依据盈亏转机点θb的概念，有下式成立：
Qi1=Qi2；m1θb+b1=m2θb+b2
所以
。
另一方面，形状θj的均值记为
，并有
行为j（j=1,2）的希冀收益额
要判别两行为的优劣，必需比拟它们的希冀收益值的大小。
由于
加加上一末尾假定的条件m1>m2
所以有以下结论：
当
；
当
；
当
两行为希冀收益额相等〔二者之差值为零〕，故它们等价，无优劣之分。
费用型决策依此类推，结论正好同收益型决策效果相反：
设行为j（j=1,2）在形状θi发作时的费用支付函数Vij=mjθi+bj（i=1,2,…,m;j=1,2），且设θi>0，θb>0存在和m1>m2等其它条件方便，那么事先
，有
当
当
行为1.和2.同等优劣。
3.3后验剖析法
假设取得了一些新的有关形状概率的情报，例如从市场信息中心购置某商品的下一年需求量信息，由专家调查、抽样检验等途径失掉形状〔如次品率〕的样本概率等，并用它来修正原来的形状概率〔即修正先验概率〕，就失掉后验概率。
用后验概率停止贝叶斯决策，这就是后验剖析法。
修正概率进程中需求消耗人力、物力和财力。
为了思索这些要素，后验剖析法添加了〝抽样情报希冀金额〞（EVSI）和〝抽样状况净收益〞（ENGS）两个目的。
3.4决策树法
为了使决策方法笼统化，把计算进程画成树形结构，称之为决策树。
它由节点和分支组成，它可适用于任何一种决策方法笼统化。
其中节点分条件节点、决策节点和形状节点。
区分用菱形、正方形和圆形标志。
条件节点表示需求的条件费用〔其值等于菱形外部的数字〕。
决策节点生成各举动方案，并将最优方案的希冀金额〔收益或费用值〕记入其外部。
形状节点生成各形状，其内数字表示某一方案希冀金额〔收益或费用值〕。
决策节点和形状节点区分引出决策分支和形状分支，旁边的数字区分表示决策方案和形状概率。
四、实例剖析
4.1层次剖析法在团体理财方面的运用
4.1.1效果的提出
假定某集体缺乏款2万元，现理财方式有储蓄和投资两小气向，投资又分为购置股票、债券和开放式基金，区分用xi（i=1,2,3,4）表示。
关于理财来说最终目的是支出添加而风险最小。
而影响收益的要素有利率，运营者素质及企业收益才干，影响风险的主要要素主要有政治、政策风险、通货收缩以及其它风险。
P（yi）是每种要素发作的概率，并设它们相互独立。
决策的结果是在未来一年后余款的改动，试选择一种最正确理财方案并证明你的有关结论。
4.1.2效果剖析及建模
每个决策者对收益和风险大小有不同的思索，关于求稳的决策者来说，其首先思索的是风险大小带来的损失效果，然后才思索收益的效果，普通来说，高风险经常伴着高收益。
有的决策者追求高收益是其思索的首要目的，关于风险却存在冒险心思，鉴于此，在投资2万元状况下，出现五种能够：
al：
表示能够形成2千元的损失
a2：
表示能够0.5千元的损失
a3：
表示收益甚微，可视为无收益也无损失
a4：
表示能够收益0.5千元
a5：
表示可收益2千元
其中关于利率带来的两种影响：
收益或损失。
来年的利率变化的概率为0.1，不变为0.9，当利率改动时形成收益的概率为0.4，形成损失的概率为0.6。
如下示：
综上思索：
利率变化不形成收益损失的概率为0.9+0.4*0.1=0.94；利率变化形成损失的收益概率为0.1*0.6=0.06
同理，政治及政策形成的两种影响的概率区分为：
不形成收益损失概率为：
0.8+0.2*0.5=0.9；形成收益损失概率为：
0.2*0.5=0.1
其它风险形成的两种影响的概率区分为：
不形成收益损失的概率为：
0.6；形成收益损失的概率为：
0.4
将各种要素对投资收益和损失列表〔表1〕如下：
单位：
万元
利率
政治政策
通货收缩
其他收益风险
p（y1）
0.94
p（y11）
0.06
p（y2）
0.9
p（y22）
0.1
p（y3）
0.3
p（y32）
0.7
p（y4）
0.6
p（y42）
0.4
储蓄
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0
0
股票
-0.05
0.05
0.2
-0.2
-0.05
0
0.2
-0.05
债券
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0.05
-0.05
基金
0.05
-0.05
