宾馆预定策略数学建模.docx
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宾馆预定策略数学建模
摘要
本题为宾馆的预定策略问题，涉及价格制定和经营策略问题。
通过对题目中提供的数据，以及对所要求解的问题的分析，本小组认为符合时序预测问题的基本条件。
对于第一问，要求估计第九周和第十周参考标准间房价，属于短期预测。
将对未来价格的预测问题分解为两个问题：
对一周内各天价格所占一周内总价的比例，和各周价格变化趋势适。
采用多段的、三次多项式趋势外推法解决第一个问题，模型的误差最大为0.39%，可见模型是十分精准的；同时采用三次多项式外推和一次移动平均法求解第二个问题，通过对比，一次移动平均法比趋势外推得到的数据，与已知数据更为符合。
同时，其预测值比较符合经济规律，因而，其预测结果具有可靠性。
对于问题二，宾馆采用升级客房档次或赔款来解决超额接受客房预订的纠纷。
采用独立重复试验概型可以得到k个客人取消订单的概率；在计算出宾馆利润的期望值，通过在赔偿和客房数量上的限制条件，和保证宾馆最大利润的目的，可以确定出宾馆超额提供预定的最大数。
对于问题三，要求为宾馆制定一个长期的经营策略，通过一二问的分析，可以得出合理的方案。
一．问题重述
某着名的旅游城市的A级宾馆主要提供举办会议和游客使用的。
客房通过电话或互联网预定，这种预定具有很大的不确定性，客户很可能由于各种原因取消预定。
宾馆为了争取更大的利润，一方面要争取客户，另一方面要降低客户取消预定遭受的损失。
为此，宾馆采用一些措施。
首先，要求客户提供信用卡号，预付第一天房租作为定金。
如果客户在前一天中午以前取消预定，定金将如数退还，否则定金将被没收。
其次，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。
研究的问题是：
（1）试建立客房预定价格的数学模型，并对以下实例作分析。
表1给出了某宾馆8周标准房价格（单位:
美元），用你的模型说明价格变动的规律，并据此估计第9周和第10周的标准房参考价格。
你还可以收集更多的数据来验证你模型的价值（要求注明出处）。
（2）在旅游旺季，宾馆往往可以预定出超过实际套数的客房数,以减低客户取消预定时宾馆的损失。
当然这样做可能会带来新的风险,因为万一届时有超出客房数的客户出现,宾馆要通过升级客房档次或赔款来解决纠纷,为此宾馆还会承担信誉风险.某宾馆有总统套房20套，豪华套房100套，标准间500套。
试为该宾馆制定合理的预定策略,并论证你的理由。
（3）请为该宾馆制定一个长期的经营策略；并给总经理写一篇短文有关管理经营的建议书。
二、问题假设以及符号说明
A：
假设
1，在求解第一问中，假设第一周至第十周处在一个稳定的市场状态（淡季或旺季）；
2，假设标准间的价格总体走势仅由两方面分量合成，即，每一周内的7日价格变化走势，周均价走势；
2，假定所提供的数据与未来数据是连续的，不存在重大变故的干扰；
3，假设宾馆的三类客房比例与市场需求比例相同，不存在巨大的入住率差异；
4，假设客人取消预定都是在前一天中午以前；
5，假设宾馆除开客房开支以外，总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利润；
6，假设宾馆对为得到房间的以预定客人的赔偿为：
同类房间利润的一倍。
7，假设客人订房没有批量预定的情况。
B:
符号说明
主要符号代表含义
Yi一周内星期i的房价所占周总价比例的标准间价格的走比例
Yk标准间价格的周均价内走势
yk,i第k周，星期i的标准间均价
k第k周
I星期i
m1,m2,m3接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量
A客人入住每间客房的利润
D每位已经预定而又没有得到客房的赔偿
C1,C2,C3除客房以外的其他总成本，分摊到三类房间的分别总和
P一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率
gkk人未按时入住的概率
LR（k）设宾馆相应与每种gk的利润
Y（LR）那么宾馆的利润期望为
三、问题分析
显然，从本题提供的数据和所要求解的问题来看，它是属于时间序列的预测问题，故考虑用多项式趋势外推和移动平均法等方法求解。
第一问：
题目中给出了八周的标准间房价数据，要求预测第九、第十周的标准间房价，属于短期预测问题。
显然，从所给数据来看，要建立单一时间变量的函数来确定房价是很难的，不过更具日常经验和经济学规律分析，可将影响标准间的房价变动的因素归纳到两方面：
