小学奥数知识点04法则和方法.docx

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小学奥数知识点04法则和方法

（四）法则、方法

1．有关数的法则或方法

　　【数的读写方法】（整数中多位数的读写方法，以及小数、分数、百分数的读、写方法，见小学数学课本，此处略。

）

　　“成数”、“折数”即“十分数”，它们常用中国数字和文字“七成”、“二成五”、“八折”、“九五折”等表示，并根据其文字去读。

它们也常用分母为十的分数，或者用百分数去表示，这时便可按分数、百分数的方法去读。

　　“千分数”是表示一个数是另一个数的千分之几的分数，它常用“千分号”--“‰”来写千分数，如某地人口出生率为千分之七，写作“7‰”，读作“千分之七”。

　　【科学记数法】用带一位整数的小数，去乘以10的整数次幂来表示一个数的方法，叫做“科学记数法”。

　　利用小数点移动的规律，很容易把一个数用“科学记数法”表达为“a×10n（1≤a≤10，n是整数）”的形式。

例如：

　　25700，把小数点向左移动四位，得1＜2.57＜10，但2.57比25700小了10000倍，所以

　　25700=2.57×104。

　　0.00867，把小数点向右移动三位，得1＜8.67＜10，但8.67比0.00867大了1000倍，所以

　　【近似数截取方法】截取近似数的方法，一般有四舍五入法、去尾法和进一法三种。

　　四舍五入法──省略一个数的一部分尾数，取它的近似数的时候，如果要舍去的尾数的最高位上的数是4，或者是比4小的数，就把尾数舍去；如果要舍去的尾数的最高位上的数是5，或者是比5大的数，把尾数舍去以后，要向它的前一位进一。

这种求近似数的方法叫做“四舍五入法”。

　　例如，把8，654，000四舍五入到万位，约等于865万；把7.6239四舍五入保留两位小数约等于7.62；把2，873，000，000四舍五入到亿位，约等于29亿；把32.99506四舍五入精确到百分位约等于33.00。

　　去尾法──要省略的尾数不论是多少，一律舍去不要，这种求近似数的方法叫做“去尾法”。

　　进一法──省略某一个数某一位后面的尾数时，不管这些尾数的大小，都向它的前一位进一。

这种求近似数的方法，叫做“进一法”。

　　显然，用“进一法”和“五入”方法截取的近似值，叫做“过剩近似值”，而用“去尾法”和“四舍”方法截取的近似值，叫做“不足近似值”。

　　值得注意的是：

在近似数的取舍结果中，小数点后最右一位上的零必须写上。

例如，把1.5972四舍五入，保留两位小数得1.60，即1.5972≈1.60，最后的“0”不可去掉，否则，它只精确到十分位了。

　　【质数判定方法】判定一个较大的数是不是质数，一般有两种方法。

（1）查表法。

用查质数表的方法，可以较快地判断一个数是否为质数：

质数表上有的是质数，同一范围内的质数表上没有这个数，那它便是个合数。

（2）试除法。

如果没有质数表，也来不及制作一个质数表，可以用试除来判断。

　　例如，要判定161和197是不是质数，可以把这两个数依次用2、3、5、7、11、13、17、19……等质数去试除。

这是因为一个合数总能表示成几个质因数的乘积，若161或197不能被这个合数的质因数整除，那么也一定不能被这个合数整除。

所以，我们只要用质数去试除就可以了。

　　由161÷7=23，可知161的约数除了1和它本身外，至少还有7和23。

所以，161是合数，而不是质数。

　　由197依次不能被2、3、5、7、11、13整除，而197÷17=11……10，这时的除数17已大于不完全商11，于是可以肯定：

197是质数，而不是合数。

因为197除了它本身以外，不可能有比17大的约数。

假定有，商也一定比11小。

这就是说，197同时还要有比11小的约数。

但经过试除，比11小的质数都不能整除197，这说明比11小的约数是不存在的，所以197是质数，不是合数。

　　【最大公约数求法】最大公约数的求法，一般可用下面四种方法。

（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，再把各数公有的一切质因数连乘起来，就是所求的最大公约数。