0.05
-0.05
-0.05
0
0.05
-0.05
4.1.3树立层次结构
关于yl，y2，y3，y4，为方便讨论，我们采用T.LSaty等人提出的一种有效地处置这类效果的适用方法，即层次剖析法
层次剖析如下：
目的层A
合理分配资金
准那么层B
利率Bl
政治政策B2
通货收缩B3
其它收益风险B4
措施层C
储蓄C1
股票C2
债券C3
开放式基金C4
4.1.4构成判别矩阵
依据Saty等人提出的1-9作为尺度的方法经过两两比拟失掉正互反阵为：
表2判别矩阵标度说明
1
Ai与Aj同等重要
3
Ai与Aj稍微重要
5
Ai与Aj十分重要
7
Ai与Aj剧烈重要
9
Ai与Aj极端重要
倒数
Aij=1/Aji
2、4、6、8
重要性介于上述数之间
4.1.5计算矩阵的特征向量和最大特征值
应用软件Matlab计算出w0特征向量：
w0=（0.8744，0.2670，0.0613，0.1179，0.3870），最大特征λ=5.4350。
4.1.6分歧性检验
为保证失掉的权重的合理性，通常要对每一个判别矩阵停止一次分歧性检验，以观察其能否具有满意的分歧性（CR<0.1）。
否那么，应修正判别矩阵，直到满足分歧性要求为止。
对矩阵w0中求出的最大特征值检验其
值〔分歧性目的比率〕
值〔分歧性比率〕以及RI〔随机分歧性目的〕
表3RI系数表
阶数
3
4
5
6
7
8
9
RI
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
此时CR=0.091<0.1，所以矩阵w0是分歧性的正互反阵。
现思索较低层次对较高层次的影响，a1-b表示利率、政治政策、通货收缩、其他收益风险对能够形成2千元的损失这一要素构成的正互反阵。
用异样方法结构矩阵，求出特征值和特征向量并停止分歧性检验。
4.1.7分解权重的计算
对表1加权处置，计算平均收益战争均损失：
收益：
pi=∑p（y）.dij；损失：
qi=∑p（y）.dij，
依据风险尽能够小而收益尽能够大的投资的投资原那么就有如下的两目的函数：
投资模型：
模型求解经过计算，正互反阵为w0对应的权向量的模型是
max:
Z=0.0919·xl-0.0233·x2+0.0178·x3+0.3347·x4
4.1.8实例剖析
我们可以依据各自不同的投资理念，合理取储蓄、股票、债券、基金相互之比的比重，应用上述层次剖析法就可以失掉相应的投资决策。
例如：
当取权重为W=（τ1,τ2,τ3,τ4,τ5）=w0·w1·w2=（1.9956,1.1237,0.4939,0.4488）时，应用软件Lindo计算得xl=0，x2=0，x3=0，x4=1，这一结果与保守型人们心思分歧。
4.2决策树在风险决策中的运用。
4.2.1效果的提出
某修建企业关于扩展消费的方案有两个，一个为建大厂，投资600万元，另一个为建小厂，投资为280万元，运用期限均为10年。
在时间上分为前3年和后7年，假定前3年需求高其概率为0.7，那么后7年需求高概率为0.9；假定前3年需求量低，那么后7年需求量一定低。
对建小厂假定前3年需求量高，那么扩建，需再投资400万元，运用7年，损益值与建大厂金时间价值的概念相反。
损益值如表4：
表4损益值列表（万元/年）
自然形状
概率
大厂
小厂
需求量高
0.7
200
80
需求量低
0.3
-40
60
决策树如下：
4.2.2决策树运用中资金时间价值的引入
在任何一个工程项目的实施方案中，其消耗的人力、物力和自然资源，最终都是以价值形状，即资金的方式表现出来的。
而资金是休息手腕、休息对象和休息报酬的价值表现。
资金的运动反映了物化休息和活休息的运动进程，也是资金随时间的运动进程。
任何一个惯例性的实施方案，通常是先发作一系列的投资，然后再发作一系列的运营费用和销售支出。
因此对工程项目停止决策性的经济剖析时，就必需着眼于工程的整个寿命周期的资金支出和支出的状况。
在决策时，不能把工程或方案的寿命期内的支出和支出状况停止复杂的加、减。
其主要缘由在于资金收支的经济效应不只与资金量的大小有关，且与资金发作的时间有亲密的关系。
如今用来投资的资金假定不思索通货收缩要素，比在未来同等数量的资金更有价值，这是由于以后可用来投资的资金可以立刻便用发明收益，而未来可取得的资金，那么不能够在明天投资。