即，一周内房价的分布，和以周均价为代表的长期上涨规律。
第二问:
显然，预定了客房的客人取消预定的概率是相互独立的，则，m个预定中，有k个客人取消订单的事件符合独立重复试验概型；同时，由于k的不同导致宾馆利润的不同，
故先计算出宾馆利润对于某一个k值的函数，在通过概率加权的办法算出宾馆利润的期望，通过取定合适的m值，使得利润期望最大，从而得出合适的宾馆客房超额预定策略。
第三问：
通过一二问的求解，提供建议
四、模型建立
4.1对于第一问：
显然，在未来某一周内，由于工作日和双休日的固定，以及其所导致的对宾馆客房的需求的固定，可以推定：
该周内任意一天的标间价格所占的七天总价的比例yi与yi的关系是不变的;同时，根据经济规律可知，标准间的周均价yk随时间的推移是按某种规律上涨的，因此，可以建立周数k与yk的关系。
那么，未来第k周，星期i的标准间的价格yk,i上述两种决定价格变动规律的因素共同决定的。
由此可得yk,i的表达式：
4.2对于第二问，根据订房客人取消预定的变化，宾馆的利润也是变化的。
为了确定一个最优的预定策略，将所有可能的情况根据其概率进行加权运算，最终得到具有代表性的总体利润的期望，从而确定一个合理的预定策略。
k人未按时入住的概率为gk，宾馆相应与每种gk的利润为
，那么宾馆利润的期望为：
五、求解方法
5.1第一问的求解
5.1.1首先对标准间在每个周内的价格走势作分析，建立其周内变化模型。
对一周内各天的均价走势的研究，得到一周内的价格变动，可以反应标准间价格变动因素中的一个周期性因素。
通过对数据的分析得到前八周内，星期一至周日分别的标准间价格均值：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
标间均价
50.5
50.5
46.75
119
125.25
95.5
54.25
其折线图如下：
于是得到一周内各天的均价比例如下：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
标准间均价
50.5
50.5
46.75
119
125.25
95.5
54.25
周均价
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
比例
9.32%
9.32%
8.63%
21.97%
23.12%
17.63%
10.01%
由于题目中已明确说明：
，宾馆采用变动价格，根据市场需求情况调整价格，一般来说周末价格比较高。
同时结合上图，对建立的各周内模型采用分段的多项式趋势外推法建立函数。
分别用线性趋势外推，以及三次多项式外推，建立的分段函数如下：
通过matlab求解方程组（代码见附录代码一），得到趋势外推法的解如下
其模拟的效果如下：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
均价
50.5
50.5
46.75
119
125.25
95.5
54.25
总价
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
541.75
比例
0.093216
0.093216
0.086294
0.219659
0.231195
0.176281
0.100138
拟合比例
0.093253
0.093253
0.086294
0.2191
0.2321
0.1757
0.1003
误差
0.04%
0.04%
0.00%
0.25%
0.39%
0.33%
0.16%
从验证值与实际数据的误差来看，误差最大的为0.39%，在允许范围内，模拟效果比较理想。
5.1.2.再对标准间前八周的周均价走势作分析，建立周间均价变化模型，并预测九十周均价。
、多项式外推法求解（代码见附录代码二）
对周间标准间的价格变化的研究，得到其周均价的价格走势，可以较为直观的反应在较长时间段内整体的价格趋势，以便于作短期预测。
通过对题目所提供的数据，分析得到前八周各自的均价，
根据对周均价走势的分析，和题目其他已知条件，首先通过趋势外推法建立模型如下
三次多项式外推
其拟合前后对比如下
周次
每周价格走势
拟合函数值
偏差
1
43.57142857
30.1169
30.88%
2
49
67.3519
37.45%
3
53
89.9579
69.73%
4
169
100.1472
40.74%
5
90.42857143
100.1317
10.73%
6
70.42857143
92.1237
30.80%
7
76.14285714
78.3352
2.88%
8
