知识点223 欧拉公式填空.docx

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知识点223欧拉公式填空

知识点223欧拉公式（填空）

1、一个五棱柱有个　7　面，　15　条棱，　10　个顶点．考点：

欧拉公式。

分析：

根据棱柱的特性：

n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．解答：

解：

故五棱柱有7个面，15条棱，10个顶点．故答案为7，15，10．点评：

本题主要考查n棱柱的构造特点：

（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．

2、伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V）、棱数（E）、面数（F）之间关系的公式为　V+F﹣E=2　．考点：

欧拉公式。

分析：

根据一个多面体的顶点、面数、棱数的关系：

顶点+面数﹣棱数=2，列出公式即可．解答：

解：

伟大的数学家欧拉发现并证明的关于一个多面体的顶点（V）、棱数（E）、面数（F）之间关系的公式为V+F﹣E=2．点评：

熟记一个多面体的顶点、面数、棱数的关系式：

顶点+面数﹣棱数=2．

3、正方体或长方体是一个立体图形，它是由　6　个面，　12　条棱，　8　个顶点组成的．考点：

欧拉公式。

分析：

正方体和长方体属于四棱柱．根据棱柱的特性即可解．n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．解答：

解：

根据以上分析：

正方体或长方体是由6个面，12条棱，8个顶点组成．故答案为6，12，8．点评：

本题需注意正方体或长方体可看作四棱柱，按照棱柱的构造特点来做．

4、长方体由　6　个面　12　条棱　8　个顶点．考点：

欧拉公式。

分析：

长方体属于四棱柱根据四棱柱的概念及特性即可解．解答：

解：

长方体属于四棱柱，四棱柱有6个面，12条棱，8个顶点．故答案为6，12，8．点评：

可把长方体看作四棱柱根据棱柱的构造特点来做．

5、一个多面体有12条棱，6个顶点，则这个多面体是　八　面体．考点：

欧拉公式。

分析：

根据常见几何体的结构特征进行判断．解答：

解：

一个多面体有12条棱，6个顶点，为8面体，每个面都是三角形．故答案为八面体．点评：

本题考查四棱柱的结构特征，是一道简单的基础题．

6、长方体有　8　个顶点，　12　条棱，　6　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据长方体的概念和特性即可解题．解答：

解：

根据长方体的特征知，它有8个顶点，12条棱，6个面．故答案为8，12，6．点评：

对于四棱柱，一定有8个顶点，12条棱，6个面，应熟记这一特征．

7、六棱柱有　12　个顶点，　18　条棱，　8　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据六棱柱的概念和定义即解．解答：

解：

六棱柱上下两个底面是6边形，侧面是6个长方形．所以共有12个顶点；18条棱，8个面．故答案为12，18，8．点评：

解决本题的关键是掌握六棱柱的构造特点．

8、一个多面体的面数为6，棱数是12，则其顶点数为　8　．考点：

欧拉公式。

分析：

因为多面体的面数为6，棱数是12，故多面体为四棱柱．解答：

解：

根据四棱柱的概念，有8个顶点．故答案为8．点评：

本题考查的棱柱的定义，关键点在于：

棱柱的面与面相交成棱，棱与棱相交成点．

9、一个直棱柱有7个面，则它有　10　个顶点，　15　条棱，表面上至少有　20　个直角．考点：

欧拉公式。

分析：

一个直棱柱有7个面，故为五棱柱．根据五棱柱的概念和特点求解．解答：

解：

因为是五棱柱．故有10个顶点，15条棱，表面上至少有20个直角．故答案为10，15，20．点评：

本题需注意：

因为每个侧面都是矩形有4个直角，直五棱柱有5个侧面，∴至少有20个直角．

10、长方体有　6　个面；有　12　条棱．考点：

欧拉公式。

分析：

根据长方体属于四棱柱，结合四棱柱的特征进行填空．解答：

解：

长方体有6个面；有12条棱．故答案为

6、12．点评：

n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．

11、正八面体有　6　个顶点　12　条棱　8　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

依据正八面体是由8个正三角形所围成的立体图形作答．解答：

解：

正八面体有8个面，每个面都是全等的正三角形，有6个顶点，12条棱．点评：

本题考查的是正八面体的特征，是简单的基础题．

12、一个直棱柱有18个顶点，则它是直　九　棱柱，有　27　条棱，　11　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据一个n直棱柱有2n个顶点，3n条棱，n+2个面，进行填空．解答：

