江苏省南京师大附中学年高一上学期期中考试数学试题 Word版含答案.docx

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江苏省南京师大附中学年高一上学期期中考试数学试题Word版含答案

南师附中2020-2021学年度第一学期期中高一数学

一、单项选择题：

本大题共8小题,每小题5分，共40

分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

1.已知全集U={-1,0,1,2}，A={-1,1}，则集合UA=（）．

A.{0,2}

B.{-1,0}

C.{0,1}

D.{1,2}

2.“x=1”是“x2-5x+4=0”的（）

A.充要条件B.充分不必要条件

C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件

3.命题“∃x∈R,x2-x-1>0”的否定是（）．

A.∃x∈R,x2-x-1<0

C.∀x∈R,x2-x-1≤0

B.∃x∈R,x2-x-1≤0

D.∀x∈R,x2-x-1>0

4.已知x2+x-2=3，则x+x-1的值为（）．

A.B.1C.

⎧2x-x2,0≤x≤3

±D.±1

⎨

5.函数f（x）=⎪1

⎪⎩x,

x<0

的值域为（）．

A.[-3,1]

B.（-∞,0）

C.（-∞,1）

D.（-∞,1]

6.下列四组函数中，f（x）与g（x）（或g（t））表示同一个函数的是（）

A.f（x）=

C.f（x）=

g（x）=x

x2+x-2

gx=x+2

x-1

B.f（x）=

D.f（x）=x

g（t）=（

g（t）=

t）2

7.已知实数a>0,b>0，且1+1

=1，则a+2b的最小值为（）．

A.3+2

x3

ab+1

B.2+1

C.4D.3+35

22

8.函数f（x）=x2-1的图像大致为（）．

ABCD.

求，全部选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分）

9.设集合A={xx2-2x=0}，则下列表述不正确的是（）．

A.{0}∈A

B.2∉A

C.{2}∈A

D.0∈A

10.下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是（）

A.xt2>yt2B.xt>yt

C.x>y

D.0<1<1

xy

11.下列命题中是真命题的有（）．

A.若函数f（x）在（-∞,0]和（0,+∞）上都单调递增，则f（x）在R上单调递增；

B.

⎨0,x为无理数

狄利克雷函数f（x）=⎧1,x为有理数在任意一个区间都不单调；

⎩

C.若函数f（x）是奇函数，则一定有f（0）=0；

D.若函数f（x）是偶函数，则可能有f（0）=0；

12.已知a>1，b>1，且ab-（a+b）=1，那么下列结论正确的有（）．

A.a+b有最大值2+2B.a+b有最小值2+2

C.ab有最大值+1D.ab有最小值2+3

三、填空题：

本大题共4小题，每小题5分，共20分，请把答案直接填写在答题卡相应位置上

⎧0,x>0

13.已知f（x）=⎪-1,x=0

⎪3x-2,x<0

，则f（f（f（6）））=．

14.已知函数f（x）=ax5+bx3+c+7，f（-3）=5，则f（3）=．

x

15.某水果店申报网上销售水果价格如下：

梨子60元/盒，桔子65元/盒，水蜜桃80元/盒，荔枝90元/盒，为增加销量，店主对这四种水果进行促销：

一次性购买水果总价达到120元，顾客就少付x元，每笔订单顾客网上支付成功后，店主会得到支付的80%.

①x=10时，顾客一次性购买梨子、水蜜桃各一盒，需要支付元；

②在促销活动中，为保证店主每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折（即70%），则x的最大值是．

16.f（x）为定义在R上的偶函数，g（x）=f（x）-2x2在区间[0,+∞）上是增函数，则不等式

f（x+1）-f（x+2）>-4x-6的解集为．

三、解答题：

本大题共6小题，共70分，请把答案填写在答题卡相应位置上

17.（本小题满分10分）

2

2

已知a,b均为正数，证明：

a+b≥a+b．

ba

18.（本小题满分12分）计算：

-1

⑴eln2+⎛4⎫2+5-32；

⎝⎭

23

⑵（lg2）2+lg5⋅lg20+log3⋅log4．

19.（本小题满分12分）

已知二次函数f（x）的值域为[-4,+∞），且不等式f（x）<0的解集为（-1,3）．

⑴求f（x）的解析式；

⑵若对于任意的x∈[-2,2]，都有f（x）>2x+m恒成立，求实数m的取值范围.

