特殊平行四边形典型例题解析题.docx
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特殊平行四边形典型例题解析题
一、参考例题
［例1］如下图，△ABC中，点O是AC边上的一个动点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于点F.
（1）求证：
EO=FO
（2）当点O运动到何处时，四边形AECF是矩形？
并说明你的结论.
分析：
（1）要证明OE=OF，可借助第三条线段OC，即证：
OE=OC，OF=OC，这两对线段又分别在两个三角形中，所以只需证△OEC、△OCF是等腰三角形，由已知条件即可证明.
（2）假设四边形AECF是矩形，则对角线互相平分且相等，四个角都是直角.
由已知可得到：
∠ECF=90°，由
（1）可证得OE=OF，所以要使四边形AECF是矩形,只需OA=OC.
证明：
（1）∵CE、CF分别是∠ACB、∠ACD的平分线.
∴∠ACE=∠BCE，∠ACF=∠DCF
∵MN∥BC
∴∠OEC=∠ECB，∠OFC=∠FCD
∴∠ACE=∠OEC，∠ACF=∠OFC
∴OE=OC，OF=OC
∴OE=OF
（2）当点O运动到AC的中点时，即OA=OC
又由
（1）证得OE=OF
∴四边形AECF是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形）
由
（1）知：
∠ECA+∠ACF=
∠ACB+
∠ACD=
（∠ACB+∠ACD）=90°
即∠ECF=90°
∴四边形AECF是矩形.
因此：
当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形.
［例2］如下图，已知矩形ABCD的对角线AC、BD相交于O，OF⊥AD于F，OF=3cm，AE⊥BD于E，且BE∶ED=1∶3，求AC的长.
分析：
本题主要利用矩形的有关性质，进行计算.即：
由矩形的对角线互相平分且相等；可导出BE=OE，进而得出AB=AO，即得出BE=OF=3cm，求出BD的长，即AC的长.
解：
∵四边形ABCD是矩形.
∴AC=BD,OB=OD=OA=OC
又∵BE∶ED=1∶3
∴BE∶BO=1∶2
∴BE=EO
又∵AE⊥BO
∴△ABE≌△ADE
∴AB=OA即AB=AO=OB
∴∠BAE=∠EAO=30°，∠FAO=30°
∴△ABE≌△AOF
∴BE=OF=3cm,∴BD=12cm
∴AC=BD=12cm
二、参考练习
1.如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6cm,BC=8cm，将纸片沿EF折叠，使点B与D重合，求折痕EF的长.
解：
连结BD、BE、DF
由折叠的意义可知：
EF⊥BD，EF平分BD.
∴BE=ED,BF=FD
∵四边形ABCD为矩形
∴AB=CD，AD=BC，∠C=90°，AD∥BC
∴∠EDO=∠FBO
∵点B和D重合
∴BO=DO，∠BOF=∠DOE
∴△BOF≌△DOE
∴ED=BF，∴ED=BF=FD=BE
∴四边形BFDE是菱形
S菱形=
×BD×EF=BF×CD
∵BF=DF，∴可设BF=DF=x
则FC=8－x
在Rt△FCD中，根据勾股定理得：
x2=（8－x）2+62
x=
∴
EF=7.5
因此，折痕EF的长为7.5cm.
2.当平行四边形ABCD满足条件_________时，它成为矩形（填上你认为正确的一个条件即可）.
答案：
∠BAC=90°或AC=BD或OA=OB或∠ABC+∠ADC=180°或∠BAD+∠BCD=180°等条件中的任一个即可.
典型例题
例1 如图，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且
，求：
（1）
的度数；
（2）对角线AC的长；（3）菱形ABCD的面积．
分析
（1）由E为AB的中点，
，可知DE是AB的垂直平分线，从而
，且
，则
是等边三角形，从而菱形中各角都可以求出．
（2）而
，利用勾股定理可以求出AC．（3）由菱形的对角线互相垂直，可知
解
（1）连结BD，∵四边形ABCD是菱形，∴
是AB的中点，且
，∴
∴
是等边三角形，∴
也是等边三角形．
∴
（2）∵四边形ABCD是菱形，∴AC与BD互相垂直平分，
∴
∴
，∴
（3）菱形ABCD的面积
说明：
本题中的菱形有一个内角是60°的特殊的菱形，这个菱形有许多特点，通过解题应该逐步认识这些特点．
例2 已知：
如图，在菱形ABCD中，
于
于F．
求证：
分析 要证明
，可以先证明
，而根据菱形的有关性质不难证明
，从而可以证得本题的结论．
证明 ∵四边形ABCD是菱形，∴
，且
，∴
，∴
，
，
∴
，
∴
例3已知：
如图，菱形ABCD中，E，F分别是BC，CD上的一点，
，
，求
的度数.
