AAS判定△ABD≌△ACE，则AD=AE，∠B=∠C，因为AB=AC，可得BE=CD，再利用AAS判定△BEF≌△CDF，则BF=CF，BD=DF+CF，根据含30°的直角三角形的性质可得CF=2DF，即可求解．

【详解】

解：

∵AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，

∴∠ADB=∠AEC=90°，∠BAD=∠CAE，

∴△ABD≌△ACE．

∴AD=AE，∠B=∠C，

∵AB=AC，

∴AC-AD=AB-AE．

∴BE=CD

又∵∠B=∠C，∠EFB=∠DFC，

∴△BEF≌△CDF，

∴BF=CF，则BD=DF+CF，

∵BD⊥AC于D，∠C=30°，DF=2，

∴CF=2DF=4，

∴BD=DF+CF=2+4=6．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定和性质，含30°角的直角三角形的性质，由条件求得BF=CF是解题的关键．

23．如图，B、D、C、F在同一直线上，BD=CF，AC=ED，且AC∥ED，求证：

EF∥AB．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

根据平行线的性质得到∠ACB=∠EDF，然后利用SAS证明△ABC≌△EFD，进而得到∠B=∠F，于是得到EF∥AB．

【详解】

解：

∵AC∥ED，

∴∠ACB=∠EDF，

∵BD=CF，

∴BD+DC=CF+DC，即BC=FD，

在△ABC和△EFD中，

，

∴△ABC≌△EFD，

∴∠B=∠F，

∴EF∥AB．

【点睛】

本题考查全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用SAS证明△ABC≌△EFD．

24．如图，在△ABC和

△ADE中，点D在BC上，AC与DE交于点F，且∠EAC＝∠EDC，AC＝AE，BC＝DE．求证：

∠B＝∠ADE．

【答案】证明见解析.

【解析】

【分析】

根据题意只需要先证明△AED≌△ACB（SAS），即可解答.

【详解】

∵∠EAC＝∠EDC，∠EFA＝∠DFC，

∴∠E＝∠C，

在△AED和△ACB中，

，

∴△AED≌△ACB（SAS），

∴∠B＝∠ADE．

【点睛】

此题考查全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握判定定理.

25．如图，AB∥CD，连结AD，点E是AD的中点，连结BE并延长交CD于F点．

（1）请说明△ABE≌△DFE的理由；

（2）连结CE，AC,若CB⊥CD，AC=CD,∠D=30°，CD=2，求BF的长．

【答案】

（1）见解析；

（2）2

【解析】

【分析】

（1）由条件可得∠BAE=∠EDF，AE=ED，∠AEB=∠FED，则根据ASA可证明结论；

（2）由等腰三角形的性质可得CE⊥AD，求出CE=1，证明BF=2CE，则BF可求出．

【详解】

证明：

∵AB∥CD∴∠BAE=∠EDF

∵点E是AD的中点∴AE=ED

又∵∠AEB=∠FED

∴△ABE≌△DFE（ASA）

（2）解：

∵AC=CD且E为AD中点∴CE⊥AD

∵∠D=30°且CD=2∴CE=1

又∵CB⊥CD且BE=EF∴BF=2CE

∴BF=2

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定，含30°直角三角形的性质，等腰三角形的性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

26．如图1，等边△ABC中，点D、E分别在BC、AC上，BD=CE，连AD、BE．

（1）求证：

△CAD≌△ABE；

（2）如图2，延长FE至点G，使得FG=FA，连AG，试判断△AFG的形状，并说明理由；

（3）在

（2）的条件下，连CF，若CF⊥AD，求证：

CF⊥CG．

【答案】

（1）见解析;

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）由等边三角形的性质可得：

∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，再结合已知得出CD=AE，最后运用SAS即可证明；

（2）由

（1）△CAD≌△ABE，可得∠CAD=∠ABE，进而得出∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，即可说明其为等边三角形；

（3）由

（2）知△AFG是等边三角形，进一步说明∠BAF=∠CAG，运用（SAS）判定△ABF≌△ACG，得出∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，则AD∥CG，即可得出结论

【详解】

解：

（1）∵△ABC是等边三角形，

∴∠BAC=∠ACD=60°，AB=AC=BC，

∵BD=CE，

∴CD=AE，

在△CAD和△ABE中，

，

∴△CAD≌△ABE（SAS）；

（2）由

（1）知，△CAD≌△ABE，

∴∠CAD=∠ABE，

∴∠AFE=∠ABE+∠BAD=∠CAD+∠BAD=∠BAC=60°，

∵FG=FA，

∴△AFG是等边三角形；

（3）由

（2）知，△AFG是等边三角形，

∴AF=AG，∠AFE=∠AGF=∠FAG=60°=∠BAC，

∴∠BAF=∠CAG，

在△ABF和△ACG中，

，

∴△ABF≌△ACG（SAS），

∴∠AGC=∠AFB=180°-∠AFG=60°，

∴∠CGF=∠AGC-∠AGF=60°=∠AFG，

∴CG∥AD，

∵CF⊥AD，

∴CF⊥CG．

【点睛】

本题是一道三角形综合题，主要考查了等边三角形、全等三角形、平行线的性质和判定，其中判定△CAD≌△ABE是解本题的关键.

