《计数原理》单元测试题.docx
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《计数原理》单元测试题
《计数原理》单元测试题
《计数原理》单元测试题
一、选择题
1.5位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同报名方法共有()
A.10种B.20种C.25种D.32种
2.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有()
A.36种B.48种C.96种D.192种
3.记者要为5名志愿者和他们帮助的2位老人拍照,要求排成一排,2位老人相邻但不排在两端,不同的排法共有( )
A.1440种B.960种C.720种D.480种
4.某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有( )
A.
个B.
个C.
个D.
个
5.(x-
y)10的展开式中x6y4项的系数是()
A.840B.-840C.210D.-210
6.由数字0,1,2,3,4,5可以组成无重复数字且奇偶数字相间的六位数的个数有()
A.72 B.60 C.48 D.52
7.用0,1,2,3,4组成没有重复数字的全部五位数中,若按从小到大的顺序排列,则数字12340应是第( )个数.
A.6 B.9 C.10 D.8
8.AB和CD为平面内两条相交直线,AB上有m个点,CD上有n个点,且两直线上各有一个与交点重合,则以这m+n-1个点为顶点的三角形的个数是()
A.
B.
C.
D.
9.设
则
的值为()
A.0 B.-1 C.1 D.
10.某城市的街道如图,某人要从A地前往B地,则路程最短的走法有()
(第10题)
A.8种B.10种C.12种D.32种
11.从6个正方形拼成的12个顶点(如图)中任取3个顶点作为一组,其中可以构成三角形的
组数为()A.208B.204C.200D.196
12.从不同号码的五双靴中任取4只,其中恰好有一双的取法种数为()
(第11题)
A.120B.240C.360D.72
二、填空题
13.今有2个红球、3个黄球、4个白球,同色球不加以区分,将这9个球排成一列
有 种不同的方法(用数字作答).
14.用数字0,1,2,3,4组成没有重复数字的五位数,则其中数字1,2相邻的偶数有 个(用数字作答).
15.若(2x3+
)n的展开式中含有常数项,则最小的正整数n=.
16.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,则不同的选法共有_____种。
(用数字作答)
三、解答题
17.从4名男生,3名女生中选出三名代表
(1)不同的选法共有多少种?
(2)至少有一名女生的不同的选法共有多少种?
(3)代表中男、女生都要有的不同的选法共有多少种?
18.平面内有12个点,其中有4点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点可得到多少个不同的三角形?
19. 六人按下列要求站一横排,分别有多少种不同的站法?
(l)甲不站两端;
(2)甲、乙必须相邻;
(3)甲、乙不相邻;
(4)甲、乙之间间隔两人;
(5)甲、乙站在两端;
(6)甲不站左端,乙不站右端.
20.把1、2、3、4、5这五个数字组成无重复数字的五位数,并把它们按由小到大的顺序排列成一个数列.
(1)43251是这个数列的第几项?
(2)这个数列的第96项是多少?
(3)求所有五位数的各位上的数字之和
(4)求这个数列的各项和.
21.在
的展开式中,如果第4r项和第r+2项的二项式系数相等。
(1)求r的值;
(2)写出展开式中的第4r项和第r+2项。
22.求证:
能被25整除。
第一章计数原理单元测试题参考答
一、选择题:
(每题5分,共60分)
1、D 2、C 解析.甲、乙、丙3位同学选修课程,从4门课程中,甲选修2门,乙、丙各选修3门,则不同的选修方案共有
种,选C
3、B解析:
5名志愿者先排成一排,有
种方法,2位老人作一组插入其中,且两位老人有左右顺序,共有
=960种不同的排法,选B
4、A 解析:
某城市的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成,其中4个数字互不相同的牌照号码共有
个,选A
5、A6、B解析:
只考虑奇偶相间,则有
种不同的排法,其中0在首位的有
种不符合题意,所以共有
种.
7、C 解析:
比12340小的分三类:
第一类是千位比2小为0,有
个;第二类是千位为2,百位比3小为0,有
个;第三类是十位比4小为0,有1个.共有6+2+1=9个,所以12340是第10个数.
8、D 解析:
在一条线上取2个点时,另一个点一定在另一条直线上,且不能是交点.
9、C10、B11、C
12、A解析:
先取出一双有
种取法,再从剩下的4双鞋中取出2双,而后从每双中各取一只,有
种不同的取法,共有
种不同的取法.
二、填空题(每小题4分,共16分)
13、1260 解析:
由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有
14、24 解析:
可以分情况讨论:
①若末位数字为0,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,4,各为1个数字,共可以组成
个五位数;②若末位数字为2,则1与它相邻,其余3个数字排列,且0不是首位数字,则有
个五位数;③若末位数字为4,则1,2,为一组,且可以交换位置,3,0,各为1个数字,且0不是首位数字,则有
=8个五位数,所以全部合理的五位数共有24个
15、7 解析:
若(2x3+
)n的展开式中含有常数项,
为常数项,即
=0,当n=7,r=6时成立,最小的正整数n等于7.