67.57142857
60.9784
9.76%
拟合曲线见下图。
可见，其误差以十分明显。
其中，前6周误差都超过10%，最大的第三周甚至达到69.73%。
而且根据它预测的第九、十周均价分别为42.2653，24.4082元。
根据日常经验可知，均价随时间的推移是逐步上涨的，这与之不符。
故，此时采用三次趋势外推是不合理的；若采用更高次的多项式外推法，可使前八周内误差减小，但其预测将变得更加不合常规。
于是，此处不能采用多项式趋势外推。
接下了，本文将采用一次移动平均的方法对第九第十周预测。
采用一次移动平均法求解（代码见附录代码三）
为了使数据最终结果与原始数据比较符合，并减小统计数据中由于偶然因素较大的数据的影响，取移动平均的观测点数为8。
其最终拟合结果如下（为了便于绘图，在原始数据中令第九十周均价为0，不过这不影响算法的准确度）
设未来第k周的周均价值为
则
其对九、十周的预测结果为77.3929元，与81.6205元，比较符合均价整体走势。
5.1.3.综上，可得未来第k周，星期i的标准间价格的预测值yk,i得表达式：
根据以上公式计算出来的第九第十周标准间价格如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
第九周
50.52
50.52
46.75
118.70
125.74
95.19
54.34
第十周
53.28
53.28
49.30
125.18
132.61
100.39
57.31
5.2求解第二问
5.2.1仅考虑赔偿现金的情况下：
宾馆标准客房、豪华套间、总统套房的实有数量分别为n1,n2,n3;
设宾馆接受预定的标准客房、豪华套间、总统套房的数量分别为m1,m2,m3;
客人入住的客房的利润为A元每间；
已经预定而又没有得到客房的赔偿为D元每间；
宾馆除客房以外的其他成本分摊给三类房间，分别总共为C1,C2,C3元；
设一个已定客房的旅客在在前一天中午以前取消预定的概率为p；
其中k人未按时入住的概率为gk，则有：
；
当m很大时，为了便于计算gk，根据泊松分布和二项分布的联系知道，此时可以用前者计算后者的近似值：
即有，
;
设宾馆相应与每种gk的利润为LR，那么
那么宾馆的利润期望为
根据假设，除去客房开支以外，宾馆总的运营成本，等于至少六成的客房有人入住时所得的利润；即C=0.6nA。
显然，宾馆的n,D,A,p短期内都是已知常数。
过可以通过数值模拟的方法取定m，使得Y（LR）最大。
对Y（LR）进行等价变形得：
对标准间而言
对豪华间而言
对总统包间而言
显然，随着p的增大，即1-p的减小，利润是逐渐增大的。
根据m和p取不同的值，利润的期望变化如下：
A．根据下图，标准间的最大利润在1-p=0.95时，在m1=530时取得。
B．根据模拟计算图，豪华间在所有情况下，都在m2=100左右取得最大利润。
C，根据模拟计算图，总统包间在所有情况下，都在m3=20左右取得最大利润
假设取1-P=0.95。
此时，宾馆为了取得最大期望利润率，根据前述计算结果可知，标准客房的预订水平因该取530、豪华套房的预订水平取100、总统套房的预订水平取20时，宾馆利润最大。
而其中，豪华套房、总统套房的最大利润分别在101和21处取得，m的数量太少，不适合超额预订，况且赔率较大，宾馆从经济的角度考虑，豪华套房、总统套房不应该接受超额预订。
根据求出的数据可知，对于标准客房来说，当标准客房的超额预订水平为530时，最大可能超额入住5人，且概率为0.0796，即说明，最大可能赔偿5个人。
5.2.2在同时考虑升级客房档次或赔款的情况下
对于标准房间，由于没有更低级的房间升级到标准房间，故在不同的概率值Ｐ下，期望利润率随订房水平ｍ的变化情况相似。
由5.1的求解可知，在1-P=0.95的情况下，宾馆为达到，最大期望收益率，标准客房的超额预订水平为530，豪华套房和总统套房不需要超额预订。
在标准客房的530超额预订水平下，最大可能是需要赔偿5个人。
我们不妨假设宾馆此时的处理方式是给其中2人退预定金，并赔偿标准间利润的一倍；给另外3人升级为豪华套房。
于是，对于豪华套房来说，由于客满，已经预定豪华套房的客人不能入住的概率将增加。
由于豪华套房本身不超额预订，那么，宾馆最明智的处理方式是预留3个房间，提供给不能住标准客房的客人，以减少损失。
结论是：
当宾馆的处理方式是赔偿客人费用或升级客人锁定房间的等级时，宾馆的预订策略是标准客房预订水平定为530，豪华客房预订水平定为97，总统套房的预订水平定为20。
5.3为该宾馆制定一个长期的经营策略；并给总经理写一篇短文有关管理经营的建议书。
