上海市浦东新区学年高一下学期期中数学试题.docx
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上海市浦东新区学年高一下学期期中数学试题
上海市浦东新区2020-2021学年高一下学期期中数学试题
学校:
___________姓名：
___________班级：
___________考号：
___________
一、填空题
1．若sinα＜0且tanα＞0，则α是第 _________ 象限角．
2．函数的递增区间为__________
3．函数的最小正周期为2，则实数=______
4．已知，且，则.
5．若,则____________.
6．将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所的图象的函数解析式是_________
7．若函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，则的值为．
8．已知在单调递增，则实数的最大值为______
9．在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称.若，则=___________.
10．设的内角所对的边分别为，若，则的形状为_______
11．函数的最大值是______
12．设函数，其中，若，，且的最小正周期大于，则的解析式为______
二、单选题
13．下列函数中，周期是，又是偶函数的是（）
A．y=sinxB．y=cosxC．y=sin2xD．y=cos2x
14．已知，则=（）
A．B．C．D．
15．设函数f（x）=cos（x+），则下列结论错误的是
A．f（x）的一个周期为−2πB．y=f（x）的图像关于直线x=对称
C．f（x+π）的一个零点为x=D．f（x）在（,π）单调递减
16．已知曲线，则下面结论正确的是（）
A．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
B．把上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
C．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线
D．把上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线
三、解答题
17．已知函数f（x）＝.
（1）求函数f（x）的定义域；
（2）设α是第四象限的角，且tanα＝－，求f（α）的值．
18．已知函数
（1）求的最大值及对应的值；
（2）求的最小正周期及单调递增区间.
19．已知函数，其中为非零实常数
（1）若，求的对称轴；
（2）若是图像的一条对称轴，求的值，使其满足，且.
20．如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，．
（1）求索道AB的长；
（2）问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？
参考答案
1．第三象限角
【解析】
试题分析：
当sinα＜0，可知α是第三或第四象限角，又tanα＞0，
可知α是第一或第三象限角，所以当sinα＜0且tanα＞0，
则α是第三象限角．
考点：
三角函数值的象限符号.
2．
【解析】
【分析】
根据余弦函数的图像与性质,即可求得函数的递增区间,取即可.
【详解】
由余弦函数的图像与性质可知,的单调递增区间为
所以的递增区间为
即
当时,
即函数的递增区间为
故答案为:
【点睛】
本题考查了余弦函数的图像与性质的应用,余弦函数单调递增区间的求法,属于基础题.
3．
【分析】
由余弦函数的周期公式,可求得实数的值.
【详解】
因为函数
由周期公式,及最小正周期为2
可得
解得
故答案为:
【点睛】
本题考查了余弦函数的周期性的简单应用,属于基础题.
4．
【解析】
试题分析：
因为,所以,则．
考点：
诱导公式,同角三角函数关系．
5．
【解析】
故答案为.
6．
【分析】
根据函数图像的平移变换,即可得变化后的解析式.
【详解】
将函数的图像向左平移个单位
可得
再向上平移1个单位
可得
所以平移变化后的解析式为
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数图像的平移变换,根据平移变换求函数解析式,属于基础题.
7．1
【分析】
利用邻两条对称轴的距离求出周期，由周期公式可得结果.
【详解】
因为函数的图象的相邻两条对称轴的距离是，
所以，
故答案为：
1.
【点睛】
本题主要考查正弦函数的对称性与周期性，意在考查运用所学知识解答问题的能力，属于基础题.
8．
【分析】
根据正弦函数的单调区间,结合函数在单调递增,即可求得的最大值.
【详解】
设,
因为
且在单调递增,在上单调递增
所以
即
所以的最大值为
故答案为:
【点睛】
本题考查了正弦函数单调性的简单应用,由函数单调性求参数的最值,属于中档题.
9．
【解析】
试题分析：
因为和关于轴对称，所以，那么，（或），
所以.
【考点】同角三角函数，诱导公式，两角差的余弦公式
【名师点睛】本题考查了角的对称关系，以及诱导公式，常用的一些对称关系包含：
若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于轴对称，则，若与的终边关于原点对称，则.
10．直角三角形
【分析】
根据正弦定理,将条件式子转化为角的表达式,结合正弦的和角公式即可求得角A,进而判断三角形形状.
【详解】
因为
由正弦定理可得
即,而
所以
因为在三角形中
所以
所以,即为直角三角形
故答案为:
直角三角形
【点睛】
本题考查了三角函数恒等变形及三角形形状的判断,正弦定理边角转化的应用,属于基础题.
11．
【分析】
根据的取值范围,可得的值域.利用换元法,转化为二次函数,并结合二次函数的图像与性质即可求得最大值.
【详解】
因为
则
令
则可化为
所以当时取得最大值,最大值为
此时,即
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数的值域问题,利用换元法将三角函数转化为二次函数,结合二次函数的性质即可求解,属于基础题.
12．
【分析】
根据最小正周期大于,可得T的取值范围,结合两个定点的特征,即可求得周期.将一个最大值的坐标代入,即可求得的值,进而得函数的解析式.