解：

一个直棱柱有18个顶点，则它是直九棱柱，有27条棱，11个面．故答案为九、

27、11．点评：

熟记一个n直棱柱的顶点的个数、面的个数和棱的条数与n的关系，本题容易解决．

13、从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体、其面数+顶点数﹣棱数=　2　．考点：

欧拉公式。

分析：

根据欧拉公式，得出正多面体的面数+顶点数﹣棱数的结果．解答：

解：

从每个顶点出发的所有棱长相等，所有面形状、大小完全相同的正多边形的几何体称为正多面体，其面数+顶点数﹣棱数=2．故答案为2．点评：

本题考查多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系及灵活运用．

14、如图，一个正四面体共有4个面、4个顶点、　6　条棱．考点：

欧拉公式。

分析：

结合图形，可知个正四面体是三棱锥，再根据棱的定义判断棱的条数即可．解答：

解：

根据题意可知，一个正四面体共有4个面、4个顶点、6条棱．故填6．点评：

将多面体的顶点数用V表示，面数用F表示，棱数用E表示，则V、F、E之间的数量关系可用一个公式来表示，这就是著名的欧拉公式：

V+F﹣E=2．

15、长方体有　8　个顶点，　12　条棱，　6　个面，这些面的形状是　长方形或正方形　．考点：

欧拉公式。

分析：

根据长方体的概念和定义即可解．解答：

解：

长方体由6个面围成，面与面相交成棱，三条棱相交于一点是顶点，所以长方体有8个顶点，12条棱，6个面，这些面的形状是长方形或正方形．故答案为8，12，6，长方形或正方形．点评：

掌握四棱柱的特征，其中有8个顶点，12条棱，6个面．

16、八棱柱有　16　个顶点，　24　条棱，　10　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据棱柱的特性：

n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面．解答：

解：

八棱柱有16个顶点，24条棱，10个面．故答案为16，24，10．点评：

本题主要考查n棱柱的构造特点．

17、n棱柱有　2n　个顶点，　3n　条棱，　n+2　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据棱柱的概念和特性即可解．解答：

解：

三棱柱有32个顶点，33条棱，3+2个面．∴n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面．故答案为2n，3n，n+2．点评：

本题可由具体的棱柱的构造得到一般棱柱的构造．

18、一个直六棱柱的侧面个数是　6　，顶点个数是　12　，棱的条数是　18　．考点：

欧拉公式。

分析：

一个直六棱柱是由两个六边形的底面和6个长方形的侧面组成，根据其特征进行填空即可．解答：

解：

一个直六棱柱的侧面个数是6，顶点个数是12，棱的条数是18．故答案为

6、

12、18．点评：

n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．

19、一个直五棱柱，它有　15　条棱，有　10　个顶点，　5　个侧面．考点：

欧拉公式。

分析：

一个直五棱柱是由两个五边形的底面和5个长方形的侧面组成，根据其特征进行填空即可．解答：

解：

一个直五棱柱，它有15条棱，有10个顶点，5个侧面．故答案为

15、

10、5．点评：

n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．

20、五棱柱有　10　个顶点，有　15　条棱，有　7　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

根据五棱柱的概念和特性可解题．解答：

解：

5棱柱有10个顶点，15条棱，7个面．故答案为10，15，7．点评：

本题主要考查n棱柱的知识点为；n棱柱有2n个顶点，3n条棱，（n+2）个面．

21、一个正多面体20个顶点，12个面，则它共有　30　条棱．考点：

欧拉公式。

分析：

根据一个多面体的顶点、面数、棱数的关系：

顶点+面数﹣2=棱数，直接代入计算即可．解答：

解：

一个正多面体20个顶点，12个面，则它共有棱：

20+12﹣2=30条．故答案为30．点评：

熟记一个多面体的顶点、面数、棱数的关系式：

顶点+面数﹣棱数=2，是解决此类问题的关键．

22、正三棱锥的顶点数有　4　个，棱有　6　条，有　4　个面．考点：

欧拉公式。

分析：

正三棱锥的侧面是三个三角形围成，底面也是一个三角形，结合三棱锥的组成特征，可确定它的顶点个数、棱的条数和面的个数．解答：

解：

正三棱锥的顶点数有4个，棱有6条，有4个面．故答案为

4、6、4．点评：

熟记常见立体图形的特征是解决此类问题的关键．

23、五棱柱是由　7　个面围成的，它有　10　个顶点，有　15　条棱．考点：

欧拉公式。

分析：

根据五棱柱的概念和特性即可解，五棱柱有7个面、10个顶点和15条棱．解答：

解：

五棱柱是由侧面的5个长方形和上下2个底面组成，共7个面围成的，其中面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点，它有10个顶点，有15条棱．故答案为7，10，15．点评：

