电路分析基础工业和信息化普通高等教育“十二五”规划教材立项项目教学课件ppt作者史健芳陈惠英李凤莲等ch75-7.ppt

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第7章正弦稳态电路分析,7.1复数7.2相量法基础7.3基尔霍夫定律的相量形式7.4相量模型7.5正弦稳态电路的分析7.6正弦稳态电路的功率,7.6正弦稳态电路的功率,瞬时功率：

网络在任一瞬间吸收的功率，是一个随时间变化的量。

用小写字母p表示，写作,图示单口网络，在正弦稳态时，其端口电压和电流是同频率的正弦量，设,当p0时，表示单口网络吸收功率；当p0时，表示单口网络释放功率。

单位是瓦特。

平均功率：

瞬时功率在一个周期内的平均值，叫做平均功率，用大写字母P表示，即,平均功率代表了电路实际所消耗的功率，所以又称为有功功率（activepower），习惯上常把“平均”或“有功“二字省略，简称为功率，单位为瓦特（即有功伏安）。

通常所说的功率都指平均功率而言。

7.6.1元件的功率,在正弦稳态时，电阻上的电压和电流是同相的，可设u=i=0，这样,在关联参考方向时，电阻所吸收的瞬时功率为,1电阻的平均功率,图电阻元件的功率波形图,可看出，电阻元件始终是吸收功率和消耗能量的，电阻元件是耗能元件。

电阻元件的平均功率,2电容的平均功率、平均储能,瞬时功率为,在正弦稳态时，设电容的u=0，则i=90,图电容的功率波形图,电容元件的平均功率为,上式表明电容元件的平均功率等于零，电容元件既不会产生功率，也不会消耗功率。

电容元件的瞬时储能为,电容元件的瞬时储能是以2为角频率变化的周期量，但在任何时刻其瞬时储能wc（t）0,图电容的能量波形图,电容的平均储能,3电感的平均功率、平均储能,在正弦稳态时，设电感的u=0o，有i=-90o，则,瞬时功率为,图电感元件的功率波形图,平均功率为,电感元件既不会产生功率，也不会消耗功率。

当瞬时功率大于零时，它吸收功率，当瞬时功率小于零时，它释放功率，但在一个周期内，其所吸收的功率和释放的功率相等，因此平均功率为零。

电感的瞬时储能为,电感元件的瞬时储能是以2为角频率变化的周期量，但在任何时刻其瞬时储能wL（t）0。

电感的平均储能,平均储能越大，说明储能元件进行能量交换的数值也越大。

7.6.2单口网络有功功率、无功功率、功率因数、视在功率、复功率,1有功功率,设单口网络端口电压、电流分别为,则网络的瞬时功率为,图单口网络,由,图单口网络在正弦稳态时的功率波形图,0时，单口网络从外电路吸收功率，p0的部分大于p0的部分，说明网络吸收的功率大于释放的功率，是由网络内包含的电阻元件引起的。

单口网络的平均功率为,若单口网络内只含有电容或电感元件，此时=90o，因而P=0；若只含有电阻元件，此时=0o，因而P=UI。

2无功功率,无功功率用大写字母Q表示，其定义式为,无功功率表示了无源单口网络中电抗分量与外电路之间存在着能量的往返转移，其数值表示了单口网络中储能元件与外电路间能量交换的最大值，反映了网络与电源往返交换能量的程度。

根据瞬时功率表示式,无功功率基本单位为乏（var），即无功伏安。

纯电阻支路无功功率Q=0。

纯电感支路无功功率为,纯电容支路的无功功率为,电感吸收的无功功率为正，电容吸收的无功功率为负，这是因为选取了=u-i。

这样，对感性电路来说，其电压超前电流，所以Q0，对容性电路来说，其电流超前电压，所以Q0。

另外，在同一电压（或同一电流）下，QC和QL仅差一个负号，说明了感性和容性元件的无功功率是互补的。

电感元件放出（吸收）能量的时刻恰好是电容元件吸收（放出）能量的时刻。

3视在功率,视在功率是单口网络端口电压有效值与电流有效值的乘积，用大写字母S表示，即,视在功率标志了单口网络可能达到的最大功率，在实际应用中常用来表示一个发电设备的容量。

视在功率的单位为伏安（VA）。

有功功率P、无功功率Q与视在功率S三者之间可构成一个直角三角形，称为功率三角形，如图所示。

功率三角形与阻抗三角形相似，把阻抗三角形各边乘上端口电流有效值的平方I2，就可得到功率三角形，即,4功率因数,单口网络平均功率表示式中的cos表示了功率的利用程度，称为功率因数，记作，即,其中=u-i为单口网络端口电压、电流的相位差角，称为功率因数角。

