中考数学二轮核心考点讲解第07讲角的存在性原卷板.docx

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中考数学二轮核心考点讲解第07讲角的存在性原卷板

【中考数学二轮核心考点讲解】

第07讲角的存在性

一、相似三角形的性质

1.两个三角形相似，对应角相等；

2.两个三角形相似，对应边成比例；

2.两个三角形相似，对应线之比（高线、角平分线、中线）等于相似比；

3.两个三角形相似，周长比等于相似比；

4.两个三角形相似，面积比等于相似比的平方.

二、一线三等角

1.如图1，若∠ACB=∠D=∠E=90°，若AC=BC，即△ACB为等腰直角三角形，则有△ACD≌△CBE；

2.如图2，若∠ACB=∠D=∠E=90°，此为一线三直角，也称“K字型”，则有△ACD∽△CBE；

3.如图3，若∠ACB=∠D=∠E，此为一般的一线三等角，则有△ACD∽△CBE.

图1图2图3

一、构造一线三等角

1.当出现特殊角度45°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图4有△ACD∽△CBE；

图4

2.当出现特殊角度30°时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图5有△ACD∽△CBE；

图5

3.当出现

时，联想到直角三角形，联想到一线三垂直，如图6有△ACD∽△CBE；

二、构造子母型相似

三、整体旋转法

如图，已知点

，将点A绕原点O顺时针旋转45°角，求其对应点A`的坐标.

解题：

【例题1】如图，在平面直角坐标系中，经过点A的双曲线y＝

（x＞0）同时经过点B，且点A在点B的左侧，点A的横坐标为

，∠AOB＝∠OBA＝45°，则k的值为　　．

【例题2】（2018•武汉模拟）如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，E为边AB上一点，AE＝2，P、Q分别为边AD、BC上的两点，且∠PEQ＝45°，若△EPQ为等腰三角形，则AP的长为　　．

【例题3】如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y＝﹣x+m分别交x轴，y轴于A，B两点，已知点C（2,0）．

（1）当直线AB经过点C时，点O到直线AB的距离是　　；

（2）设点P为线段OB的中点，连结PA，PC，若∠CPA＝∠ABO，则m的值是　　．

【例题4】如图，已知点A（2，3）和点B（0，2），点A在反比例函数y＝

的图象上，作射线AB，再将射线AB绕点A按逆时针方向旋转45°，交反比例函数图象于点C，则点C的坐标为　　．

【例题5】如图1，平面直角坐标系中，直线y＝

x+1与抛物线y＝﹣x2+bx+c交于A，B两点，点A在y轴上，点B的横坐标为

，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（不与点A，B重合），作PC⊥AB于点C．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点P的横坐标为m．①用含m的代数式表示PC的长；②求PC长的最大值；

（3）如图2，连接PA，若∠PAB＝45°，求点P的坐标．

1．如图，已知反比例函数y＝

（x＞0）的图象经过点A（3，4），在该图象上面找一点P，使∠POA＝45°，则点P的坐标为　　．

2．如图，在平面直角坐标系中，OA＝AB，∠OAB＝90°，反比例函数y＝

（x＞0）的图象经过A，B两点．若点A的坐标为（n，1），则k的值为　　．

3．

（1）如图1，已知△ABC，以AB，AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连结BE，CD，请你完成图形（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并证明：

BE＝CD；

（2）如图2，利用

（1）中的方法解决如下问题：

在四边形ABCD中，AD＝3，CD＝2，∠ABC＝∠ACB＝∠ADC＝45°，求BD的长．

（3）如图3，四边形ABCD中，∠CAB＝90°，∠ADC＝∠ACB＝α，tanα＝

，CD＝5，AD＝12，求BD的长．

4．（2019•成都一模）如图，反比例函数

的图象过格点（网格线的交点）A．

（1）求反比例函数的解析式；

（2）若点P是该双曲线第一象限上的一点，且∠AOP＝45°，填空：

①直线OP的解析式为　　；

②点P的坐标为　　．

5．如图，已知抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（0，3），C（3，0）；过A作AB∥x轴交抛物线于点B，连接AC、BC，点P为抛物线上动点．

