届四川省资阳市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案.docx

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届四川省资阳市高三第二次诊断性考试理科数学试题及答案

资阳市高中2017级第二次诊断性考试

数学（理工类）

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）。

第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至4页。

满分150分。

考试时间120分钟。

考生作答时，须将答案答在答题卡上，在本试题卷、草稿纸上答题无效。

考试结束后，将本试题卷和答题卡一并收回。

第Ⅰ卷（选择题共50分）

注意事项：

必须使用2B铅笔在答题卡上将所选答案的标号涂黑。

第Ⅰ卷共10小题。

一、选择题：

本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．复数是纯虚数，则实数m的值为

（A）－1（B）1

（C）（D）

2．集合，，若，则实数a的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

3．“”是“直线和互相平行”的

（A）充要条件（B）必要不充分条件

（C）充分不必要条件（D）既不充分又不必要条件

4．设抛物线上的一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离为

（A）3（B）4

（C）5（D）6

5．有5名同学站成一排照相，则甲与乙且甲与丙都相邻的不同排法种数是

（A）8（B）12

（C）36（D）48

6．在不等式组所表示的平面区域内任取一点P，若点P的坐标（x,y）满足的概率为，则实数k＝

（A）4（B）2

（C）（D）

7．执行如图所示的程序框图，则输出S的值为

（A）（B）

（C）0（D）

8．已知a、b为平面向量，若a＋b与a的夹角为，a＋b与b的夹角为，则

（A）（B）

（C）（D）

9．已知F1、F2是双曲线（a>0，b>0）的左、右焦点，点F1关于渐近线的对称点恰好落在以F2为圆心，|OF2|为半径的圆上，则该双曲线的离心率为

（A）（B）

（C）2（D）3

10．定义在R上的函数满足，当时，函数．若，，不等式成立，则实数m的取值范围是

（A）（B）

（C）（D）

第Ⅱ卷（非选择题共100分）

注意事项：

必须使用0.5毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。

作图时可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色墨迹签字笔描清楚。

答在试题卷、草稿纸上无效。

第Ⅱ卷共11小题。

二、填空题：

本大题共5小题，每小题5分，共25分。

11．二项式展开式中的系数是________．

12．某年级有1000名学生，现从中抽取100人作为样本，采用系统抽样的方法，将全体学生按照1～1000编号，并按照编号顺序平均分成100组（1～10号，11～20号，…，991～1000号）．若从第1组抽出的编号为6，则从第10组抽出的编号为_________．

13．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为________．

14．若直线与圆C:

相交于A、B两点，则＝______．

15．已知函数，若对给定的△ABC，它的三边的长a,b,c均在函数的定义域内，且也为某三角形的三边的长，则称是“保三角形函数”，给出下列命题：

①函数是“保三角形函数”；

②函数是“保三角形函数”；

③若函数是“保三角形函数”，则实数k的取值范围是；

④若函数是定义在R上的周期函数，值域为，则是“保三角形函数”；

⑤若函数是“保三角形函数”，则实数t的取值范是．

其中所有真命题的序号是_____________．

三、解答题：

本大题共6小题，共75分。

解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数．

（Ⅰ）求函数的最小正周期；

（Ⅱ）设，且，求的值．

17.（本小题满分12分）

在科普知识竞赛前的培训活动中，将甲、乙两名学生的6次培训成绩（百分制）制成如图所示的茎叶图：

（Ⅰ）若从甲、乙两名学生中选择1人参加该知识竞赛，你会选哪位？

请运用统计学的知识说明理由；

（Ⅱ）若从学生甲的6次培训成绩中随机选择2个，记选到的分数超过87分的个数为，求的分布列和数学期望．

18．（本小题满分12分）

四棱锥S－ABCD中，侧面SAD是正三角形，底面ABCD是正方形，且平面SAD⊥平面ABCD，M、N分别是AB、SC的中点．

（Ⅰ）求证：

MN∥平面SAD；

（Ⅱ）求二面角S－CM－D的余弦值．

19.（本小题满分12分）

等差数列的前n项和为，数列是等比数列，满足，，，．

（Ⅰ）求数列和的通项公式；

（Ⅱ）令设数列的前n项和，求．

20.（本小题满分13分）

已知椭圆Ω：

的焦距为，且经过点．

（Ⅰ）求椭圆Ω的方程；

（Ⅱ）A是椭圆Ω与轴正半轴的交点,椭圆Ω上是否存在两点M、N，使得△AMN是以A为直角顶点的等腰直角三角形？

若存在，请说明有几个；若不存在，请说明理由.

