最新北师大版七年级数学下册15平方差公式公开课优质教案 1.docx

最新北师大版七年级数学下册15平方差公式公开课优质教案 1.docx

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最新北师大版七年级数学下册15平方差公式公开课优质教案1

1.5平方差公式

（二）

●教学目标

（一）教学知识点

1.了解平方差公式地几何背景.

2.会用面积法推导平方差公式，并能运用公式进行简单地运算.

3.体会符号运算对证明猜想地作用.

（二）能力训练要求

1.用符号运算证明猜想，提高解决问题地能力.

2.培养学生观察、归纳、概括等能力.

（三）情感与价值观要求

1.在拼图游戏中对平方差公式有一个直观地几何解释，体验学习数学地乐趣.

2.体验符号运算对猜想地作用，享受数学符号表示运算规律地简捷美.

●教学重点

平方差公式地几何解释和广泛地应用.

●教学难点

准确地运用平方差公式进行简单运算，培养基本地运算技能.

●教学方法

启发——探究相结合

●教具准备

一块大正方形纸板，剪刀.

投影片四张

第一张：

想一想，记作（§1.5.2A）

第二张：

例3，记作（§1.5.2B）

第三张：

例4，记作（§1.5.2C）

第四张：

补充练习，记作（§1.7.2D）

●教学过程

Ⅰ.创设问题情景，引入新课

［师］同学们，请把自己准备好地正方形纸板拿出来，设它地边长为a.

这个正方形地面积是多少？

［生］a2.

［师］请你用手中地剪刀从这个正方形纸板上，剪下一个边长为b地小正方形（如图1－23）.现在我们就有了一个新地图形（如上图阴影部分），你能表示出阴影部分地面积吗？

图1－23

［生］剪去一个边长为b地小正方形，余下图形地面积，即阴影部分地面积为（a2－b2）.

［师］你能用阴影部分地图形拼成一个长方形吗？

同学们可在小组内交流讨论.

（教师可巡视同学们拼图地情况，了解同学们拼图地想法）

［生］老师，我们拼出来啦.

［师］讲给大伙听一听.

［生］我是把剩下地图形（即上图阴影部分）先剪成两个长方形（沿上图虚线剪开），我们可以注意到，上面地大长方形宽是（a－b），长是a;下面地小长方形长是（a－b），宽是b.我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形，是由于大长方形地宽和小长方形地长都是（a－b），我们可以将这两个边重合，这样就拼成了一个如图1－24所示地图形（阴影部分），它地长和宽分别为（a+b），（a－b），面积为（a+b）（a－b）.

图1－24

［师］比较上面两个图形中阴影部分地面积，你发现了什么？

［生］这两部分面积应该是相等地，即（a+b）（a－b）=a2－b2.

［生］这恰好是我们上节课学过地平方差公式.

［生］我明白了.上一节课，我们用多项式与多项式相乘地法则验证了平方差公式.今天，我们又通过拼图游戏给出平方差公式地一个几何解释，太妙了.

［生］用拼图来验证平方差公式很直观，一剪一拼，利用面积相等就可推证.

［师］由此我们对平方差公式有了更多地认识.这节课我们来继续学习平方差公式，也许你会发现它更“神奇”地作用.

Ⅱ.讲授新课

［师］出示投影片（§1.5.2A）

想一想：

（1）计算下列各组算式，并观察它们地特点

（2）从以上地过程中，你发现了什么规律？

（3）请你用字母表示这一规律，你能说明它地正确性吗？

［生］

（1）中算式算出来地结果如下

［生］从上面地算式可以发现，一个自然数地平方比它相邻两数地积大1.

［师］是不是大于1地所有自然数都有这个特点呢？

［生］我猜想是.我又找了几个例子如：

［师］你能用字母表示这一规律吗？

［生］设这个自然数为a，与它相邻地两个自然数为a－1，a+1，则有（a+1）（a－1）=a2－1.

［生］这个结论是正确地，用平方差公式即可说明.

［生］可是，我有一个疑问，a必须是一个自然数，还必须大于2吗？

（同学们惊讶，然后讨论）

［生］a可以代表任意一个数.

［师］很好！

同学们能大胆提出问题，又勇于解决问题，值得提倡.

［生］老师，我还有个问题，这个结论反映了数字之间地一种关系.在平时有什么用途呢？

（陷入沉思）

［生］例如：

计算29×31很麻烦，我们就可以转化为（30－1）（30+1）=302－1=900－1=899.

［师］地确如此.我们在做一些数地运算时，如果能一直有这样“巧夺天工”地方法，太好了.

我们不妨再做几个类似地练习.

出示投影片（§1.5.2B）

［例3］用平方差公式计算：

（1）103×97

（2）118×122

［师］我们可以发现，直接运算上面地算式很麻烦.但注意观察就会发现新地奥妙.

［生］我发现了，103=100+3，97=100－3，因此103×97=（100+3）（100－3）=10000－9=9991.太简便了！

［生］我观察也发现了第

（2）题地“奥妙”.

118=120－2，122=120+2

118×122=（120－2）（120+2）=1202－4=14400－4=14396.

［生］遇到类似这样地题，我们就不用笔算，口算就能得出.

［师］我们再来看一个例题（出示投影片§1.5.2C）.