（1）求抛物线解析式；

（2）当∠PAB＝∠BCA时，求点P的坐标；

（3）当点P在抛物线上BC两点之间移动时，点Q为x轴上一动点，连接AP、AQ，使得tan∠PAQ＝2，且AP交BC于点G，过G作GH⊥AQ交AQ于点H，设点H的坐标为（m，n），求n关于m的函数关系式．

6．（2018•成都模拟）如图1，平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣4ax+c与直线y＝kx+1（k≠0）交于y轴上一点A和第一象限内一点B，该抛物线顶点H的纵坐标为5．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连接AH、BH，抛物线的对称轴与直线y＝kx+1（k≠0）交于点K，若S△AHB＝

，求k的值；

（3）在

（2）的条件下，点P是直线AB上方的抛物线上的一动点（如图2），连接PA．当∠PAB＝45°时，

ⅰ）求点P的坐标；

ⅱ）已知点M在抛物线上，点N在x轴上，当四边形PBMN为平行四边形时，请求出点M的坐标．

7．如图，在平面直角坐标系xOy中，顶点为M的抛物线是由抛物线y＝x2﹣3向右平移一个单位后得到的，它与y轴负半轴交于点A，点B在该抛物线上，且横坐标为3．

（1）求点M、A、B坐标；

（2）连接AB、AM、BM，求∠ABM的正切值；

（3）点P是顶点为M的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO与x正半轴的夹角为α，当α＝∠ABM时，求P点坐标．

8．（2018•宿迁三模）如图，二次函数y＝﹣x2+2x+3的图象与x轴交于点A、B，与y轴交于点C．

（1）求顶点D的坐标；

（2）若点P（0，t）（t＜﹣1）是y轴上的点，将点Q（﹣5，0）绕着点P按顺时针方向旋转90度得到点E，当点E恰好落在该二次函数的图象上时，求t的值；

（3）在

（2）的条件下，连接AD、AE，若M是该二次函数图象上的一点，且∠DAE＝∠MCB，求点M的坐标．

9．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣4a经过A（﹣1，0）、C（0，4）两点，与x轴交于另一点B．

（1）求抛物线的解析式；

（2）已知点D（m，m+1）在第一象限的抛物线上，求点D关于直线BC对称的点的坐标；

（3）在

（2）的条件下，连接BD，点P为抛物线上一点，且∠DBP＝45°，求点P的坐标．

10．（2020•青浦区一模）如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，对称轴为直线x＝2，点A的坐标为（1，0）．

（1）求该抛物线的表达式及顶点坐标；

（2）点P为抛物线上一点（不与点A重合），联结PC．当∠PCB＝∠ACB时，求点P的坐标；

（3）在

（2）的条件下，将抛物线沿平行于y轴的方向向下平移，平移后的抛物线的顶点为点D，点P的对应点为点Q，当OD⊥DQ时，求抛物线平移的距离．

11．如图，抛物线y＝

x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其对称轴交抛物线于点D，交x轴于点E，已知OB＝OC＝6．

（1）求抛物线的解析式及点D的坐标；

（2）连接BD，F为抛物线上一动点，当∠FAB＝∠EDB时，求点F的坐标；

（3）平行于x轴的直线交抛物线于M、N两点，以线段MN为对角线作菱形MPNQ，当点P在x轴上，且PQ＝

MN时，求菱形对角线MN的长．

12．如图1，抛物线y＝ax2+bx+3与x轴交于点A（﹣1，0）、B（3，0），与y轴交于点C，点D为抛物线的顶点．

（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；

（2）如图2，连接BD，F为x轴上一点，连接CF交BD于点E，当BE＝CE时，求点F的坐标；

（3）如图3，连接AC、BC，在

（1）中的抛物线上是否存在点G，使得∠BCG＝∠ACO？

若存在，直接写出点G的坐标；若不存在，请说明理由．