由此可知，异样一笔资金在不同时期具有不同的时间价值，如今的一笔资金在投资进程中发生增值。
资金的价值随时间变化，是时间的函数，随时间的推移而增值，其增值的这局部资金就是资金的时间价值。
资金时间价值是客观存在的。
在停止工程项目决策时，企业运营的一项基本原那么就是，充沛应用资金时间价值并极大限制的取得其时间价值。
也就是减速资金周转早期回收资金并不时停止高利润的投资活动，任何积压或闲置资金，就损失了资金的时间价值。
由于资金时间价值的存在，使不同时间上发作的现金流量不具有可比性，需经过换算，在同一时间上停止对比，才契合客观实践。
这就思索了资金的时间价值，使决策愈加牢靠。
通常，利息是资金时间价值的一种表现方式，常以利息额的多少作为权衡资金时间价值的相对尺度，用利率〔或收益率〕作为资金时间价值的相对尺度。
由于资金时间价值的存在，使工程项目的实施在时间上有一个延续进程，因此在实践任务中要留意如下效果：
（1）投资时间上的差异；
（2）投产时间上的差异；（3）工程项目或方案的寿命；（4）在项目运营的进程中各年运营费用所发生的差异。
4.2.3实例中决策树运用存在的局限性
局限性一：
决策树在不思索资金时间价值时，适用于短期，不能用于临时的决策。
其主要缘由在于时间短，资金运作受时间要素的影响较小，资金时间价值所表达出的作用不清楚。
同时在工程或方案的执行进程中，不确定要素增加，项目所面临的风险就要小得多。
关于这种状况，在工程招招标中用得很多，就是由于招招标继续时间短，且发作的费用不大，决策树的作用能充沛发扬出来。
局限性二：
决策树在工程项目或方案跨时间较长的状况下仍在运用，其计算方式通常为复杂的加和，求希冀值。
如决策树中。
点④:
0.9*200*7+0.11*（-40）*7=1232（万元）
点⑤:
1.0*（-40）*7=-280（万元）
点②:
1232*0.7+200*3*0.7+0.3*（-40）*3+0.3*（-280）-600=562.4（万元）
点⑧:
0.9*200*7+0.l*（-40）*7-400=832（万元）
点⑨:
0.9*80*7+0.1*60*7=546（万元）
点③:
0.7*80*3+832*0.7+0.3*60*3+0.3*1.0*60*7-280=650.4（万元）
经过点②与点③的比拟，那么选择建小厂，需求量高那么3年后扩建。
这种方法在计算各节点的希冀值时，直接思索其发生的收益值和，即复杂的把各年收益值相加减。
由前述资金的时间价值可知，第三年的希冀收益值比第四年的希冀收益值要值钱得多，而常用的计算方法把各年收益复杂加和，仅思索了方案的静态状况，没有思索资金随时间而在发作变化。
局限性三：
局限二的计算没有思索到在以后各年不确定要素所发生的影响，如通货收缩招致投资增大，政策变化使税收加大而增加当年的收益等，这系列要素假定发作单个或多个同时变化，就会影响到决策所计算出的希冀值。
换句话说，在项目时间周期较长时，复杂加和理想的设计后各年收支相等，不会发作变化。
通常，项目从筹建到运转，任何要素都会发作变化。
目前运用的计算方法也疏忽了风险要素的影响。
4.2.4时间价值的引入
在前例中，各节点的计算只是复杂相加。
如今假定银行的利率为i，在第1年，第2年…第7年所得的收益值不再停止投资，而是存入银行，那么各年的收益将会发生6,5,…,1年的利息。
从项目决策点来看，该收益那么含了1,2,3…7年的利息，比如：
第四年、第七年的希冀收益值均为136*（200*0.9+0.l*（-40）+（-40）*1.0），而第四年的136万元的希冀收益值中含了4年的利息，第7年的希冀收益136万元中含了7年的利息，方式上二者是相等的，实质上不等，这就是资金时间价值的影响。
复杂的加和，没有思索收益值所发生的利息状况，且假定在以后各年的不确定要素是相反的。
如今，应用资金时间价值的因历来计算各节点的希冀收益值，假定希冀收益率为10%
点④:
0.9*200*（P/A,10%,7）+0.l*（-40）*（P/A,10%,7）=856.84万元
点⑤:
（-40）*1.0*（P/A,10%,7）=-194.74万元
点②:
856.84*（P/A,10%,3）*0.7-194.74*（P/A,10%,3）*0.3+200*0.17*（P/A,10%,3）+（-40*0.3*
（P/A,10%,3）-600=126.06万元
