完整版七年级数学培优提高讲义相交线与平行线一.docx
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完整版七年级数学培优提高讲义相交线与平行线一
七年级数学:
相交线与平行线
一、知识要点:
1.平面上两条不重合的直线,位置关系只有两种:
相交和平行。
2.两条不同的直线,若它们只有一个公共点,就说它们相交。
即,两条直线相交有且只有一个交点。
3.垂直是相交的特殊情况。
有关两直线垂直,有两个重要的结论:
(1)过一点有且只有一条直线与已知直线垂直;
(2)直线外一点与直线上所有点的连线中,垂线段最短。
4.两条直线被第三条直线所截,构成八个角,在那些没有公共顶点的角中,⑴如果两个角分别在两条直线的同一方,并且都在第三条直线的同侧,具有这种关系的一对角叫做___________;⑵如果两个角都在两直线之间,并且分别在第三条直线的两侧,具有这种关系的一对角叫做____________;⑶如果两个角都在两直线之间,但它们在第三条直线的同一旁,具有这种关系的一对角叫做_______________.
5.平行公理:
经过直线外一点,有且只有一条直线与这条直线______.
推论:
如果两条直线都与第三条直线平行,那么_____________________.
6.平行线的判定:
⑴两条直线被第三条直线所截,如果同位角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
_______________________.⑵两条直线被第三条直线所截,如果内错角相等,那么这两条直线平行.简单说成:
___________________________.⑶两条直线被第三条直线所截,如果同旁内角互补,那么这两条直线平行.简单说成:
_______________________.
7.在同一平面内,如果两条直线都垂直于同一条直线,那么这两条直线_______.
8.平行线的性质:
⑴两条平行直线被第三条直线所截,同位角相等.简单说成:
__________.⑵两条平行直线被第三条直线所截,内错角相等.简单说成:
__________
.⑶两条平行直线被第三条直线所截,同旁内角互补.简单说成:
__________________。
.
方法指导:
平行线中要理解平行公理,能熟练地找出“三线八角”图形中的同位角、内错角、同旁内角,并会运用与“三线八角”有关的平行线的判定定理和性质定理,利用平行公理及其推论证明或求解。
二、例题精讲
例1.如图
(1),直线a与b平行,∠1=(3x+70)°,∠2=(5x+22)°,
求∠3的度数。
图
(1)
例2.已知:
如图
(2),AB∥EF∥CD,EG平分∠BEF,∠B+∠BED+∠D=192°,
∠B-∠D=24°,求∠GEF的度数。
图
(2)
图
(2)
例3.如图(3),已知AB∥CD,且∠B=40°,∠D=70°,求∠DEB的度数。
图(3)
。
例4.已知锐角三角形ABC的三边长为a,b,c,而ha,hb,hc分别为对应边上的高线长,
求证:
ha+hb+hc<a+b+c
图(4)
例5.如图(4),直线AB与CD相交于O,EF^AB于F,GH^CD于H,
求证EF与GH必相交。
图(5)
例6.平面上n条直线两两相交且无3条或3条以上直线共点,有多少个不同交点?
例7.6个不同的点,其中只有3点在同一条直线上,2点确定一条直线,问能确定多少条直线?
例8.10条直线两两相交,最多将平面分成多少块不同的区域?
