固体物理1012习题参考答案docx.docx
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第10讲
3.8有N个相同原子组成面积为S的二维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于涩。
讨演N个相同原子组成长度为L的一维晶格，在德拜近似下计算比热，并论述在低温极限比热正比于To
解：
德拜模型的色散关系为G）=cq
考虑q空间中半径为g,厚度为dq的圆环面积为2nqdq中量子态数，波矢的数值在
q—q+dq之间的量子态的数目考虑到二维介质有两支格波，一支纵波，一Q兀），
支横波，所以频率在03—>CD+d（o之间，总的格波数为：
<7刃总的振动能为
In庆
帝）=『［加+*77）"加
*J考虑与温度相关的晶格振动能
=『扑"）血+『/%—1"）血
量,设x=hco/k^r
瓦牛『点*）血
Itcolk^T
rhCDSCD,
t1ia）/kBT
V（膈"
2
由总振动模式数等于自由度数：
P"p{a>）=nN，得德
德拜模型中的晶格热容：
竺尝=2L4nJ『里-dx证明低温晶格比热丁2定律dT）dT\毋由ex-lI
/V\D/
=AT~
一维情况：
波矢的数值在qfq+dqZ间的量子态的数^—2dq=—dco
2〃Tic
土，、L
有g（刃）-—
71C
由于8^da）=N所以％=^£
瓦丁）=『G膈+萨碧例如
=『:
力口8（口）』口+『酒竹_1妃。
"
设x=heo/k^T
dx
x1
e-1
E（t）=［力尻IL（kJ）2p47TC71ch土
7iN2chL（kBT）2件/rx
4L7ichex—1
——~dx=常数Cv=ex-1
3.10设晶体中每个振子的零点振动能s试用德拜模型求晶体的零点振动能。
讨论一维、
切d力］29
二维和三维的情况。
j^-p（a>）da>=—Nh（oD,—Nh（oD,—Nha）D解：
应用色散关系，考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波,模式密度分别为有：
Lj_2S_m_
7iv2nv2
3Vco1
2^"t7
2D
10.1讨论在德拜近似下有N个相同原子组成长度为L的一维晶格振动的模式密度和德拜温度，有N个相同原子组成面积为S的二维晶格振动的模式密度和德拜温度，有N个相同原子组成体积为V的三维晶格振动的模式密度和德拜温度。
解答：
7VV
模式密度：
色散关系为3=四，设波速为常数u,q空间的量子态数密度为上，二，二^从
171W8/
TVV
q到q+向范围内的量子态数为2dq,——-Indq,—•物寸由应用色散关系，2〃物8万
考虑一维只有一个纵波，二维一个横波一个纵波，三维两个横波一个纵波，模式密度分别为有：
——d（D=N,
71U
、1/3
V
兀Nd
a）D=
（6tt2N
L
1
25
co
3V
n
V
2〃
3
2^
V
eD=典
nhjiNv一母nh（a.nW一母nh（6ti2n\
一维：
On=一维：
0D=—\V二维：
On=
LkBkASJkAVI
DZJ、/D\Z
10.2模式密度奇点。
（1）根据一维单原子链的色散关系证明模式密度为
2N1
p（a））=竺,其中如是最大频率。
（2）假定在三维情况下，在S0附近，一冗㈣~m）
个光学波具有a>（k）=a）0-Ak2。
证明：
对于a>0,/?
（<»）=（L/2^-）3（2^-/A3/2）（®0-ty）1/2；对于a>>a>（）,p（a>）=0,
此处模式密度不连续。
<«>
（a）长度凯=血的线性晶格的模密度为
其中。
为原子间距.只考虑最近邻原子间相互作用时，单原子线
性晶格的色散关系为-
oJo知ir，（}K。
）,
（2）
队为极大频率，由此得出
告扣。
s（如）
1“、¥
1-sin^（—Ka）i
2l2J,
=}S；-o2）H（3）
代入
（1）式得
D（o）=-@2）r.（4）
Jt
■）三维晶格中，若光学支在K=0附近的色散关系为
g）=®o-AK\
则盹）=（割’郭=（*）'?
（号K
所以，
D（q）=|气羿=（-£）'弟（饥-0）气当。
＜饥时.
因饥为光学支的最大频率，所以当。
＞伽时
D（o）=0.