例如，求2940、756和168的最大公约数：

　　∵2940=22×3×5×72，

　　756=22×33×7，

　　168=23×3×7；

　　∴（2940，756，168）=22×3×7=84。

　　注：

“（2940，756，168）=84”的意思，就是“2940、756和168的最大公约数是84”。

（2）检验公约数法。

“检验公约数法”即“试除法”，也是小学数学课本介绍的那一种一般的求法，此处略。

　　（3）辗转相减法。

较大的两个数求最大公约数，可以用“辗转相减法”：

用大数减小数，如果减得的差与较小的数不相等，便再以大减小求差，直到出现两数相等为止。

这时，相等的数就是这两个数的最大公约数。

　　例如，求792和594的最大公约数。

　　∵（792，594）=（792-594，594）

　　=（198，594）=（594-198，198）

　　=（198，396）=（198，396-198）

　　=（198，198）=198，

　　∴（792，594）=198。

　　用辗转相减法求两个数的最大公约数，可以推广到求n个数的最大公约数，具体做法是：

可以不拘次序地挑选最方便的，从较大的数里减去较小的数。

这样逐次做下去，直到所得的差全部相等为止。

这个相等的差，就是这些数的最大公约数。

　　例如，求1260、1134、882和1008的最大公约数。

　　∵（1260，1134，882，1008）

　　=（1260-1134，882，1008-882，1134-882）

　　=（126，126，882，252）

　　=（126，126，882-126×6，252-126）

　　=（126，126，126，126）=126，

　　∴（1260，1134，882，1008）=126。

　　（4）辗转相除法（欧几里得算法）。

　　用辗转相除法求两个数的最大公约数，步骤如下：

　　光用较小数去除较大的数，得到第一个余数；

　　再用第一个余数去除较小的数，得到第二个余数；

　　又用第二个余数去除第一个余数，得到第三个余数；

　　这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0为止。

这时，余数“0”前面的那个余数，便是这两个数的最大公约数。

　　求两个较大的数的最大公约数，用上面的第一、二种方法计算，是相当麻烦的，而采用“辗转相除法”去求，就简便、快速得多了。

　　例如，求437和551的最大公约数。

具体做法是：

先将437和551并排写好，再用三条竖线把它们分开。

然后依下述步骤去做：

（1）用较小数去除较大数把商数“1”写在较大数的线外，并求得余数为114。

（2）用余数114去除437，把商数“3”写在比114大的数（437）的线外，并求得余数为95。

　　（3）用余数95去除114，把商数“1”写在114右边的直线外，并求得余数为19。

　　（4）用余数19去除95，把商数“5”写在95左边的直线外面，并求得余数为0。

　　（5）当余数为0时，就可断定余数0前面的那一个余数19，就是437和551的最大公约数。

　　又如，求67和54的最大公约数，求法可以是

　　由余数可知，67和54的最大公约数是1。

也就是说，67和54是互质数。

　　辗转相除法，虽又称作“欧几里得算法”，实际上它是我国最先创造出来的。

早在我国古代的《九章算术》上，就有“以少减多，更相减损”的方法求最大公约数的记载。

一般认为，“辗转相除法”即源于此。

这比西方人欧几里得等人的发现要早600年以上。

　　辗转相除法是求两个数的最大公约数的方法。

如果要求三个或三个以上数的最大公约数，可以用它先求出其中两个数的最大公约数，再求这个最大公约数与第三个数的最大公约数。

这样依次下去，直到最后一个数为止。

最后的一个最大公约数，就是这几个数所要求的最大公约数。

　　【分数最大公约数求法】自然数的最大公约数的定义，可以扩展到分数。

一组分数的最大公约数一定是分数，而这组分数分别除以它们的最大公约数，应得整数。

　　求一组分数的最大公约数的方法是：

（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；

（2）再求出各个分数分母的最小公倍数a；

　　（3）然后求出各个分数分子的最大公约数b；

　　再求出三个分母的最小公倍数，得72；

　　然后求出三个分子35、21和56的最大公约数，得7；

　　【最小公倍数求法】求最小公倍数可采用下面三种方法。

（1）分解质因数法。

先把各数分解质因数，在所有相同的质因数中，每一个取出指数最大的，跟所有不同的质因数连乘起来，就是所求的最小公倍数。

　　例如，求120、330和525的最小公倍数。

　　∵120=23×3×5，

　　330=2×3×5×11，

　　525=3×52×7；

　　∴[120，330，525]=23×3×52×7×11=46200

　　注：

“[120，330，525]=46200”表示“120、330和525三个数的最小公倍数是46200”。

（2）检验公约数法。

“检验公约数法”即“试除法”或“用短除法的求法”，也就是小学数学课本上介绍的一般方法，此处略。

　　（3）先求最大公约数法。

由于“两个数的乘积等于这两个数的最大公约数与最小公倍数的乘积”，即

　　a·b=（a，b）·[a，b]

　　所以，两个数的最小公倍数，可由这两个数的乘积除以这两个数的最大公约数来求得。

即

　　例如，求[42，105]。

　　若要求三个或三个以上的数的最小公倍数，可以先求其中两个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第三个数的最小公倍数，再求这个最小公倍数与第四个数的最小公倍数，……，如此依次做下去，直到最后一个数为止。

