人教版八年级数学上册 123 角的平分线的性质 学案无答案.docx
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人教版八年级数学上册123角的平分线的性质学案无答案
初中八年级数学上册
第十二章：
全等三角形——12.3：
角的平分线的性质
一：
知识点讲解
知识点一：
作已知角的平分线
Ø已知：
∠AOB，求作：
∠AOB的平分线。
作法步骤：
1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点M，交OB于点N。
2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部交于点C。
3）画射线OC，射线OC即为所求。
证明：
✧由作法中步骤一知：
OM＝ON。
✧由作法中步骤二知：
MC＝NC。
在△OMC和△ONC中，
∴△OMC≌△ONC（SSS）∴∠MOC＝∠NOC
即OC为∠AOB的平分线。
Ø把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线，作已知角的平分线主要有折叠法和尺规作图法。
尺规作图法是常用的方法。
例1：
分别画出如图①、②所示的钝角和平角的平分线。
知识点二：
角平分线的性质
Ø
角平分线的性质：
✧内容：
角的平分线上的点到角的两边的距离相等。
✧符号语言：
如果点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，那么PD＝PE。
Ø性质中的距离是指点到角两边的垂线段的长。
Ø性质中有两个条件：
（两者缺一不可）
✧点在角的平分线上；
✧这个点到角两边的距离，即这个点到角的两边的垂线段的长度。
Ø利用角的平分线的性质证明线段相等时，证明的线段是“垂直于角两边的线段”，而不是“垂直于角平分线的线段”。
Ø应用角平分线的性质解题的格式：
∵OP平分∠AOB，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E
∴PD＝PE
Ø角平分线的性质的作用：
由于角平分线的性质的结论是两条线段相等，因此角平分线的性质常被用来证明两条线段相等。
例2：
如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，F在AC上，BE＝FC，求证：
BD＝DF。
知识点三：
角平分线的判定
Ø角平分线的判定：
✧
内容：
角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。
✧符号语言：
如果点P为∠AOB内一点，PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，并且PD＝PE，那么点P在∠AOB的平分线上。
Ø角平分线的性质与判定的关系：
点在角的平分线上
（角的内部的）点到角的两边的距离相等。
要正确理解，明确条件和结论，“性质”和“判定”恰好是条件和结论的交换，性质是证明两条线段相等的依据，判定是证明两角相等的依据。
Ø应用角平分线的判定解题的格式：
∵PD⊥OA于点D，PE⊥OB于点E，PD＝PE
∴OP平分∠AOB
例3：
如图，BE＝CF，DF⊥AC于点F，DE⊥AB于点E，BF和CE相交于点D。
求证：
AD平分∠BAC。
知识点四：
证明几何文字命题的一般步骤
Ø证明一个几何文字命题时，通常按照以下步骤进行：
1）明确命题中的已知和求证；
2）根据题意，画出图形，并用数学符号表示出已知和求证；
3）经过分析，找出由已知推出要证的结论的途径，写出证明过程。
例4：
求证：
三角形三条角平分线的交点到三边的距离相等。
二：
知识点复习
知识点一：
作已知角的平分线
1.
用直尺和圆规作已知角的平分线的示意图如图，则说明∠CAD＝∠DAB的依据是（）
A.
SSS
B.
SAS
C.
ASA
D.
AAS
2.作∠AOB的平分线时，以O为圆心，某一长度为半径作弧，与OA、OB分别相交于C、D，然后分别以C、D为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为（）
A.
大于
CD
B.
等于
CD
C.
小于
CD
D.
以上都不对
知识点二：
角平分线的性质
3.
如图所示，AO是∠BAC的平分线，OM⊥AC于M，ON⊥AB于N，若ON＝8cm，则OM的长为（）
A.
8cm
B.
4cm
C.
5cm
D.
不能确定
4.
如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，AD＝3，BC＝5，对角线BD平分∠ABC，则△BCD的面积为（）
A.
7.5
B.
8
C.
15
D.
无法确定
5.
如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，
，DE＝3，AB＝6，则AC＝（）
A.
7
B.
6
C.
5
D.
4
6.如图，已知点O在∠BAC的平分线上，BO⊥AC，CO⊥AB，垂足分别为D、E，
求证：
OB＝OC。
知识点三：
角平分线的判定
7.
如图，已知点P到BE、BD、AC的距离恰好相等，则点P的位置：
①在∠B的平分线上；②在∠DAC的平分线上；③在∠ECA的平分线上；
恰在∠B、∠DAC、∠ECA的平分线的交点处。
上述结论中，正确的有（）
A.