27．已知命题“等腰三角形两腰上的高线长相等”

（1）请写出该命题的逆命题；

（2）判断

（1）中命题的真假，并画出图形，补充已知，求证，及证明过程．

图形：

已知：

在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且______．

求证：

______．

证明：

【答案】

（1）见解析;

（2）见解析.

【解析】

【分析】

（1）根据原命题和逆命题的关系，即调换条件和结论；

（2）根据

（1）的条件和结论写出已知和求证，再画出图形，然后结合图形证明Rt△AEBE≌RtADC，证得AB=AC，即为等腰三角形.

【详解】

解：

（1）逆命题是如果一个三角形两条边上的高相等，那么这个三角形是等腰三角形；；

（2）已知：

在△ABC中，CD⊥AB，BE⊥AC，且CD=BE，

求证：

△ABC是等腰三角形．

证明：

如图，

∵BE、CD是△ABC的高，

∴CD⊥AB，BE⊥AC，

∵∠A=∠A，

∵BE=CD，

∴Rt△AEB≌Rt△ADC（AAS），

∴AB=AC，

∴△ABC是等腰三角形．

【点睛】

本题主要考查全等三角形的判定与性质及命题的相关知识，掌握命题与逆命题的关系及全等三角形的判定是解题的关键.

28．如图，已知AD为△ABC的中线，延长AD，分别过点B，C作BE⊥AD，CF⊥AD．求证：

DF=DE．

【答案】见解析

【解析】

【分析】

运用AAS判定△CFD≌ABED，再根据全等三角形的性质，求出求证

【详解】

证明：

∵AD为△ABC的中线，

∴BD=CD，

∵BE⊥AD，CF⊥AD，

∴∠CFD=∠E=90°，

在△CFD和△BED中

∴△CFD≌△BED（AAS），

∴DF=DE．

【点睛】

本题考查了全等三角形的性质和判定，其中寻找证明三角形全等的条件是解题的关键.

29．在△ABC中，AB＝AC，点D在直线BC上（不与点B、C重合），线段AD绕A点逆时针方向旋转∠BAC的大小，得线段AE，连接DE、CE．探索∠BCE与∠BAC的大小关系，并加以证明．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

分类讨论：

当点D在线段BC上，如图1，根据旋转的性质得AD=AE，再由∠DAE=∠BAC得到∠BAD=∠CAE，则可根据SAS判定△ABD≌△ACE，得到∠ABC=∠ACE，而∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC，而∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°，于是得到∠BCE+∠BAC=180°；

当点D再BC的延长线上，如图2，同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，同样可得∠BCE+∠BAC=180°；

当点D再CB延长线上时，如图3，同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=∠ACE，根据三角形外角性质得∠ABD=∠BAC+∠ACB，∠ACE=∠ACB+∠BCE，所以∠BCE=∠BAC；

综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补.

【详解】

∠BCE与∠BAC相等或互补.

理由如下：

当点D在线段BC上，如图1，

∵线段AD绕点A按逆时针方向旋转得到AE

∴AD=AE

∵∠DAE=∠BAC

∴∠BAD=∠CAE

在△ABD和△ACE中

∴△ABD≌△ACE（SAS）

∴∠ABC=ACE

∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=∠BCA+∠ABC

∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°

∴∠BCE+∠BAC=180°

当点D再BC的延长线上，如图2，

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=ACE

同样得到∠BCE+∠BAC=180°

当点D再CB延长线上时，如图3，

同样可证明△ABD≌△ACE，得到∠ABD=ACE

∵∠ABD=∠BAC+∠ACB

∠ACE=∠ACB+∠BCE

∴∠BCE=∠BAC

综上所述，∠BCE与∠BAC相等或互补.

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定与性质以及旋转的性质，分析题意，分类讨论，熟练掌握三角形全等相关性质定理以及分类讨论思想是解题关键.

30．如图，已知：

∠AOB＝90°，OE是∠AOB的平分线，P是OE上一动点，PC⊥PD，C、D分别在OA、OB上．求证：

PC＝PD．

【答案】见解析.

【解析】

【分析】

过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，

根据垂直的定义得到∠PMC=∠PND=90°，

根据角平分线的性质得到PE=PF，

利用四边形内角和定理得到∠PCM+∠PDO=360°-90°-90°=180°，

而∠PDO+∠PDN=180°，则∠PCM=∠PDN，

然后根据AAS可判断△PCM≌△PDN，

根据全等的性质即可得到PC＝PD.

【详解】

证明：

过点P作PM⊥OA于点M，PN⊥OB于点N，如图

∴∠PMC=∠PND=90°

∵OE是∠AOB的平分线

∴PM=PN

∵∠AOB＝90°，∠CPD=90°

∴∠PCM+∠PDO=360°-90°-90°=180°

而∠PDO+∠PDN=180°

∴∠PCM=∠PDN

在△PCM和△PDN中

∴△PCM≌△PDN（AAS）

∴PC＝PD

【点睛】

本题主要考查三角形全等的判定与性质，还涉及了余角定理、角平分线的性质、四边形内角和定理等知识点，熟练掌握相关性质定理，构造全等三角形是解题关键.