最后求得的那个最小公倍数，就是所要求的这几个数的最小公倍数。

　　例如，求[300，540，160，720]

　　∴[300，540，160，720]=21600

　　【分数最小公倍数求法】自然数的最小公倍数的定义，可以推广到分数。

一组分数的最小公倍数，可能是分数，也可能是整数，但它一定是这组分数中各个分数的整数倍数。

　　求一组分数的最小公倍数，方法是：

（1）先将各个分数中的带分数化成假分数；

（2）再求出各个分数分子的最小公倍数a；

　　（3）然后求出各个分数分母的最大公约数b；

　　再求各分数分子的最小公倍数，得

　　[35，21，56]=840；

　　然后求各分数分母的最大公约数，得

　　（6，8，9）=1

　　【数的互化方法】整数、小数和分数，整数、假分数和带分数，整数、小数、分数和百分数，成数（或折数）、分数和百分数，它们之间可以互化，互化的方法见小学数学课本，此处略。

　　化循环小数为分数，还可以用移动循环节的方法。

例如

　　由这些实例，可以得循环小数化分数的法则如下：

（1）纯循环小数化分数的法则。

纯循环小数可以化成这样的分数：

分子是一个循环节的数字所组成的数；分母的各位数字都是9，“9”的个数同循环节的位数相同。

（2）混循环小数化分数的法则。

混循环小数可以化成这样的分数：

分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几个数字是9，末几位数字是0，“9”字的个数同循环节的位数相同，“0”字的个数和不循环部分的位数相同。