柱体中，面与面相交成棱，棱与棱相交成顶点．

24、图1

（1）、

（2）、（3）依次表示四面体、八面体、正方体．它们各自的面积数F、棱数E与顶点数V如下表：

FEV四面体464八面体8126正方体6128观察这些数据，可以发现F、E、V之间的关系满足等式：

　F﹣E+V=2　．考点：

欧拉公式。

专题：

计算题。

分析：

根据题给图形中各图具体的面积数F、棱数E与顶点数V，即可得出答案．解答：

解：

根据表中所列可知：

四面体有4﹣6+4=2；八面体有8﹣12+6=2；正方体有6﹣12+8=2；故有F﹣E+V=2．故答案为：

F﹣E+V=2．点评：

本题主要考查了欧拉公式的知识，属于基础题，注意对欧拉公式的熟练掌握．

25、很多同学都知道空间多面体有一个欧拉公式：

顶点数+面数﹣棱数=2，如长方体有8个顶点、6个面与12条棱，满足8+6﹣12=2．现在请你观察如下的平面图形，图1是一个三角形，它将整个平面分成了内部与外部两个区域；图2是由平面上5个点组成的两个不重叠的三角形，任意3点都不在一条直线上；图3是由平面上7个点组成的3个互不重叠的三角形，任意3点都不在一条直线上．我们还可以画出由平面上更多的点组成的具有相同特征的三角形组合图形，试猜想它们的点数a、边数b与区域数c满足的一个等式是　答案不唯一如：

a+c﹣b=2，2a﹣b﹣c=1　．考点：

欧拉公式。

专题：

计算题。

分析：

分别找出所给三个图形的点数a，边数b和区域数c的值，然后看其右什么关系，继而猜想它们满足的等式．解答：

解：

根据题意可知：

图1：

a=3，b=3，c=2；图2：

a=5，b=6，c=3；图3：

a=7，b=9，c=4，继而可得：

a+c﹣b=2或2a﹣b﹣c=1等．故答案为：

答案不唯一如：

a+c﹣b=2，2a﹣b﹣c=1．点评：

本题考查了欧拉公式的知识，属于基础题，准确找出各图中的a，b，c的值是关键．

26、正方体有　6　个面，　8　个顶点，经过每个顶点有　3　条棱．这些棱的长度　相同　（填“相同”或“不同”）．棱长为acm的正方体的表面积为　6a2　cm2．考点：

欧拉公式；几何体的表面积。

分析：

根据正方体的概念和特性进行解答，并用正方体的面积公式计算面积．解答：

解：

正方体属于四棱柱，有4+2=6个面，42=8个面，经过每个顶点有3条棱．这些棱的长度相同．正方体的表面积由6个小正方形的面积组成，所以是6a2=6a2．故答案为6，8，3，相同，6a2．点评：

需熟练掌握正方体的构造特征．

27、一个多面体有12条棱，8个顶点，则这个多面体一定是　六面体　．考点：

欧拉公式。

专题：

推理填空题。

分析：

根据常见几何体的结构特征进行判断．解答：

解：

一个多面体有12条棱，8个顶点，为6面体，每个面都是四边形．故答案为六面体．点评：

本题考查的知识点是欧拉公式及几何体的特征，是一道简单的基础题．

28、一个四棱柱有　8　个顶点，有　12　条棱，有　6　个面，它的侧面　是长方　形．考点：

欧拉公式。

专题：

推理填空题。

分析：

棱柱：

有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，它的每个侧面都是平行四边形．四棱柱共有8个顶点，12条棱，6个面，它的侧面展开图是长方形．解答：

解：

根据四棱柱的特点得：

四棱柱共有8个顶点，12条棱，6个面，它的侧面展开图是长方形．故答案为：

8、

12、6、是长方．点评：

此题考查的知识点是欧拉公式，本题是一个基本的题目，考查对常见图形的认识，是需要识记的内容．

29、一个棱柱有l8条棱，那么它的底面是　六　边形．考点：

欧拉公式。

专题：

常规题型。

分析：

根据欧拉公式简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间的关系是V+F﹣E=2，然后把棱数18代入进行讨论即可求解．解答：