【详解】
因为的最小正周期大于
所以,即
因为，
所以
则
由周期公式可得
所以
因为,代入可得
即
因为
所以当时,解得
综上可知,函数的解析式为
故答案为:
【点睛】
本题考查了三角函数的周期性及函数解析式的求法,求的值时选择代入最高或者最低点,属于基础题.
13．D
【详解】
A,B两项的周期均为，所以排除，C项为奇函数，D为偶函数且周期是，所以选D
14．B
【分析】
根据诱导公式,将表达式化简即可得解.
【详解】
由诱导公式可知
因为
所以
故选:
B
【点睛】
本题考查了三角函数诱导公式及简单应用,属于基础题.
15．D
【解析】
f（x）的最小正周期为2π，易知A正确；
f＝cos＝cos3π＝－1，为f（x）的最小值，故B正确；
∵f（x＋π）＝cos＝－cos，∴f＝－cos＝－cos＝0，故C正确；
由于f＝cos＝cosπ＝－1，为f（x）的最小值，故f（x）在上不单调，故D错误．
故选D.
16．D
【分析】
根据三角函数图像的伸缩和平移变换,即可得解.
【详解】
首先将上各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变,可得;
再把得到的曲线向左平移个单位长度,可得,即为的图像
综上可知,D为正确选项
故选:
D
【点睛】
本题考查了三角函数图像的伸缩和平移变换,注意先伸缩再平移过程中的平移量,属于中档题.
17．
（1）
（2）
【分析】
（1）函数f（x）要有意义需满足cosx≠0，解得x≠＋kπ（k∈Z）；
（2）由tanα＝－得cosα＝，sinα＝－，代入函数f（x）即可
【详解】
（1）函数f（x）要有意义需满足cosx≠0，解得x≠＋kπ（k∈Z），
即f（x）的定义域为
（2）f（x）＝＝＝
＝2（cosx－sinx），
由tanα＝－，得sinα＝－cosα，又∵sin2α＋cos2α＝1，
∴cos2α＝.
∵α是第四象限的角，∴cosα＝，sinα＝－，
∴f（α）＝2（cosα－sinα）＝
18．
（1）最大值;
（2）最小正周期为;单调递增区间为
【分析】
（1）根据正弦与余弦的二倍角公式及辅助角公式,化简即可求得最大值及对应的值.
（2）根据化简的函数解析式,结合正弦函数性质,即可求得最小正周期及单调递增区间.
【详解】
（1）
由正弦与余弦的二倍角公式,结合辅助角公式化简可得
所以最大值为2.
当时取得最大值,
解得
所以的最大值为2,对应的值为
（2）由
可知最小正周期为
由正弦函数的单调递增区间为可知
解得,即
所以的最小正周期为,单调递增区间为
【点睛】
本题考查了三角函数恒等变形及其应用,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.
19．
（1）
（2）或或
【分析】
（1）将的值代入,结合辅助角公式化简,即可根据正弦函数的对称轴求解.
（2）将的值代入,利用辅助角公式化简,结合是图像的一条对称轴及,即可求得的值.进而得的解析式.由正弦函数的图像与性质,即可求得满足时的值.
【详解】
（1）将代入可得
由辅助角公式化简可得
因为正弦函数的对称轴为
所以
解得
即的对称轴为
（2）将代入可得
由辅助角公式化简可得
因为是图像的一条对称轴
则
解得
因为
则
解得
所以的解析式为
因为
即
即或
解得或
因为
所以解得的值为:
或或
【点睛】
本题考查了三角函数恒等变形及辅助角公式的应用,正弦函数的图像与性质的综合用法,属于基础题.
20．
（1）索道AB的长为1040m；
（2）t＝（min）时，甲、乙两游客距离最短.
【解析】
试题分析：
（1）在△ABC中，由cosA和cosC可得sinA根和sinC，从而得sinB，由正弦定理，可得AB；
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130tm，由余弦定理得d2＝200（37t2－70t＋50），结合二次函数即可得最值.
试题解析：
（1）在△ABC中，因为cosA＝，cosC＝，
所以sinA＝，sinC＝.
从而sinB＝sin[π－（A＋C）]＝sin（A＋C）
＝sinAcosC＋cosAsinC＝×＋×＝.
由正弦定理＝，得AB＝×sinC＝×＝1040（m）．
所以索道AB的长为1040m.
（2）假设乙出发t分钟后，甲、乙两游客距离为d，此时，甲行走了（100＋50t）m，乙距离A处130tm
所以由余弦定理得
d2＝（100＋50t）2＋（130t）2－2×130t×（100＋50t）×＝200（37t2－70t＋50），
因0≤t≤，即0≤t≤8，
故当t＝（min）时，甲、乙两游客距离最短.
点睛：
本题主要考查了解三角形的实际应用．实际应用题一般是关键是构造三角形，将各个已知条件向这个主三角形集中，转化为数学模型，列出数学表达式，再通过正弦、余弦定理，勾股定理或其他基本性质建立条件之间的联系，列方程或列式求解．
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