第11讲
b,（膈"）
3.9写出量子谐振子系统的自由能，证明在经典极限，自由能为稣f£ln—七。
q\kBT）
F=U+kBT^[^等+ln（l-e-hm>lk'经典极限有kBT»ha）j,
[匝TO,疽s'"r1一匝将两式代入F的表达式，得
2kRTkRT
b（hco,）
F=U+kRTYln—L
BJkTj\^B1J
11.1格临爱森常数（Griineisenconstant）o
（1）证明频率为co的声子模式的自由能为kBThi[2sinh（hcDk/kBT）]^了得到这个结果，必须保留零点能力口/2。
（2）以△表示体积相对改变，那么晶体的这个自由能可以写成：
F（A,T）=+^T^ln[2sinh（/i^/2^T）]其中B是体积弹性模量。
假定硫对体积的依赖关系为8co/®=-YA,其中y称为格临爱森常数。
如果将y取作和模式k无关，证明：
当
=力口cosh（力口/2焙T）时，F相对于△成为极小，并且证明：
借助热能密度可以
将此式写成X=yUQ）/B（3）证明：
对于德拜模型，/=—61n%/ainV。
注意：
在这个理论中涉及多种近似，结果
（1）只有在①不依赖于温度时才成立，而对于不同的模式，y可能相差甚远。
（。
）考虑频率为。
的声子模，配分函数为
7_"疽抑）枇/如T
R"0
=e*/2如T（l+e*/W&5/血+…）
*/如T
=l-c-1l7hT
___1、
了&T-产醐5
CV
=（2sinH矗尸.
（1）
故自由能为
F=-kjTlnZ
=ksTlnC2sinh^>⑵
F（V,T）=玖V）+fc»T^lnC2sinh蜉r）,⑶
E（V）为OK时晶体的内能，第二项为所有声子模的，献.若晶体体积改变W,则
F（V+W,T）=E（V+W）
+kflT£]lnC2sinh*爵+'%
而
E（V+W）=E（V）+，氟）o（W），
=E（V）中§BzP,
其中B=V«：
S）。
为体弹性模母，4=^.于是与△有关的自由
能为
F（A,T）=土手〔2sin（4）
2V2ksT
其中OK（y+w）=ok（v）+戮w
=MV）/（*）OK*
g）k•邛V
=0曰，"。
〃，（5）
*=-山（g）=一丝给
wk9V»lnV
为Gnneisen常数.假定公与模式K无关，即YK=V,则由F（A,T）对△的极小条件
；；=*△+如rZEInC2sinh匝窟蚂
=86+打？
硕*（器）整踣也•=（）得到副=-+心商焙）（6）
*AZMl
利用（5）式，——=-y®K,aA
由此有
B6=y£jhoxcQtk（务p.（7）
平均热能为
U（t）=f-t（*）v=-t1岑孔
=-广京如尹'2讪"黯）｝
=孕十服KC0t噌辛）.《8>
这里假定OK与T无关.将（8〉式代入《7〉式得
△=7U（T）/B.（9）
Cc）由（3）式可得状态方程，
PI第〉t=-（器〉-参｛虹T§lngnM黔）｝=-<器）-如鸣胡n〔2sin£《烈）3.雾（10〉采用Debye近似，（10）式的第二项可以改写为积分形式：
一5疔土岫点彩J.希以*=-"T俨。
-巨cotht—-）■?
也.竺o，dca
°Jo2kaT2k»V础
第12讲
12.1试由金属中自由电子运动方程推导稳态时电子在外电场中的定向速度，并由此推导焦耳定律的表达式。
解：
焦耳定律的微分形式为：
P=cjE-—其中◎称为电导率。
设单位体积中〃个电子以相同的平均速度u运动，由此产生的电流密度项将平行于1）。
在时间间隔出内电子在速度方向运动的距离为。
出，这样将有nudtA的电子越过垂直于速度方向的面积A,每一个电子携带电荷-e。
在时间间隔出内越过面积A的电荷为-neudtA,因此电流密度为：
j=-neu在没有外加电场时，电子的平均速度为零，电流密度也为零。
在有外加电场E时，稳态时，按照电子运动方程，V匹=0,业=f（?
）因此附加定向速
dtt
2
VIPT
度的平均值为u=—eEc/m,丁为弛豫时间，因此电流密度：
j=E,电导率为
m
2zn2
neT〃/、mum[eEz）c=P=nf=nv-n
mtmJ
12.2分别用经典电子论和索末菲自由电子模型证明维德曼一夫兰兹定律并求洛伦兹常数。
解：
根据经典电子论，由电导率和热导率表达式可得：
1,1213,3,T.