解：

根据欧拉公式有：

V+F﹣E=2，∵E=18，∴V+F=2+18=20，①当棱柱是四棱柱时，V=8，F=6，V+F=14，②当棱柱是五棱柱时，V=10，F=7，V+F=17，③当棱柱是六棱柱时，V=12，F=8，V+F=20，∴有l8条棱的棱柱是六棱柱，它的底面是六边形．故答案为：

六．点评：

本题考查了欧拉公式的应用，需要对棱柱的顶点数与面数的关系有全面的认识并熟记欧拉公式方可进行解答．

30、一个直五棱柱的侧面个数是　5　，顶点个数是　10　，棱的条数是　15　．考点：

欧拉公式。

专题：

计算题。

分析：

一个直五棱柱是由两个五边形的底面和5个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2进行填空即可．解答：

解：

一个直五棱柱由两个五边形的底面和5个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2可知，它有15条棱，有10个顶点，5个侧面．故答案为

5、

10、15．点评：

本题主要考查了欧拉公式的知识，注意掌握n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．

31、一个直五棱柱的侧面个数是　5　，顶点个数是　10　，棱的条数是　15　．考点：

欧拉公式。

专题：

计算题。

分析：

一个直五棱柱是由两个五边形的底面和5个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2进行填空即可．解答：

解：

一个直五棱柱由两个五边形的底面和5个长方形的侧面组成，根据其特征及欧拉公式V+F﹣E=2可知，它有15条棱，有10个顶点，5个侧面．故答案为

5、

10、15．点评：

本题主要考查了欧拉公式的知识，注意掌握n棱柱有2n个顶点，有（n+2）个面，有3n条棱．

32、一个六棱柱有　8　个面、　18　条棱和　12　个顶点．考点：

欧拉公式。

专题：

计算题。

分析：

根据棱柱的特性：

n棱柱有（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点即可得出答案．解答：

解：

六棱柱有8个面，18条棱，12个顶点．故答案为：

8，18，12．点评：

本题主要考查了欧拉公式的知识，注意掌握n棱柱的构造特点：

（n+2）个面，3n条棱，2n个顶点．

33、一个棱柱有18条棱，则它有　8　个面．考点：

欧拉公式。

专题：

几何图形问题。

分析：

根据棱柱的概念和定义，可知有18条棱的棱柱是六棱柱，据此解答．解答：

解：

一个棱柱有18条棱，这是一个六棱柱，它有8个面．故答案为：

8．点评：

本题考查六棱柱的构造特征．棱柱由上下两个底面及侧面组成，6棱柱上下底面共有12条棱，侧面有6条棱．

34、八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式．请你观察下列几种简单多面体模型：

根据上面多面体模型，你发现顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式是　v+f﹣e=2　．考点：

欧拉公式。

分析：

先根据四面体、长方体、正八面体，正二面体的顶点数、面数和棱数，总结出顶点数（v）、面数（f）、棱数（e）之间存在的关系式即可．解答：

解：

四面体的顶点数为

4、面数为4，棱数为6，则4+4﹣6=2；长方体的顶点数为

8、面数为6，棱数为12，则8+6﹣12=2；正八面体的顶点数为6，面数为8，棱数为12，则8+6﹣12=2；则关系式为：

v+f﹣e=2；故答案为v+f﹣e=2．点评：

本题考是一个找规律的题目，查了欧拉公式，由特殊到一般的思想在数学教学中常用到．

35、正多面体共有五种，它们是　用正三角形做面的正四面体　、　用正三角形做面的正八面体　、　用正三角形做面的正二面体　、　用正方形做面的正六面体　、　用正五边形做面的正二面体　，它们的面数f，棱数e、顶点数v满足关系式　f+v﹣e=2　．考点：

欧拉公式。

专题：

常规题型。

分析：

根据正多面体的面是正三角形，正方形，正五边形三种情况写出即可；再根据欧拉公式进行解答．解答：

解：

正多面体只能有五种，用正三角形做面的正四面体、正八面体，正二面体，用正方形做面的正六面体，用正五边形做面的正二面体．f+v﹣e=2．点评：

本题考查了正多面体的分类与欧拉公式，都是基础知识，需要熟练掌握．