北京宣武区学年第一学期期末质量检测高三数学文.docx
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北京宣武区学年第一学期期末质量检测高三数学文
北京市宣武区2009-2010学年度第一学期期末质量检测
高三数学（文科）2010.1
本试卷分第I卷（选择题）和第n卷（非选择题）两部分，共考试时间为120分钟.
第I卷（选择题共40分）
个是符合题目要求的）
①若m〃
,则m
②若m,
则m//
③若m,
//,则m〃
④若，
则〃
7.设斜率为
k的直线l过抛物线
y28x的焦点
F，且和y轴交于点
A，若△OAF（O为坐标原点）的面积
为4，则实数
k的值为
（）.
A.
2
B.4
C.2
D.4
第H卷（非选择题共110分）
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分；把答案填在相应的位置上）。
2
9.若双曲线x2上1的离心率为n，则n:
设i为虚数单位，复数1in的运算结果
15
为.
10.已知非零向量a,b满足：
|a2b，且bab，则向量a与向量b的夹角=.
11.长方体ABCDA1B1C1D1满足：
AB2BC2CC121,则其外接球的表面积为
11=2
n=4
三、解答题（本大题共6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
15.（本小题共13分）
已知ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,A是锐角，且3b2asinB.
（I）求A的度数；
（n）若a7,ABC的面积为10.一3，求b2c2的值.
如图是正三棱柱ABCAB1C1,AA3,AB2,若N为棱AB中点.
（I）求证：
ACi〃平面CNBi;
（n）求四棱锥C1ANB1A1的体积.
某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式
分成五组，第一组13,14，第二组14,15……第五组17,18如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图•
（I）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数。
（II）设m,n表示该班两个学生的百米测试成绩，已知m,n13,1417,18求事件“mn2”的
概率。
已知二次函数g（x）的图象经过坐标原点，且满足g（x1）g（x）2x1，设函数
f（x）m[g（x1）1]Inx,其中m为常数且m0.
（I）求函数g（x）的解析式；
（II）当2m0时，判断函数f（x）的单调性并且说明理由.
19.（本小题共14分）
已知椭圆E:
22
xy—
—21（a,b0）的焦点坐标为Fi（2,0），点M（2,-2）在椭圆E上.
ab
（I）求椭圆
E的方程；
n）设Q（1,0），过Q点引直线I与椭圆E交于A,B两点，求线段AB中点P的轨迹方程;
20.（本小题共14分）
J5已知函数f（x）:
m为正整数.
5x
（[）求f
（1）f（0）和f（x）f（1x）的值；
（n）若数列｛a.｝的通项公式为anf（-）（n1,2,,m），求数列｛an｝的前m项和Sm；
m
（川）设数列｛bn｝满足：
b1-,bn1bn2bn，设Tn---，若（n）
2b11b21bn1
中的Sm满足对任意不小于3的正整数n,4Sm777Tn、5恒成立，试求m的最大值.
北京市宣武区2009〜2010学年度第一学期期末质量检测
高三数学（文）参考答案及评分标准2010.1
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
C
A
D
B
C
C
B
A
、填空题：
本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上
题号
9
10
11
12
13
14
答案
4,4
2
3
2亦
5
r3,1,3
2008
15,2009
三、解答题：
本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
15.（本题满分13分）
解：
（1）•••.3b2asinB，二由正弦定理知：
.、3sinB2sinAsinB,
A是锐角，•••A的度数=60o.
又NO平面NB1C,AC1平面NB1C,
•-AC1//平面NB1C;
（H）•/ANB1A1是直角梯形，AN1,A1B12,AA3，•四边形ANB1A1面积为9,
2
3!
~3•••CN平面ANB1A1,•••四棱锥CANB1A1的体积为•13分
2
17.（本题满分13分）
解：
（1）根据直方图可知成绩在14,16内的人数为：
500.18500.3828人；5分
（H）成绩在13,14的人数有：
500.042人，设为a,b.
成绩在17,18的人数有：
500.063人，设为A,B,C.
m,n13,14时有ab一种情况.m,n17,18时有AB,AC,BC三种情况.
m,n分别在13,14和17,18时有aA,aB,aC,bA,bB,bC六种情况.
即：
ax2（2ab）xabax2（b2）x1
2mx22mx1
即f'（x）0在（0,）上恒成立.
13分
•••当2m0时,函数f（x）在定义域（0,）上单调递减.
19.（本题满分14分）
解：
（I）：
椭圆
E:
y21（a,b>0）经过M（-2,2），一个焦点坐标为F1（2,0）,
b
2
a
b2
22
，椭圆E的方程为—-L
84
（n）当直线
l的斜率存在时，设直线I与椭圆
E的两个交点为A（xi,yi）,B（X2,y2），相交
所得弦的中点P（x,y）82
X2
8
2
4
2
y2
4
①-②得，（X1X2）（X1X2）
（力y2）（y1y?
）0,
•••弦AB的斜率k上一y2
4x1x2
x1x2
8yi
y2
"0）・，
•••代B,P,Q四点共线，•kAB
九（y0且X1），
经检验（0,0）,（1,0）符合条件,
•••线段AB中点P的轨迹方程是
x22
10分
（川）当OO的切线斜率存在时，设O
O的切线方程为
ykxm,
y
由x!
8
kx
2
y_
4
m
得（12k2）x2
1
2
4kmx2m8
0,
X3X4
设C（X3，y3），D（X4,y4），则
X3X4
4km
12k22m28
2k2
•/OC
OD,•X3X4yy0,即
2m28
12k2
m28k2
2^
8k280,即k2如8
•••直线
ykxm为OO的一条切线，•圆的半径
m
1k2
即r2
m2
1k2
m28
3m283
1-
8
经检验，当O
O的切线斜率不存在时也成立••••
r兰
3
20.（本题满分
14分）
5
5
解：
（I）
f
（1）
f（0）
551
5「
f（x）
f°x）=5x&
真=宾
51x55x.5
55x
555x
11）由（I）得
k
k
f（-）
f（1
-）
1（1km1）,
m
m
即f（k）
f（mk）
1,
ak
amk1,
m
m
由Sma1
a2a3
am1
am，
•…①
得Sm
②
由①+②，得2Sm
（m1）1
2am，
1
15.5
•Sm（m
1}2
f
（1）
（m
1）•
24
1
（川）-b1,
2
bn1
b2bn
bn
（bn1），
•••对任意的
nN*
bn0.
1
1
1
1^111
即
bn1bn（bn
1）bn
bn
1bn1bnbn
3
am
am
1am2
a1am
10分
0,
b2
bn1bn
bn1
bn1
•-Tn关于n递增.
bn1bn,数列｛bn｝是单调递增数列
3,且nN时，TnT3.
3332121
Qb33（31）荷b4亦
777
256
b4
256
777
•••4Sm777T3、.5,
•••m650.5.而m为正整数，
•m的最大值为650.14分
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