21.（本小题满分14分）

已知函数（其中，e是自然对数的底数，e＝2.71828…）．

（Ⅰ）当时，求函数的极值；

（Ⅱ）若恒成立，求实数a的取值范围；

（Ⅲ）求证：

对任意正整数n，都有．

资阳市高中2017级第二次诊断性考试

（数学学科）参考答案及评分意见（理工类）

一、选择题：

BACCB，DADCC．

二、填空题：

11.－40；12.96；13.；14.4；15.②③⑤.

三、解答题：

16.（本小题满分12分）

解析：

（Ⅰ）

，4分

故函数的最小正周期是π．6分

（Ⅱ）由，即，得，7分

因为，所以，可得，9分

则11分

．12分

17.（本小题满分12分）

解析：

（Ⅰ）学生甲的平均成绩，

学生乙的平均成绩，

又，

，

则，，

说明甲、乙的平均水平一样，但乙的方差小，则乙发挥更稳定，故应选择学生乙参加知识竞赛.6分

注：

（1）由茎叶图的分布可知应选择乙同学.（可给2分）

（2）由茎叶图可以看到甲的平均成绩在80分左右，其分布对称，乙的平均成绩在80分左右，但总体成绩稳定性较好，故应选择乙同学.（可给4分）

（Ⅱ）的所有可能取值为0，1，2，则

，，，

的分布列为

0

1

2

P

所以数学期望．12分

18．（本小题满分12分）

解析：

（Ⅰ）如图，取SD的中点R，连结AR、RN，

则RN∥CD，且RN＝CD，AM∥CD，

所以RN∥AM，且RN＝AM，

所以四边形AMNR是平行四边形，

所以MN∥AR，由于平面SAD，MN在平面SAD外，

所以MN∥平面SAD．4分

（Ⅱ）解法1：

取AD的中点O，连结OS，过O作AD的垂线交BC于G，分别以OA，OG，OS为x，y，z轴，建立坐标系，，，，，，

设面SCM的法向量为，6分

则有

令，，取面ABCD的法向量，

8分

则，

所以二面角S－CM－D的余弦值为．12分

解法2：

如图，取AD的中点O，连结OS、OB，OB∩CM＝H，连结SH，由SO⊥AD，且面SAD⊥面ABCD，

所以SO⊥平面ABCD，SO⊥CM，

易得△ABO≌△BCM，所以∠ABO＝∠BCM，

则∠BMH＋∠ABO＝∠BMH＋∠BCM＝90°，

所以OB⊥CM，则有SH⊥CM，

所以∠SHO是二面角S－CM－D的平面角，

设，则，，，

，，

则cos∠SHO＝，所以二面角S－CM－D的余弦值为．12分

19.（本小题满分12分）

解析：

（Ⅰ）设数列的公差为d，数列的公比为q，则

由得解得

所以，．4分

（Ⅱ）由，得，5分

则即6分

9分

．12分

20.（本小题满分13分）

解析：

（Ⅰ）由题解得，．

所以椭圆Ω的方程为．4分

（Ⅱ）由题意可知，直角边AM，AN不可能垂直或平行于轴，故可设AM所在直线的方程为，不妨设，则直线AM所在的方程为．5分

联立方程消去整理得，解得，6分

将代入可得，故点.

所以．8分

同理可得，由，得，10分

所以，则，解得或．12分

当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率；当AM斜率时，AN斜率．

综上所述，符合条件的三角形有个.13分

21.（本小题满分14分）

解析：

（Ⅰ）当时，，，

当时，；当时，．

所以函数在上单调递减，在上单调递增，

所以函数在处取得极小值，函数无极大值．4分

（Ⅱ）由，，

若，则，函数单调递增，当x趋近于负无穷大时，趋近于负无穷大；当x趋近于正无穷大时，趋近于正无穷大，故函数存在唯一零点，当时，；当时，．故不满足条件．6分

若，恒成立，满足条件．7分

若，由，得，当时，；当时，，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数在处取得极小值，由得，解得．

综上，满足恒成立时实数a的取值范围是．9分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时，恒成立，所以恒成立，

即，所以，令（），得，10分

则有，

12分

所以，

所以，

即．