　　【分数化有限小数判断法】

　　若进一步研究，它又有以下的三种情况：

5（即与10互质），或者除2和5以外，还包含其他的质因数，那么，这样的分数就不能化成有限小数，而只能化成无限循环小数。

　　这里，又有以下的两种情况：

和5时，这样的分数就可以化成纯循环小数。

循环节内数字的个数，跟数列

　　9，99，999，9999，……

　　各项中，能被分母b整除的最小的数所含“9”字的个数相同。

分母37去除9，99，999，9999，……，能整除的

最小的数是999，即

　　99937（即“999能被37整除”，“”是整除符号；亦可逆读为“37能整除999”）

　　也可以表示为37｜999（即“37能整除999”，“｜”也是整除符号；亦可逆读为“999能被37整除”。

）

　　这里“999”，含有3个“9”，所以它化成的纯循环小数循环节内数字的个数也是3个：

　　=0.513

以外的质因数，那么这样的分数就可以化成混循环小数。

它的不循环部分数字的个数，跟2和5在分母内最高乘方的指数相同；循环节内数字的个数，跟数列

　　9，99，999，9999，……

　　各项中，能被分母内2和5以外的质因数的积所整除的最小的数，所含“9”字的个数相同。

质因数11，所以这分数可以化成混循环小数。

不循环部分数字的个数是3个（最高乘方23的指数为3），循环部分的循环节数字是两个（11｜99，“9”的个数为2个）：

　　概括起来，把分数化成小数，判断其得数的情况，不外乎以下三种：

（1）若分母只含质因数2，5，则化得的小数是有限小数；

（2）若分母不含质因数2，5，则化得的小数是纯循环小数；

　　（3）若分母既含质因数2，5，又含2和5以外的质因数，则化得的小数是混循环小数。

　　注意：

判断的前提是分数必须是既约（最简）分数，否则很容易出错。

　　【百分比浓度求法】用溶质质量占全部溶液质量的百分比来表示溶液浓度，叫做溶液的百分比浓度。

求法是

　　例如，用白糖（溶质）1千克，开水（溶剂）4千克混合以后，所得的糖水（溶液）的百分比浓度是

2．运算法则或方法

　　【四则运算法则】整数、小数、分数的加、减、乘、除四则运算法则，见小学数学课本，此处略。

　　【四则运算顺序】见小学数学课本，略。

　　【繁分数化简方法】繁分数化简的方法，一般有以下两种方法。

（1）利用分数基本性质，把繁分数的分子、分母同乘以所有分母的最小公倍数，从而化简繁分数。

（2）利用分数与除法的关系，将繁分数化简。

这是因为繁分数实际上是分数除法的另一种表示形式的缘故。

例如

　　【求连分数的值的方法】由数列a0，a1，……及b1，b2，……所组成的表达式

　　称为“连分数”。

它可简记为

为连分数的值。

　　连分数有两种，一是有限连分数，二是无限连分数。

例如，

　　求有限连分数的值，也称化简连分数，它的化简方法与繁分数的化简方法基本相同。

一般是从最下面的分母运算开始，逐步向上计算。

例如上面的这个有限连分数：

　　求无限连分数的值，就是求它的有限层的值作为它的近似值。

当层次愈多时，就愈接近它的值。

　　注意：

繁分数和连分数，都不是“分数”定义里所定义的一种分数。

分解为两个单位分数的和，可按以下步骤去完成：

的任意两个约数a1，a2；

（2）扩分：

将单位分数的分子、分母同乘以两约数的和（a1+a2），

　　（3）拆分：

将扩分后所得的分数，按照同分母分数相加的法则反过来

　　（4）约分：

将拆开后的两个分数约分，便得到两个单位分数。

　　注意：

（1）因大于1的自然数的约数有时不止2个，有多个，从中任取两个约数的取法也有多种，只要每次取出的两个约数之间不成比例，则将一个单位分数拆成两个单位分数的和的结果也各不相同。

　　例如，15的约数有1，3，5，15四个，从中任取两个的取法有（1，3）、（1，5）、（1，15）、（3，5）、（3，15）、（5，15）六种，而取（1，3）和（5，15）、（1，5）和（3，15）是成比例

（2）若要将单位分数拆成两个相等的单位分数之和，那只要在扩分时，分子、分母同乘以分母的任何一个约数的2倍或乘以2即可。

拆成n个单位分数的和的方法和步骤与拆成两个单位分数的方法和步骤相同，不同点只在扩分时，分子、分母同乘以分母A的n个约数的和（a1+a2+…+an）。

　　解∵15=3×5

　　∴15的约数有1，3，5，15。

有限个分数的和的形式。

　　【近似数的加减法】在一般情况下，近似数相加减，和或差精确到哪一位，与已知数中精确度最低的一个相同。

计算法则有以下三条：

（1）确定结果精确到哪一个数位（已知数中精确度最低的精确到了哪一个数位，则计算的结果就精确到这个数位）；

（2）把已知数中超过这一最低精确度这个数位的数字，四舍五入到这个数位的下一位；

　　（3）进行计算，并且把算得的数的末位数字四舍五入。

　　例如，求近似数25.4、0.456、8.738和56的和。

　　25.4+0.456+8.738+56≈91

　　又如，求近似数0.095减0.002153的差。

　　解：

　　0.095-0.002153≈0.093

　　【近似数的乘除法】在一般情况下，近似数相乘除，积或者商取几个有效数字，与已知数中有效数字最少的相同。

具体法则有以下三条：

（1）确定结果有多少个有效数字（已知数中有效数字最少的有多少个，结果就取同样多个有效数字）；

（2）把已知数中有效数字的个数多的，四舍五入到只比结果中有效数字的个数多一个；

　　（3）进行计算（除法要比结果多算出一位），并把算得的数四舍五入到应该有的有效数字的个数。

　　例如，

（1）求近似数26.79与0.26的积。

（2）求近似数9.7除以近似数25.78的商。

　　因24只有两个有效数字，故可把各数分别四舍五入到三个有效数字以后去计算；得出中间结果仍保留三个有效数字，即比法则规定的多保留一个；得出最后的结果，再四舍五入到两个有效数字。