解答：
连结AC.
∵四边形ABCD为菱形，
∴
，
.
∴
与
为等边三角形.
∴
∵
，
∴
∴
∴
∵
，
∴
为等边三角形.
∴
∵
，
∴
∴
说明本题综合考查菱形和等边三角形的性质，解题关键是连AC，证
.
例4 如图，已知四边形
和四边形
都是矩形，且
．
求证：
垂直平分
．
分析 由已知条件可证明四边形
是菱形，再根据菱形的对角线平分对角以及等腰三角形的“三线合一”可证明
垂直平分
．
证明：
∵四边形
、
都是矩形
∴
，
，
，
∴四边形
是平行四边形
∵
，∴
在△
和△
中
∴△
≌△
∴
，
∵四边形
是平行四边形
∴四边形
是菱形
∴
平分
∴
平分
∵
∴
垂直平分
．
例5 如图，
中，
，
、
在直线
上，且
．
求证：
．
分析 要证
，关键是要证明四边形
是菱形，然后利用菱形的性质证明结论．
证明 ∵四边形
是平行四边形
∴
，
，
，∴
∵
，∴
在△
和△
中
∴△
≌△
∴
∵
∴
同理：
∴
∵
∴四边形
是平行四边形
∵
∴四边形
是菱形
∴
．
典型例题
例1 一个平行四边形的一个内角是它邻角的3倍，那么这个平行四边形的四个内角各是多少度？
分析 根据平行四边形的对角相等，邻角互补可以求出四个内角的度数．
解 设平行四边形的一个内角的度数为x，则它的邻角的度数为3x，根据题意，得
，解得
，∴
∴这个平行四边形的四个内角的度数分别为45°，135°，45°，135°．
例2 已知：
如图，
的周长为60cm，对角线AC、BD相交于点O，
的周长比
的周长多8cm，求这个平行四边形各边的长．
分析 由平行四边形对边相等，可知
平行四边形周长的一半＝30cm，又由
的周长比
的周长多8cm，可知
cm，由此两式，可求得各边的长．
解 ∵四边形
为平行四边形，∴
，∴
，∴
∴
答：
这个平行四边形各边长分别为19cm，11cm，19cm，11cm．
说明：
学习本题可以得出两个结论：
（1）平行四边形两邻边之和等于平行四边形周长的一半．
（2）平行四边形被对角线分成四个小三角形，相邻两个三角形周长之差等于邻边之差．
例3已知：
如图，在
中，
交于点O，过O点作EF交AB、CD于E、F，那么OE、OF是否相等，说明理由．
分析 观察图形，
，从而可说明
证明 在
中，
交于O，∴
，∴
，
∴
，∴
例4 已知：
如图，点E在矩形ABCD的边BC上，且
，垂足为F。
求证：
分析 观察图形，
与
都是直角三角形，且锐角
，斜边
，因此这两个直角三角形全等。
在这个图形中，若连结AE，则
与
全等，因此可以确定图中许多有用的相等关系。
证明 ∵四边形ABCD是矩形，∴
，∴
，∴
，
又
，∴
。
∴
例5O是
ABCD对角线的交点，
的周长为59，
，
，则
________，若
与
的周长之差为15，则
______，
ABCD的周长=______.
解答：
ABCD中，
，
.
∴
的周长
∴
.
在
ABCD中，
. ∴
的周长－
的周长
∴
∴
ABCD的周长
说明：
本题考查平行四边形的性质，解题关键是将
与
的周长的差转化为两条线段的差.
例6 已知：
如图，
ABCD的周长是
，由钝角顶点D向AB，BC引两条高DE，DF，且
，
. 求这个平行四边形的面积.
解答：
设
.
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴
.
又∵四边形ABCD的周长为36，∴
①
∵
，
∴
∴
②
解由①，②组成的方程组，得
.
∴
.
说明：
本题考查平行四边形的性质及面积公式，解题关键是把几何问题转化为方程组的问题.
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