16、36种解析.从班委会5名成员中选出3名,分别担任班级学习委员、文娱委员与体育委员,其中甲、乙二人不能担任文娱委员,先从其余3人中选出1人担任文娱委员,再从4人中选2人担任学习委员和体育委员,不同的选法共有
种
三、解答题
17.解:
(1)即从7名学生中选出三名代表,共有选法
种;
(2)至少有一名女生的不同选法共有
种;
(3)男、女生都要有的不同的选法共有
种。
18.解:
把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准。
第一类:
共线的4点中有两点为三角形的顶点,共有:
(个);
第二类:
共线的4点中有一点为三角形的顶点,共有
(个);
第三类:
共线的4点中没有点作为三角形的顶点,共有:
(个)。
由分类计数原理知,共有三角形:
(个)。
答:
可得到216个不同的三角形。
19.解析:
(l)方法一:
要使甲不站在两端,可先让甲在中间4个位置上任选1个,有
种站法,然后其余5人在另外5个位置上作全排列有
种站法,根据分步乘法计数原理共有站法
480(种)
方法二:
由于甲不站两端,这两个位置只能从其余5个人中选2个人站,有
种站法,然后中间4人有
种站法,根据分步乘法计数原理,共有站法
480(种)
方法三:
若对甲没有限制条件共有
种站法,甲在两端共有
种站法,从总数中减去这两种情况的排列数,即得所求的站法数,共有
480(种)
(2)方法一:
先把甲、乙作为一个“整体”,看作一个人,有
种站法,再把甲、乙进行全排列,有
种站法,根据分步乘法计数原理,共有
240(种)站法.
方法二:
先把甲、乙以外的4个人作全排列,有
种站法,再在5个空档中选出一个供甲、乙放入,有
种方法,最后让甲、乙全排列,有
种方法,共有
240(种)
(3)因为甲、乙不相邻,中间有隔档,可用“插空法”,第一步先让甲、乙以外的4个人站队,有
种;第二步再将甲、乙排在4人形成的5个空档(含两端)中,有
种,故共有站法为
=480(种).
也可用“间接法”,6个人全排列有
种站法,由
(2)知甲、乙相邻有
240种站法,所以不相邻的站法有
-
720-240=480(种).
(4)方法一:
先将甲、乙以外的4个人作全排列,有
种,然后将甲、乙按条件插入站队,有
种,故共有
种站法.
方法二:
先从甲、乙以外的4个人中任选2人排在甲、乙之间的两个位置上,有
种,然后把甲、乙及中间2人看作一个“大”元素与余下2人作全排列有
种方法,最后对甲、乙进行排列,有
种方法,故共有
144种站法.
(5)方法一:
首先考虑特殊元素,甲、乙先站两端,有
种,再让其他4人在中间位置作全排列,有
种,根据分步乘法计数原理,共有
种站法.
方法二:
首先考虑两个特殊位置,甲、乙去站有
种站法,然后考虑中间4个位置,由剩下的4人去站,有
种站法,由分步乘法计数原理共有
种站法.
(6)方法一:
甲在左端的站法有
种,乙在右端的站法有
种,且甲在左端而乙在右端的站法有
种,共有
种站法.
方法二:
以元素甲分类可分为两类:
①甲站右端有
种,②甲在中间4个位置之一,而乙不在右端有
种,故共有
=504种站法.
20.解:
⑴先考虑大于43251的数,分为以下三类
第一类:
以5打头的有:
=24
第二类:
以45打头的有:
=6
第三类:
以435打头的有:
=2
故不大于43251的五位数有:
(个)
即43251是第88项.
⑵数列共有A=120项,96项以后还有120-96=24项,
即比96项所表示的五位数大的五位数有24个,
所以小于以5打头的五位数中最大的一个就是该数列的第96项.即为45321.
(3)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有
个五位数,所以万位上各个数字的和为:
(1+2+3+4+5)·
同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有个
五位数,所有五位数的各位上的数字之和5·(1+2+3+4+5)·
=1800
(4)因为1,2,3,4,5各在万位上时都有
个五位数,所以万位上数字的和为:
(1+2+3+4+5)·
·10000
同理它们在千位、百位、十位、个位上也都有
个五位数,所以这个数列各项和为:
(1+2+3+4+5)·
·(1+10+100+1000+10000)
21.解:
(1)展开式第4r项的二项式系数为
,第r+2项的二项式系数为
,根据二项式系数的性质,当且仅当
或
时它们的二项式系数相等,解得
(舍),
。
(2)当r=4时第4r项是;
第r+2项是
。
22.证明:
因为
显然
能被25整除,25n能被25整除,
所以
能被25整除