　　再如，量得一个圆的周长约是3.73厘米，求这个圆的直径。

　　题目要求直径长度，需用“3.73÷π”去计算。

其中3.73是近似数，有三个有效数字；π是个准确数，它有任意多个有效数字，计算时，π取四个有效数字：

　　解3.73÷π≈3.73÷3.142≈1.19（厘米）

　　答：

这个圆的直径约是1.19厘米。

　　【近似数混合运算方法】近似数的混合运算，要分步来做。

运算的中间步骤的计算结果，所保留的数字要比加、减、乘、除计算法则规定的多取一个。

例如，作近似数的混合计算：

　　57.71÷5.14+3.18×1.16-4.6307×1.6。

　　解原式=11.23+3.689-7.41

　　≈7.5

　　说明：

（1）57.71÷5.14，3.18×1.16，4.6307×1.6，所得的中间结果11.23，3.689，7.41，都比法则规定应当取的有效数字多取了一个。

（2）11.23+3.689-7.41是加减法，各数中精确度最低的是7.41，这个数实际上只有两个有效数字，就是只精确到十分位。

因此，最后求得的结果应当四舍五入到十分位，得7.5。

　　又如，“有一块梯形土地，量得上底约为68.73米，下底约为104.20米，高约为9.57米。

求这块土地的面积。

　　≈86.47×9.57

　　≈828（平方米）（答略）

　　说明：

（1）68.73+104.20，所得的中间结果172.93，精确到0.01，没有多取的数位。

果四舍五入到三个有效数字，得828。

　　【预定精确度的计算法则】已给出计算结果所要求达到的精确度，要求确定原始数据的精确度，通常称其为“预定精确度的计算”。

　　预定精确度的计算法则，一般有：

（1）预定结果的精确度用有效数字给出的问题。

　　如果预定结果有n个有效数字，那么原始数据一般取到n+1个有效数字。

　　例如，圆形面积大约是140平方米，要使算出的结果具有两个有效数字，那么测量半径r应达到怎样的精确度？

π应取几个有效数字的近似值？

　　解：

为了使面积S具有两个有效数字，π和r就都要有三个有效数字。

因为

　　r应该有一位整数，所以测量半径时，应该精确到0.01米。

　　π应该取三个有效数字的近似值--3.14。

（2）对于加法和减法，由于计算结果的精确度是按小数的位数来确定的，所以当预定结果的精确度用有效数字个数给出，那么就要先估计出和或差里最高一位数在哪一位上。

　　例如，梯形上底a约50米，下底b约60米，高h约40米。

测量时，应达到怎样的精确度，才能使算出的面积S有两个有效数字？

　　要使S有两个有效数字，则（a+b）与h都应该有三个有效数字。

所以，测量h应精确到0.1米，而测量上底和下底，只需要精确到1米（因a+b有三个整数数位。

）

　　在实际测量时，a、b、h都有两个整数数位，测量工具一样，因此常采用相同的精确度。

　　【一般验算方法】

（1）加减法的验算方法。

　　加法的验算方法有二：

一是利用加法交换律，把加数位置交换后再相加，所得的结果必须与原计算的结果相同，说明计算才是正确的。

二是利用加法和减法的逆运算关系，把所得的和减去一个加数，所得的差必须等于另一个加数，计算才是正确的。

　　减法的验算也有两种方法：

一是利用加减互逆的关系进行验算，把所得的差与减数相加，所得的和必须等于被减数，计算才是正确的。

二是利用被减数、减数、差三者之间的关系进行验算，用被减数减去差，所得的结果必须等于减数，计算才是正确的。

（2）乘除法的验算方法。

　　乘法有两种验算方法：

①利用乘法交换律进行验算，把因数位置交换后再相乘，所得的结果必须和原来的计算结果相同，计算才是正确的。

②利用乘除互逆关系，把所得的积除以一个因数，结果必须等于另一个因数，计算才是正确的。

　　除法也有两种验算方法：

①利用乘除互逆关系，把除数和商相乘（如有余数，还要加上余数），所得的结果必须等于被除数，计算才是正确的。

②利用被除数、除数、商、余数之间的关系，把被除数减去余数所得的差（没有余数的不必去减），除以商，所得的结果必须等于除数，计算才是正确的。

　　（3）四则混合运算式题的验算。

　　四则混合运算式题的验算，虽然可采用上述加、减、乘、除法的验算方法去验算，但非常麻烦，不如采用重算的办法。

由于计算中最易错的是运算顺序、分小数互化等，所以重算可分三步走：

①检查运算顺序；②检查分小数互化情况；③检查每步计算结果是否正确。

　　（4）解方程、解比例的验算方法。

　　解方程、解比例的验算，可将求得的解代入原方程或原比例，看等号两边的数值是否相等。

　　（5）应用题的验算方法。

　　应用题的验算可以采用下面三种方法：

　　①用“一题多解”验算。

有多种解法的应用题，可用不同的解法去再解一遍。

若解得的结果一致，说明解法是正确的。

　　②用“还原法”验算。

将计算结果作为题目中的已知条件，根据其数量关系，若算得其他已知条件和数据都是成立的（即能“还原”），则表明题目的解法是正确的。

　　③用分析、估算方法验算。

根据生活经验等，可知：

求总数，结果不应小于部分数；求人数、植树棵树等，得数通常为整数；计算出油率、合格率等，得数不会大于100％；计算各种速度、农作物单位面积产量，得数应基本符合实际情况；……否则，题目的解答便可能是错误的。

　　不过，分析、估算办法只能检验出大致的情况，大致情况检验出来后，还得用其他方法验算。

　　【弃九验算法】利用被9除所得余数的性质，对四则运算进行检验的一种方法，称为“弃九验算法”，简称“弃九法”。

　　用“弃九法”验算，首先要找出一个数的“去九数”（或称“弃九数”）。

把一个数各位数字相加，如果和大于9，又再将和的各位数字相加，直到和是一个一位数（和是9的要减去