图(6)
例9.平面上n条直线两两相交,求证所成得的角中至少有一个角不大于
图(7)
例10.(a)请你在平面上画出6条直线(没有三条共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,并简单说明画法。
(b)能否在平面上画出7条直线(任意3条都不共点),使得它们中的每条直线都恰与另3条直线相交,如果能请画出一例,如果不能请简述理由。
图(8)
\
三、巩固练习
1.平面上有5个点,其中仅有3点在同一直线上,过每2点作一条直线,一共可以作直线( )条
A.6 B.7 C.8 D.9
2.平面上三条直线相互间的交点个数是 ( )
A.3 B.1或3 C.1或2或3 D.不一定是1,2,3
3.平面上6条直线两两相交,其中仅有3条直线过一点,则截得不重叠线段共有( )
A.36条 B.33条 C.24条 D.21条
4.已知平面中有
个点
三个点在一条直线上,
四个点也在一条直线上,除些之外,再没有三点共线或四点共线,以这
个点作一条直线,那么一共可以画出38条不同的直线,这时
等于()
(A)9(B)10(C)11(D)12
5.若平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交成如图示的图形,则共得同旁内角( )
A.4对 B.8对 C.12对 D.16对
6.如图,已知FD∥BE,则∠1+∠2-∠3=()
A.90° B.135° C.150° D.180°
第7题
7.如图,已知AB∥CD,∠1=∠2,则∠E与∠F的大小关系;
8.平面上有5个点,每两点都连一条直线,问除了原有的5点之外这些直线最多还
有交点
9.平面上3条直线最多可分平面为个部分。
10.如图,已知AB∥CD∥EF,PS^GH于P,∠FRG=110°,则∠PSQ=。
11.已知A、B是直线L外的两点,则线段AB的垂直平分线与直线的交点个数是。
12.平面内有4条直线,无论其关系如何,它们的交点个数不会超过个。
13.已知:
如图,DE∥CB,求证:
∠AED=∠A+∠B
14.已知:
如图,AB∥CD,求证:
∠B+∠D+∠F=∠E+∠G
第13题第14题
15.如图,已知CB^AB,CE平分∠BCD,DE平分∠CDA,
∠EDC+∠ECD=90°,
求证:
DA^AB
16.平面上两个圆三条直线,最多有多少不同的交点?
17.平面上5个圆两两相交,最多有多少个不同的交点?
最多将平面分成多少块区域?
18.一直线上5点与直线外3点,每两点确定一条直线,最多确定多少条不同直线?
19.平面上有8条直线两两相交,试证明在所有的交角中至少有一个角小于23°。
20.平面上有10条直线,无任何三条交于一点,欲使它们出现31个交点,怎样安排才能办到?
画出图形。
答案
1.5个点中任取2点,可以作4+3+2+1=10条直线,在一直线上的3个点中任取2点,可作2+1=3条,共可作10-3+1=8(条)故选C
2.平面上3条直线可能平行或重合。
故选D
3.对于3条共点的直线,每条直线上有4个交点,截得3条不重叠的线段,3条直线共有9条不重叠的线段
对于3条不共点的直线,每条直线上有5个交点,截得4条不重叠的线段,3条直线共有12条不重叠的线段。
故共有21条不重叠的线段。
故选D
4.由
个点中每次选取两个点连直线,可以画出
条直线,若
三点不在一条直线上,可以画出3条直线,若
四点不在一条直线上,可以画出6条直线,
∴
整理得
∵n+9>0∴
∴选B。
5.直线EF、GH分别“截”平行直线AB、CD,各得2对同旁内角,共4对;直线AB、CD分别“截”相交直线EF、GH,各得6对同旁内角,共12对。
因此图中共有同旁内角4+6=16对
6.∵FD∥BE
∴∠2=∠AGF
∵∠AGC=∠1-∠3
∴∠1+∠2-∠3=∠AGC+∠AGF=180°∴选B7.解:
∵AB∥CD (已知)
∴∠BAD=∠CDA(两直线平行,内错角相等)
∵∠1=∠2 (已知)
∴∠BAD+∠1=∠CDA+∠2(等式性质)
即∠EAD=∠FDA
∴AE∥FD
∴∠E=∠F
8.解:
每两点可确定一条直线,这5点最多可组成10条直线,又每两条直线只有一个交点,所以共有交点个数为9+8+7+6+5+4+3+2+1=45(个)