［例4］计算：

（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2;

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）.

分析：

上面两个小题，是整式地混合运算，平方差公式地应用，能使运算简便；还需注意地是运算顺序以及结果一定要化简.

解：

（1）a2（a+b）（a－b）+a2b2

=a2（a2－b2）+a2b2

=a4－a2b2+a2b2

=a4

（2）（2x－5）（2x+5）－2x（2x－3）

=（2x）2－52－（4x2－6x）

=4x2－25－4x2+6x

=6x－25

注意：

在

（2）小题中，2x与2x－3地积算出来后，要放到括号里，因为它们是一个整体.

［例5］公式地逆用

（1）（x+y）2－（x－y）2

（2）252－242

分析：

逆用平方差公式可以使运算简便.

解：

（1）（x+y）2－（x－y）2

=［（x+y）+（x－y）］［（x+y）－（x－y）］

=2x·2y

=4xy

（2）252－242

=（25+24）（25－24）

=49

Ⅲ.随堂练习

1.（课本P22）计算

（1）704×696

（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

（3）x（x－1）－（x－

）（x+

）

（可让学生先在练习本上完成，教师巡视作业中地错误，或同桌互查互纠）

解：

（1）704×696=（700+4）（700－4）

=490000－16=489984

（2）（x+2y）（x－2y）+（x+1）（x－1）

=（x2－4y2）+（x2－1）

=x2－4y2+x2－1

=2x2－4y2－1

（3）x（x－1）－（x－

）（x+

）

=（x2－x）－［x2－（

）2］

=x2－x－x2+

=

－x

2.（补充练习）

出示投影片（§1.5.2D）

解方程：

（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）=（7x+1）（x－1）

（先由学生试着完成）

解：

（2x+1）（2x－1）+3（x+2）（x－2）

=（7x+1）（x－1）

（2x）2－1+3（x2－4）=7x2－6x－1

4x2－1+3x2－12=7x2－6x－1

6x=12x=2

Ⅳ.课时小结

［师］同学们这节课一定有不少体会和收获.

［生］我能用拼图对平方差公式进行几何解释.也就是说对平方差公式地理解又多了一个层面.

［生］平方差公式不仅在计算整式时，可以使运算简便，而且数地运算如果也能恰当地用了平方差公式，也非常神奇.

［生］我觉得这节课我印象最深地是犯错误地地方.例如a（a+1）－（a+b）（a－b）一定要先算乘法，同时减号后面地积（a+b）（a－b），算出来一定先放在括号里，然后再去括号.就不容易犯错误了.

……

Ⅴ.课后作业

课本习题1.10.

Ⅵ.活动与探究

计算：

19902－19892+19882－19872+…+22－1.

［过程］先做乘方运算，再做减法，则计算繁琐，观察算式特点，考虑逆用平方差公式.

［结果］原式=（19902－19892）+（19882－19872）+…+（22－1）

=（1990+1989）（1990－1989）+（1988+1987）（1988－1987）+…+（2+1）（2－1）

=1990+1989+1988+1987+…+2+1

=

=1981045

●板书设计

§1.5.2平方差公式

（二）

一、平方差公式地几何解释：

二、想一想

特例——归纳——建立猜想——用符号表示——给出证明

即（a+1）（a－1）=a2－1

三、例题讲解：

例3例4

四、练习

●备课资料

参考练习

1.选择题

（1）在下列多项式地乘法中，不能用平方差公式计算地是（）

A.（－a－b）（a－b）B.（c2－d2）（d2+c2）

C.（x3－y3）（x3+y3）D.（m－n）（－m+n）

（2）用平方差公式计算（x－1）（x+1）（x2+1）结果正确地是（）

A.x4－1B.x4+1

C.（x－1）4D.（x+1）4

（3）下列各式中，结果是a2－36b2地是（）

A.（－6b+a）（－6b－a）B.（－6b+a）（6b－a）

C.（a+4b）（a－4b）D.（－6b－a）（6b－a）

2.填空题

（4）（5x+3y）·（）=25x2－9y2

（5）（－0.2x－0.4y）（）=0.16y2－0.04x2

（6）（－

x－11y）（）=－

x2+121y2

（7）若（－7m+A）（4n+B）=16n2－49m2，则A=，B=.

3.计算

（8）（2x2+3y）（3y－2x2）.

（9）（p－5）（p－2）（p+2）（p+5）.

（10）（x2y+4）（x2y－4）－（x2y+2）·（x2y－3）.

4.求值

（11）（上海市中考题）已知x2－2x=2，将下式先化简，再求值

（x－1）2+（x+3）（x－3）+（x－3）（x－1）

5.探索规律

（12）（北京市中考）观察下列顺序排列地等式：

9×0+1=1

9×1+2=11

9×2+3=21

9×3+4=31

9×4+5=41

……

猜想：

第n个等式（n为正整数）应为.

答案：

1.

（1）D

（2）A（3）D

2.（4）（5x－3y）（5）（0.2x－0.4y）

（6）（

x－11y）（7）A=4n，B=7m

3.（8）9y2－4x4（9）p4－29p2+100

（10）x2y－10

4.（11）原式=3（x2－2x）－5=3×2－5=1

5.（12）9×（n－1）+n=（n－1）×10+1（n为正整数）.