洛伦兹数为
£__3尸似3幻郁2—勇&
ane2Tne1ne121e
K=^CvvlEf=
l.llxlQ-3watt-ohm/K2根据索末菲量子电子论，由电导率和热导率表
勿2nk《T兀'nk《Tr
K=-VF-Cl=苴—
3mVp3m
k/3m7t~
ane'r/m3
ne2T）m
.2
E*K兀
TL=—=—crT3
=2.45x10-8watt-ohm/K~
12.3在低温下金属钾的摩尔热容量的实验结果为：
Cy=（2.08T+2.57mol-K
求钾的费米温度和德拜温度。
解：
一摩尔的电子对热容的贡献：
与实验结果比较得到：
N—
=2.08、10一叮
J/mol-K
费米温度:
Tr=N
3
2x2.08x10「3
=19624K
2
根据德拜定律：
5=气四骨解He3的自旋为1/2的费米子，其质量m«3mp«5xl0"24g
与实验结果比较得到:
n^NkBftYD_
5©
J\^D7
=2.57'10「3丁3
J/mol-K德拜温度:
（12/叫
a
、5x2.57x10L
、l/3
=91K
12.4二维情况下的化学势，每单位面积有〃个电子，证明二维情况下费米气的化学势由下
式给出：
"（T）=kBTln[exp（^n7?
2/mkBT）-1]
dN=2x2兀kdk——-
W
dNrnN（E）=—=—SdE7iti-
N=EN（E）f（E）dE=^S
Nmn=——=——T
S7ih2
e（E-E,.-VkBT
1—dE
+1
E1_E1
作变量变换,y=±_EzkJ
则有
m件]7mkRT件e~x,
n=——ax=——ax
7ihyikBTex+1〃力2y/We~x+1
5警心”）
由上式解得：
//（T）=EF=kBTln[exp（^n/z2/mkBT）-1]
6.1液体He3,He3原子量自旋为1/2的费米子，在绝对零度附近液体He3的密度为0.081g/cm3,计算费米能Ef和费米温度Tf。
在密度为0.081g/cm3的液体He3中，单位体积中的压3数目为
C力2
11=%1.62x1（）22顷疽其费米能为Ef=一（3）2/3将上面得到的n,m值代入，就得到m2m
费米能
力2
Ef=—（3）2〃=6.8Xi。
*erg=4.3x10—4eV费米温度为2m
4.3x10^
8.617x10-5
（K）=4.9K
6.3若把银看成具有球形费米面的单价金属，计算以下各量：
（1）费米能和费米温度;
（2）费米球半径;（3）费米速度;（4）费米球面的横截面积;（5）在室温和低温时电子的平均自由程。
已知银的质量密度为10.5g/cm3,原子量为107.87,电阻率为：
1.61X10-6Q：
cm（295K）,0.038
X10-6Q:
cm（20K）
解：
lm3的银的摩尔数：
（10.5x106/107.87）=97.3x3mol
原子数=摩尔数xN（）=97.3x6.02xl026=5.86x1028
银为一价原子，故价电子数亦为：
5.86x1028个，
价电子密度：
ne=（N/V）=5.86xl028个血3
⑴费米能：
E"=—（3ne7i-）2/3A=—=1.0545x10^34电子静止质量m=9.1Xl。
一312m'）h
晚玲=L112xl°（3x5.86x1028x3.142）2/3=8.8x10-190）单位换为ev,
F2x9.109x1031
玲a5.49ev费米温度：
Tf=^=8-8x10,=6.38xl047
（2）费米球半径
「FKr1.38x10*
1<^=（3兀2片）（1/3）=
（3x3.142x5.86x1028）1/3=12.02x109（l/m）另外:
2mE°
力2
冒"*诚“叫
1（9V"QQ\z1qT9乂oV”
（3）费米速度：
一m谅二E；*二E*•—=k=1.391x1（）6m/s⑷
2kyyij[9.1x10/
2m/7。
1
费米球最大截面积：
SmG兀号兀•—产=4.56X102°（―）力-m'
（5）常温下电子平均自由时间t、平均自由程L。
电阻率为：
1.61X10-6Q:
cm（295K）,0.038X10-6Q:
cm（20K）设T=295K,由得
1mm9.1xl（）Tiu
p=—=——r=——=成；浓r=3.77x10sL=tvf
bnee~Tnee'p5.86x1,028x1,62x10-38x1.61x10-8
=3.77x10-14x1.39xl06=5.24xl0-8（m）
设低温T=20K,p=0.0038x10-8（p/p'）=（1.61/0.0038）~424tc=424xt=424x3.77xIO'14s
=1.6x10-11（m）L=T*vp=1.6x10-11x1.39x106=2.22x10-5（m）6.4设N个电子组成简并的自由电子气，体积为V,证明r=ok时，有
一39—
（1）每个电子平均能量U=洗%
（2）自由电子气的压强P满足pV=ju
证明：
（1）T=0K时电子系统每个电子的平均能量
〔EdN玖q
EKm=J=[CjE3/2dE]/[CjE^dE]=-E°
Noo5
（2）在绝热近似下，外场力对电子气作的功W等于系统内能的增加dU,即
dU=W=-PdV式中P是电子气的压强，由上式可得P=~—
5V
tr
33
忽略掉温度对内能的影响，U=—NE%=—N
552m
3W
V
2/3
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