根据第一二问的求解，可以知道，宾馆的有关经营定价策略；不过对于长期的预测与规划，本模型同样适用，只是涉及的具体参数，计算数据等要随时间的推移和市场的变化而更新，从而可以制定科学合理的经营策略。
同时，也要适度灵活处置市场即时变更，以适应波动的市场。
六、计算机结果及分析
6.1.第一问结果为
第九第十周标准间价格如下表：
星期一
星期二
星期三
星期四
星期五
星期六
星期日
第九周
50.52
50.52
46.75
118.70
125.74
95.19
54.34
第十周
53.28
53.28
49.30
125.18
132.61
100.39
57.31
6.2第二问的结果为
A．仅考虑赔偿现金的情况下
宾馆的超额预订策略是标准客房预订水平定位530，同时，其赔偿额度为每间赔偿以相当于一间同等级别的客房利润的现金，豪华套房和总统套房不提供超额预订。
B．在同时考虑升级客房档次或赔款的情况下
宾馆的预订策略是标准客房预订水平定为530，豪华客房预订水平定为97，总统套房的预订水平定为20。
6.3本模型的优缺点
优点：
模型的精确度较高，比如第一问的误差不超过1%，结果可靠；
采用多种方法对比计算，结果优化程度较好。
结合各种市场数据和经济规律，结果的可靠度较高。
缺点：
模型的建立中考虑的因素不够全面，比如第二问的求解当中，还可以将超额预订对宾馆的信誉度，一致于入住率的影响加入考虑。
七、参考文献
[1]：
蒲俊，数学建模讲义；
[2]：
曾建军，李世行，matlab语言与数学建模，安徽理工大学；
[3]：
李顺初，概率统计教程；科学出版社；
[4]：
孙岳，杨永均，汤玚，中国矿业大学暑期数学建模集训；
八、附录
Ⅰ、某宾馆8周标准房价格（单位:
美元）
周次
周一
周二
周三
周四
周五
周六
周日
1
29.00
29.00
29.00
69.00
79.00
35.00
35.00
2
35.00
35.00
35.00
69.00
99.00
35.00
35.00
3
35.00
35.00
35.00
89.00
99.00
39.00
39.00
4
39.00
39.00
39.00
329.00
329.00
329.00
79.00
5
79.00
79.00
79.00
119.00
119.00
119.00
39.00
6
39.00
39.00
39.00
99.00
99.00
89.00
89.00
7
89.00
89.00
59.00
89.00
89.00
59.00
59.00
8
59.00
59.00
59.00
89.00
89.00
59.00
59.00
Ⅱ、代码
代码一：
x=[34567]
y1=[0.0862944160.2196585140.2311952010.1762805720.10013844]
y=[00000]
wc=zeros（1,7）
figure
holdon
plot（x,y1,'r-'）
b=polyfit（x,y1,3）
plot（x,polyval（b,x）,'g--'）
legend（'原始数据','二次多项式外推拟合'）
fori=3:
7
y（i-2）=polyval（b,i）;
wc（i）=abs（（polyval（b,i）-y1（i-2））/y1（i-2））;
end
wc
y
代码二x=[12345678]
y1=[43.57142857495316990.4285714370.4285714376.1428571467.57142857]
figure
holdon
plot（x,y1,'r-'）
b=polyfit（x,y1,3）
plot（x,polyval（b,x）,'g--'）
legend（'原始数据','三次多项式外推拟合'）
e=polyval（b,8）
n=polyval（b,9）
t=polyval（b,10）
代码三：
y=[43.5714285745316990.4285714370.4285714376.1428571467.5714285700]
x=[12345678910]
y1=[43.57142857495316990.4285714370.4285714376.1428571467.5714285700]
b=zeros（1,2）
fori=1:
2
c=0
forj=0:
7
c=y（i+j）+c;
end
b（i）=c/8;
y（8+i）=b（i）;
end
d=b
figure
holdon
plot（x,y1,'r-'）
plot（x,y,'g--'）
legend（'原始数据','一次移动平均拟合'）
升级会员 