20.（本小题满分12分）

某小区为了扩大绿化面积，规划沿着围墙（足够长）边画出一DC

块面积为100平方米的矩形区域ABCD修建花圃，规定ABCD的每条边长不超过20米．如图所示，要求矩形区域EFGH用来种花，且点A,B,E,F四点共线，阴影部分为1米宽的种草区域．设AB=x米，种花区域EFGH的面积为S平方米．

⑴将S表示为x的函数；

⑵求S的最大值．

21.（本小题满分12分）已知集合A={y|y=

4x-x2}，集合B={x|x2-x+a-a2<0}．

⑴若AB=A，求a的取值范围；

⑵在AB中有且仅有两个整数，求a的取值范围．

22.（本小题满分12分）

设f（x）=x+a（x>0，a为大于0的常数）

x

⑴若f（x）的最小值为4，求a的值；

⎣

⑵用定义证明：

f（x）在⎡

a,+∞）上是增函数；

⑶在⑴的条件下，当x>1时，都有f（x）>m-m+1恒成立，求实数m的取值范围．

x

【答案】A；

【解析】由补集定义知选A．2.

【答案】B；

【解析】因为{1}是{xx2-5x+4=0}的真子集，所以“x=1”是“x2-5x+4=0”的充分不必要条件．

3.

【答案】C；

【解析】存在量词命题的否定，需要把存在量词改成全称量词，并否定后面的结论，故选C．4.

【答案】C；

【解析】由（x+x-1）2=x2+x-2+2=5，知x+x-1=±

5.

【答案】D；

5，故选C．

【解析】当x<0时，f（x）=1单调递减，范围为（-∞,0），当0≤x≤3时，f（x）=2x-x2在[0,1]上单调递

x

增，在[1,3]上单调递减，范围是[-3,1]，所以函数值域为（-∞,1]，故选D．

6.

【答案】D；

【解析】A选项，f（x）=x，故错误；B选项，定义域不同，故错误；C选项，定义域不同，故错误；D选项，是同一函数，故选D．

7.

【答案】B；

⎝⎭

【解析】a+2b=a+2（b+1）-2=⎛1+1⎫⎡a+2（b+1）⎤-2=3+2（b+1）+a-2≥22+1，当且仅当

a=1+

8.

2且b=

çab+1⎪⎣⎦

2时等号成立，故选B．

2

ab+1

【答案】A；

【解析】f（x）定义域为（-∞,-1）（-1,1）（1,+∞），是奇函数，当x→+∞时，f（x）→+∞，故选A．

【答案】ABC；

【解析】A={0,2}，故选ABC．10.

【答案】ACD；

【解析】A选项，若xt2>yt2，则t2≠0，则x>y，反之不成立，A正确；

B选项，当t<0时，x

C选项，若x>y，由y≥y，则x>y，反之不成立，C正确；

D选项，f（x）=1在（0,+∞）单调递减，若0<1<1，则x>y，反之不成立，D正确；

xxy

故选ACD．

11.

【答案】BD；

⎩

【解析】A选项，若f（x）=⎧

x,x≤0

是一个反例，A错误；

12.

⎨lnx,x>0

B选项，在任意区间I上总可以取x1,x2∈Q，使f（x1）=f（x2），则f（x）在I上不单调，B正确；

C选项，f（x）=1是一个反例，C错误；

x

D选项，f（x）=x2符合要求，D正确；故选BD．

【答案】BD；

【解析】法一：

令a+b=s,ab=t，由题意可得s>2,t>1，t-s=1，

由基本不等式s≥2t，

则t-1≥2

，由t>1可得t2-2t+1≥4t，则t≥3+2

，a=b=

2+1取等；

s≥2

s+1，由s>2可得s2-4s-4≥0，则s≥2+2

，a=b=

2+1取等；

故选BD；法二：

由ab-（a+b）=1可得（a-1）（b-1）=2，令m=a-1>0,n=b-1>0，

则a+b=m+n+2≥2+2

=2+2

，m=n=

2取等；

ab=（m+1）（n+1）=mn+m+n+1=3+m+n≥3+2

故选BD．

，m=n=

2取等；

【答案】-5；

【解析】f（f（f（6）））=f（f（0））=f（-1）=-5．

14.

【答案】9；

【解析】f（3）+f（-3）=7+7=14，所以f（3）=14-5=9．

15.

【答案】130；15．

【解析】①60+80-10=130；

②由题意可知，购买总价刚好为120元时，折扣比例最高，此时有0.8⨯（120-x）≥0.7⨯120，

解得x≤15．

16.

