届广东省珠海市高三上学期期末学业质量监测理科数学试题及答案.docx
《届广东省珠海市高三上学期期末学业质量监测理科数学试题及答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《届广东省珠海市高三上学期期末学业质量监测理科数学试题及答案.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
届广东省珠海市高三上学期期末学业质量监测理科数学试题及答案
珠海市2017-2018学年度第一学期期末学生学业质量监测
高三理科数学试题参考答案阅卷版
一、选择题:
本大题共8小题,每小题5分,满分40分.BBBCCCAA
二、填空题:
本大题共7小题,每小题5分,满分30分.其中14~15题是选做题,考生只能选做一题,两题全答的,只计算前一题得分.请将答案填在答题卡相应位置.
9.(三角函数)已知,则.
10.(数列)已知数列的前项和为,且,则.
11.(线性规划)变量满足线性约束条件,则使目标函数取得最大值的最优解有无数个,则的值为.
12.(导数)曲线在点处的切线方程为.
13.(函数)定义在上的函数满足,则.
14.(坐标系与参数方程选做题)已知在平面直角坐标系中圆的参数方程为:
,(为参数),以为极轴建立极坐标系,直线极坐标方程为:
则圆截直线所得弦长为
15.(几何证明选讲选做题)如右图,是圆的直径,是圆的切线,切点为,平行于弦,若,,则.
三、解答题:
本题共有6个小题,12分+12分+14分+14分+14分+14分=80分.
16.(三角函数)已知,
(1)求的值;
(2)当时,求的最值.
解:
(1)…………………………………………………………………1分
……………………………………………………………………………2分
…………………………………………………………………………………4分
………………………………………………………………6分
(2),……………………………………………………………8分
…………………………………………………………………………10分
…………………………………………………………………………11分
,……………………………………………………………………12分
17.(概率)PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物,也称为可吸入肺颗粒物。
我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值,即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级;在35微克/立方米75微克/立方米之间空气质量为二级;在75微克/立方米以上空气质量为超标。
某试点城市环保局从该市市区2017年上半年每天的PM2.5监测数据中随机的抽取15天的数据作为样本,监测值如右下图茎叶图所示(十位为茎,个位为叶)。
(1)在这15天的PM2.5日均监测数据中,求其中位数;
(2)从这15天的数据中任取2天数据,记表示抽到PM2.5监测数
据超标的天数,求的分布列及数学期望;
(3)以这15天的PM2.5日均值来估计一年的空气质量情况,则一年
(按360天计算)中平均有多少天的空气质量达到一级或二级.
解:
(1)由茎叶图可得中位数是…………………………………………………………………2分
(2)依据条件,服从超几何分布:
其中,的可能值为……………………………………………3分
由,
得,………………………………………………………………4分
,………………………………………………………………5分
,………………………………………………………………6分
所以的分布列为:
…………………………………………8分
………………………………………………………………10分
(2)依题意可知,一年中每天空气质量达到一级或二级的概率为
一年中空气质量达到一级或二级的天数为,则~………………………………11分
一年中平均有天的空气质量达到一级或二级………………………………………………12分
18.(立几)如图,在三棱柱中,四边形为菱形,,四边形为矩形,若,,
(1)求证:
面;
(2)求二面角的余弦值;
解:
(1)在中,,,
满足,所以,即…………………………………………2分
又因为四边形为矩形,所以
又,所以ks5u
又因为,所以………………………………………………………4分
又因为四边形为菱形,所以
又,所以………………………………………………………6分
(2)过作于,连接
由第
(1)问已证
又,所以,
又因为,所以
所以,就是二面角的平面角…………………………………………………………10分
在直角中,,,,…………………………12分
在直角中,,,,所以………………14分
19.(数列)设数列的各项都是正数,且对任意都有,其中
为数列的前项和.ks5u
(1)求;
(2)求数列的通项公式;
(3)设,对任意的,都有恒成立,求实数的取值范围.
解:
(1)令,则,即,所以或或
又因为数列的各项都是正数,所以…………………………………………………2分
令,则,即,解得或或
又因为数列的各项都是正数,所以…………………………………………………4分
(2)
由得
化简得到……………………………………………………………………7分
由得
化简得到,即
当,所以………………………………………………9分
所以数列是一个以为首项,为公差的等差数列
……………………………………………………………10分
(3)
因为对任意的,都有恒成立,即有
化简得……………………………………………………………………………12分
当为奇数时,恒成立,,即
当为偶数时,恒成立,,即
…………………………………………………………………………………………14分
20.(导数)已知函数
(1)当时,求函数的单调区间;
(2)若函数在区间上为减函数,求实数的取值范围
(3)当时,不等式恒成立,求实数的取值范围.
解:
(1)当时,
……………………………………………………………………1分
解得;解得…………………………………………………………2分
故的单调递增区间是,单调递减区间是……………………………………………3分
(2)因为函数在区间上为减函数,
所以对恒成立……………………………………………4分
即对恒成立…………………………………………………………5分
………………………………………………………………………………………………6分
(3)因为当时,不等式恒成立,
即恒成立,设,
只需即可…………………………………………………………………………………7分
由
①当时,,当时,,函数在上单调递减,故成立…………………………………………………………………………………………9分②当时,令,因为,所以解得
1)当,即时,在区间上,则函数在上单调递增,故在上无最大值,不合题设。
2)当时,即时,在区间上;在区间上.
函数在上单调递减,在区间单调递增,同样在无最大值,不满足条件。
……………………………………………………11分
③当时,由,故,,故函数在上单调递减,故成立………………………………………………………………………13分综上所述,实数的取值范围是……………………………………………………………………14分
21.(圆锥曲线)已知椭圆的左、右焦点分别为,为原点.
(1)如图1,点为椭圆上的一点,是的中点,且,求点到轴的距离;
(2)如图2,直线与椭圆相交于两点,若在椭圆上存在点,使四边形为平行四边形,求的取值范围.
解:
(1)由已知得,
设,则的中点为
,……………………………………………………………………………3分
即
整理得……………………①………………………………………………………4分又有…………………………………②
由①②联立解得或(舍)………………………………………………………5分点到轴的距离为……………………………………………………………………………6分
(2)设,,
四边形是平行四边形
线段的中点即为线段的中点,即,………………………………7分
点在椭圆上,
即
化简得……………………………③
…………………………………………………9分
由得
由得……………………………………④
且…………………………………………………11分
代入③式得
整理得代入④式得,又
或
的取值范围是……………………………………………14分
ks5u