1个
B.
2个
C.
3个
D.
4个
8.如图，BE＝CF，DE⊥AB，交AB的延长线与点E，DF⊥AC于点F，且DB＝DC。
求证：
AD是∠BAC的平分线。
知识点四：
证明几何文字命题的一般步骤
9.求证：
三角形的互为同旁内角的两个外角的平分线的交点到三角形三边（或所在直线）的距离相等。
三：
题型分析
题型一：
利用角平分线的性质解决方案设计问题
例1：
如图，李明计划在张村、李村之间建一家超市。
张、李两村坐落在两相交公路内。
超市的位置应满足下列条件：
①使其到两公路的距离相等；②为了方便群众，超市到两村的距离之和最短，请你通过作图确定要建超市的位置。
题型二：
与面积有关的角平分线问题
例2：
如图，在△ABC中，请说明：
1）若AD为∠BAC的平分线，则
；
2）
设D为BC上的一点，连接AD，若
，则AD为∠BAC的平分线。
题型三：
运用直观想象构造全等三角形
例3：
如图所示，已知一池塘宽为AB。
请你运用所学的“三角形全等”的有关知识设计一种测量AB的方案，并说明理由。
易错点：
不能正确理解角平分线的性质及判定
例4：
如图所示，在△ABC中，BD平分∠ABC，交AC于D，BC边上有一点E，连接DE，则AD与DE的关系为（）
A.
AD＞DE
B.
AD＝DE
C.
AD＜DE
D.
不能确定
例5：
如图所示，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于点D，连接AD，BD＝CD。
求证：
AD平分∠BAC。
四：
习题
（一）：
选择题
1.
如图，△ABC的外角的平分线BD与CE相交于点P，若点P到AC的距离为3，则点P到AB的距离为（）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
2.
如图，AD是△ABC的角平分线，DF⊥AB，垂足为F，DE＝DG，△ADG和△AED的面积分别为50和38，则△EDF的面积为（）
A.
8
B.
12
C.
4
D.
6
3.
如图，在△ABC中，点D在边BC上，若∠BAD＝∠CAD，AB＝6，AC＝3，
，则
（）
A.
3
B.
6
C.
D.
4.
如图，已知AB∥CD，AD⊥DC，AE⊥BC于点E，∠DAC＝35°，AD＝AE，则∠B等于（）
A.
50°
B.
60°
C.
70°
D.
80°
5.
如图，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB于E，有下列结论：
①CD＝ED；②AC＋BE＝AB；③∠BDE＝∠BAC；
DA平分∠CDE。
其中结论正确的个数是（）
A.
1
B.
2
C.
3
D.
4
6.
如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交边AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP交边BC于点D，若CD＝4，AB＝15，则△ABD的面积为（）
A.
15
B.
30
C.
45
D.
60
7.
如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OA，PD⊥OB，垂足分别是C、D，则下列结论错误的是（）
A.
PC＝PD
B.
∠CPO＝∠DOP
C.
∠CPO＝∠DPO
D.
OC＝OD
8.如图，AB∥CD，BP和CP分别平分∠ABC和∠DCB，AD过点P，且与AB垂直。
若AD＝8，则点P到BC的距离是（）
A.
8
B.
6
C.
4
D.
2
9.
如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，BA和CD的延长线交于点E，若在该平面内存在点P使得
，则满足此条件的点P（）
A.
有且只有1个
B.
有且只有2个
C.
组成∠E的平分线
D.
组成∠E的平分线所在的直线（E点除外）
（二）：
填空题
10.如图，在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，△ABC的面积是45cm²，AB＝16cm，AC＝14cm，则DE＝。
11.如图，OP为∠AOB的平分线，PC⊥OB于点C，且PC＝3，点P到OA的距离为。
（三）：
解答题
12.如图，四边形ABCD中，∠B＝90°，AB∥CD，M为BC边上的一点，且AM平分∠BAD，DM平分∠ADC。
求证：
1）
AM⊥DM；
2）M为BC的中点。
13.如图，△ABC中，∠B＝∠C，D是BC边上的一动点，过点D作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F。
当点D移动到什么位置时，AD恰好平分∠BAC？
请说明理由。
14.已知：
如图所示，在△ABC中，BD＝DC，∠1＝∠2，求证：
AD平分∠BAC。
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