【答案】⎛-∞,-3⎫；

ç2⎪

⎝⎭

【解析】由f（x）为偶函数，可知g（x）也为偶函数，且在R上先减再增，由f（x+1）-f（x+2）>-4x-6，

可知f（x+1）-2（x+1）2>f（x+2）-2（x+2）2，即g（x+1）>g（x+2），

可知x+1>x+2，解得x<-3.

2

17.

【答案】详见解析．

【解析】法一：

由基本不等式可得，

22

b++a≥2

a

⨯b+2

=2（a+b），

bab

⎧a2=

当且仅当⎪b

b2

=

⎩a

则原式得证．

b

，即a=b时取等，

a

22

法二：

ç⎪（a+b）=a

2+b2

+a3+b3

⎝ba⎭ba

由a>0,b>0，可得a+b>0，b0,a>0，ab>0，

ab

⎛a2

则ç+

2

⎪（a+b）≥a

2+b2+2

=a2+b2

+2ab=（a+b）2，

⎝ba⎭

2

由a+b>0可得a+b≥a+

ba

a2b2

a2-b2

b2-a2

（a-b）（a2-b2）（a-b）2（a+b）

法三：

+-（a+b）=+==，

babaabab

22

由a>0,b>0可得a+b-（a+b）≥0即a+b≥a+b．

baba

18.

【答案】⑴3；⑵3．

2

【解析】⑴

-1

eln2+⎛4⎫2+

⎝⎭

=2+3-2=3；

22

23

⑵（lg2）2+lg5⋅lg20+log3⋅log4=（lg2+lg5）2+2=3．

19.

【答案】⑴

f（x）=x2-2x-3；⑵

m<-7．

【解析】⑴设f（x）=ax2+bx+c，由题意可知：

⎧f（-1）=a-b+c=0

⎧a=1

⎪f（3）=9a+3b+c=0，解得⎪b=-2，即f（x）=x2-2x-3；

⎨

⎪f

（1）=a+b+c=-4

⎨

⎪c=-3

⑵m

当x∈[-2,2]，可知g（x）∈[-7,9]，

故m<-7．

20.

【答案】⑴

S=102-200-x（5≤x≤20）；⑵S的最大值为102-202．

x

【解析】⑴因为AB=x，

所以AD=100，EF=x-2，FG=100-1；

xx

所以S=（x-2）⎛100-1⎫=102-200-x

çx⎪x

⎝⎭

因为0

xx

⑵S≤102-2

=102-20

，当且仅当x=102时取等

所以S的最大值为102-202．

21.

【答案】⑴0≤a≤1；⑵[-1,0）（1,2]；

【解析】⑴因为A

所以B⊆A，

因为4x-x2≤4，所以A=[0,2]；

集合B的不等式可化为（x+a-1）（x-a）<0，

①B=∅，即∆≤0，解得a=1，符合；

2

②B≠∅，即a≠1时，此时0≤a≤2,0≤1-a≤2，解得0≤a≤1且a≠1；

22

综上0≤a≤1；

⑵集合A中有三个整数0,1,2，B={x|（x-a）（x+a-1）<0}；

由AB中有且仅有两个整数，可得B中有0,1,2中的两个整数；

a<1-a即a<1时，B=（a,1-a），

2

则B中整数仅有有0,1或仅有1,2，

若仅有0,1，则-1≤a<0,1<1-a≤2，解得-1≤a<0；若仅有1,2，则0≤a<1，2<1-a≤3，无解；

a=1-a即a=1时，B=∅，不满足题意；

2

a>1-a即a>1时，B=（1-a,a），

2

则B中整数仅有有0,1或仅有1,2，

若仅有0,1，则-1≤1-a<0,1

综上，实数a的取值范围是[-1,0）（1,2]．

22.

【答案】⑴4；⑵证明见解析；⑶

【解析】⑴由基本不等式f（x）≥2

m<2

+2．

当且仅当x=

解得a=4；

⎣

⑵任取x1,x2∈⎡

a时取等，所以2=4

a,+∞），设x1

f（x）-f（x）=（x-x）+

a（x

-x）=（x

-x）x1x2-a，

xxxx

1212

因为≤x1

2112

1212

所以x1x2>a,x1x2-a>0，又因为x1-x2<0

所以f（x1）-f（x2）<0

所以f（x1）

⎣

所以f（x）在⎡

a,+∞）上是增函数

得证；

⑶原不等式可化为x2+4>mx-m-1

x2+56

即m<=x+1+

x-1

x-1

恒成立

因为x+1+

6

x-1

=x-1+

6

x-1

+2≥26+2，

当且仅当x-1=即x=1+

6时取等

所以m<2+2．