又因平面上这5个点与其余4个点均有4条连线,这四条直线共有3+2+1=6个交点与平面上这一点重合应去掉,共应去掉5×6=30个交点,所以有交点的个数应为45-30=15个
9.可分7个部分10.解∵AB∥CD∥EF
∴∠APQ=∠DQG=∠FRG=110°
同理∠PSQ=∠APS
∴∠PSQ=∠APQ-∠SPQ=∠DQG-∠SPQ
=110°-90°=20°
11.0个、1个或无数个
1)若线段AB的垂直平分线就是L,则公共点的个数应是无数个;
2)若ABL,但L不是AB的垂直平分线,则此时AB的垂直平分线与L是平行的关系,所以它们没有公共点,即公共点个数为0个;
3)若AB与L不垂直,那么AB的垂直平分线与直线L一定相交,所以此时公共点的个数为1个
12.4条直线两两相交最多有1+2+3=6个交点
13.证明:
过E作EF∥BA
∴∠2=∠A(两直线平行,内错角相等)DE∥CB,
EF∥BA
∴∠1=∠B(两个角的两边分别平行,这两个角相等)
∴∠1+∠2=∠B+∠A(等式性质)
即∠AED=∠A+∠B
14.证明:
分别过点E、F、G作AB的平行线EH、PF、GQ,
则AB∥EH∥PF∥GQ(平行公理)
∵ AB∥EH
∴ ∠ABE=∠BEH(两直线平行,内错角相等)
同理:
∠HEF=∠EFP
∠PFG=∠FGQ
∠QGD=∠GDC
∴ ∠ABE+∠EFP+∠PFG+∠GDC=∠BEH+∠HEF+
∠FGQ+∠QGD(等式性质)
即 ∠B+∠D+∠EFG=∠BEF+∠GFD
15.证明:
∵DE平分∠CDA CE平分∠BCD∴∠EDC=∠ADE∠ECD=∠BCE (角平分线定义)
∴∠CDA+∠BCD=∠EDC+∠ADE+∠ECD+∠BCE
=2(∠EDC+∠ECD)=180°
∴ DA∥CB
又∵ CBAB
∴ DAAB
16.两个圆最多有两个交点,每条直线与两个圆最多有4个交点,三条直线最多有3个不同的交点,即最多交点个数为:
2+4×3+3=17
17.
(1)2个圆相交有交点2×1=1个,
第3个圆与前两个圆相交最多增加2×2=4个交点,这时共有交点2+2×2=6个
第4个圆与前3个圆相交最多增加2×3=6个交点,这时共有交点2+2×2+2×3=12个
第5个圆与前4个圆相交最多增加2×4=8个交点
∴ 5个圆两两相交最多交点个数为:
2+2×2+2×3+2×4=20
(2)2个圆相交将平面分成2个区域
3个圆相看作第3个圆与前2个圆相交,最多有2×2=4个不同的交点,这4个点将第3个圆分成4段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加2×2=4块区域,这时平面共有区域:
2+2×2=6块
4个圆相看作第4个圆与前3个圆相交,最多有2×3=6个不同的交点,这6个点将第4个圆分成6段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加2×3=6块区域,这时平面共有区域:
2+2×2+2×3=12块
5个圆相看作第5个圆与前4个圆相交,最多有2×4=8个不同的交点,这8个点将第5个圆分成8段弧,每一段弧将它所在的区域一分为二,故增加2×4=8块区域,这时平面最多共有区域:
2+2×2+2×3+2×4=20块
18.∵直线上每一点与直线外3点最多确定3×5=15条直线;直线外3点间最多能确定3
条直线,
∴最多能确定15+3+1=19条直线
19.将这8条直线平移到共点后,构成8对互不重叠的对顶角,这8个角的和为180°
假设这8个角没有一个小于23°,则这8个角的和至少为:
23°×8=184°,这是不可能的.因此这8个角中至少有一个小于23°,
∴在所有的交角中至少有一个角小于23°
20.平面上有10条直线,若两两相交,最多可出现45个交点,题目要求只出现31个交点,就要减少14个交点,则必须出现平行线,若某一方向上有5条直线互相平行,则可减少10个交点;若有6条直线互相平行,则可减少15个交点;故在这个方向上最多可取5条平行线,这时还有4个交点需要减去,转一个方向取3条平行线,即可减少3个交点,这时还剩下2条直线和一个需要减去的点,只须让这2条直线在第三个方向上互相平行即可。
如图这三组平行线即为所求。