点⑧:
0.9*200*（P/A,10%,7）+0.l*（-40）*（P/A,10%,7）-400=456.84万元
点⑨:
0.9*80*（P/A,10%,7）+0.1*60*（P/A,10%,7）=379.74万元
点③:
0.7*80*（P/A,10%,3）+456.84*（P/A,10%,3）+0.3*60*（P/A,10%,3）+0.3*1.0*60*
（P/A,10%,7）*（P/A,10%,3）-280=313.09万元
方案决策结果是建小厂，3年后假定需求量高再停止扩建。
但我们可以看出，虽然两种方法的决策结果相反，但是计算结果却相差很大。
如点④，运用资金时间价值和未运用的差值为375.16万元（1232-856.84），关于最终决策方案点的希冀值那么相差337.31万元（650.4-313.09）。
这些差值其实质就是投资额和各年收益及随时间变化而发作变化的累计值。
由于它们在定量上发生的数值差异以及投资存在的时机本钱，会使决策者对项目存在的风险停止错误估量：
其一是决策失误，坚持了不该坚持的项目或决议了不该选择的项目；其二是反映在管理方法上，如不思索资金时间价值，所得的结果又比拟失望，进而影响决策者对所决议的项目的控制和方案，但项目在实施进程中，由于时间要素的参与，其实践值与希冀值相差很大，甚至不可预见要素而招致盈余。
4.2.5引入资金时间价值实际应留意的效果
（l）在应用资金时间价值实际计算希冀收益值时，最重要的一个参数就是投资者希冀的基准收益率，其庞大变化在投资总数和年限不变的状况下，希冀收益值也会发生较大的变化。
关于基准收益率确实定要素主要有：
①加权平均资本本钱和时机本钱。
在决策时选择其中大者，在通常状况下资金时机本钱高于项目的加权平均资本本钱，不思索二者之和，将其设为t1；②风险补贴率。
任何项目投资都存在风险，高风险那么有高的收益，投资者在对项目决策时，应充沛思索项目所面临的风险，合理确实定风险补贴率，设为t2，以项目所发生的收益中失掉补偿；③通货收缩率。
对跨时间较长的项目，不可防止地要遭到以后年度物价变化的影响。
物价变化那么会使投资添加，从而对计算的希冀收益发生影响，设通货收缩率为t3。
综上所述，实际上确定基准收益率为:
i=（l+t1）（l+t2）（l+t3）-l（当t1、t2、t3均为零点零后小数时，i=t1+t2+t3）
（2）评价目的上确实认
前面举例停止项目决策是经过计算希冀收益值。
而应用资金时间价值计算的希冀收益值其实质是计算该项目FNPV〔财务净现值〕。
据项目在投资已定、收益估量确定以及一定年限下，也可以用项目自身所发生的收益率对各个方案停止选择，即确定FIRR〔财务外部收益率〕。
但是项目的最终决策，不能从单个目确实定，需同时思索多个目的。
如FNPV最大，项目并不一定最好，有能够它的单位投资盈利比其他项目或方案低，这种状况就要停止综合权衡投资方及投资的组合方式。
（3）不确定要素灵敏度的剖析
由于援用了资金时间价值实际，即采用了静态的剖析、决策方法，异样需求用静态的方法，剖析不确定要素的变化对计算目的值的影响水平，即各工程方案对不确定要素的灵敏度剖析。
决策树法作为风险型决策的一种方法，就是在决策进程中对风险发作的时间、风险类型、风险影响水平，项目或方案对风险类型的反映水平停止片面的预测和估量。
灵敏度剖析能比拟充沛表达进项目或方案对风险反映的敏感强度，使决策者在停止决策时或决策以后实施进程中的管理有目的性和方向胜。
（4）静态系统决策
在应用决策树法时，方式上表现为静态，但在决策时用静态系统片面的观念。
项目决策在一定水平只是项目全部运转中的一步。
项目全进程是一个完整的系统，在这个系统外面发作资金支出。
假定系统中某一要素变化就会惹起系统结构、功用发作变化。
把项目或方案作为一个系统，用系统的观念片面剖析其实施全进程使决策树复杂的决策功用失掉引伸，充沛发扬其决策进程中的重要作用。
五、总结
基于系统评价与决策剖析课程的学习，特别对贝叶斯决策模型和方法停止了研讨，引见了层次剖析法、盈方转机剖析、后验剖析法和决策树法，最后重点将层次剖析法和决策树法与运用实例相结合停止讨论，深化了解了决策剖析方法的操作性和适用性，并提出了一些在决策中需求留意的效果。
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