当单口网络呈现纯电阻特性时，功率因数角为零因而cos=1，此时P=UI，功率利用程度最高。

当单口网络呈现容性或感性时，功率因数角|90o，因而cos1，此时PUI。

但无论是正是负，cos总为正值。

当单口网络是纯电抗元件时|=90o,cos=0，P=0。

表明电抗元件不消耗能量，所以称电感、电容为无损元件。

如果单口网络内含有独立源，就是端口电压与电流的相位差角，此时P可能为正值，也可能为负值。

例7-11图（a）所示单口网络，已知端口电流,求单口网络的P、Q、S以及。

（a）（b）例7-8图,解：

根据相量模型可得其等效阻抗为,由于是无源单口网络，其端口电压、电流满足,可见，在无源单口网络端口电流已知时，若能求得单口网络的等效阻抗，则可利用下式求解其平均功率,另外，由单口网络的等效导纳,对无源单口网络来说，计算平均功率时，可根据情况选用以下公式：

无功功率Q的求解如下：

对无源单口网络来说，计算无功功率时可选用以下公式：

单口网络的视在功率S为,功率因数为,在实际用电设备中，大多数负载是感性负载，功率因数一般在0.750.85，轻载时低于0.5。

这样，在传送相同功率的情况下，负载的功率因数低，则流过负载的电流就必然相对地大，电源设备向负载提供的电流也就要大，从而使线路上电压降和功率损耗增加，电能消耗也较大，降低了输电效率。

另一方面，在电源电压、电流一定的情况下，功率因数越小，电源输出功率也就越低，限制了电源输出功率的能力，所以有必要提高功率因数。

在实际中，通常是在用电设备的配电房中集中配置一定的电容元件，使各电感设备上的无功功率与电容的无功功率互补，称为感性负载无功功率的补偿。

例7-12日常使用的日光灯电路，它的电路模型实质是一个电阻和一个电感元件串联组成的，功率因数小于1，要求线路提供的电流较大，要提高日光灯电路的功率因数，可在输入端并联一个适当数值的电容元件以抵消电感分量，使其端口特性接近于纯电阻而使功率因数接近于1。

图示电路中，在f=50Hz时，试求在端口a、b并联多大的电容时，可使功率因数提高到1。

例7-9图,（a）（b）（c）例7-9图,解由图（a）可知,日光灯电路所吸收的平均功率为,此时,A,V,提高功率因数：

在端口a、b并联一个电容。

此时电源提供的无功功率为,此时电源提供的电流为,提高功率因数的相量图,5复功率,复（数）功率是一个可以把单口网络的有功功率、无功功率和视在功率以及功率因数角用一个表示式紧密联系起来的量，其表示符号为，设为单口网络端口电压相量，为端口电流相量，其共轭复数为，则单口网络的复功率定义为端口电压相量与端口电流相量共轭复数的乘积，即,表7-1正弦稳态单口网络功率的各种计算公式,复功率实部是有功功率P，虚部是无功功率Q，模是视在功率S，辐角为功率因数角，故复功率把有关功率的概念用一个式子表示了出来。

其单位与视在功率相同，为伏安（VA）。

复功率是用来计算功率的复数量，它本身不代表正弦量，也不是功率，但引进了复功率的概念，用于分析正弦稳态电路的相量分析法也可以用于研究功率。

对于正弦稳态电路来说，由于有功功率和无功功率都是守恒的，所以复功率也守恒。

也就是说由电路中每个独立电源发出的复功率的总和等于电路中其它电路元件所吸收的复功率的总和。

设电路有b条支路，其中第k条支路的电压、电流分别记为、，则根据复功率守恒可得,说明在正弦稳态下电路所有支路的有功功率之和为零，无功功率之和也为零。

表明了电路中由各电源所发出的有功功率的总和等于电路中其余电路元件所吸收的有功功率总和；由各电源所发出的无功功率之和等于电路中其余电路元件所吸收的无功功率总和。

图（a）所示电路，求2电阻吸收的平均功率P，并求出QC、QL以及=1rad/s时的WC、WL。

（a）（b）,例7-13,（2-j2）-2=20/0,（2+j2）-2=-30/0,=-5+j10=11.18/116.57A,=-5+j15=15.81/108.43A,P=I2R=252=50W,由=1rad/s，L=2，1/C=2得：

L=2H，0.5F,则,例7-14,求例7-13电路中各支路的复功率，并检验复功率是否守恒。

解首先求电容所在支路的复功率。

电容两端电压为,=-5+j10=11.18/116.57A,=-5+j15=15.81/108.43A,则电容元件的复功率为,电阻元件的复功率为,电感元件的复功率为,左侧电压源的复功率为,右侧电压源的复功率为,=-5+j10=11.18/116.57A,=-5+j15=15.81/108.43A,（a）（b）图说明最大功率传输的电路,7.6.3最大功率传输,电流的有效值为,负载吸收的平均功率为,要使平均功率为最大，首先需满足XL=-Xeq,此时功率P变为,要使P最大，可求出P对RL的导数,令上式等于零，解得,负载获得最大平均功率时，负载阻抗应满足条件：

即负载阻抗与电源内阻抗或单口网络等效阻抗成共轭复数时，负载可获得最大平均功率。

满足这一条件时，称负载阻抗和电源内阻抗为最大功率匹配或共轭匹配，简称负载与电源匹配。

由于负载也可表示为极坐标形式，此时负载的模和辐角均可独立的变化，但讨论起来比较复杂，此处假定负载的模可调而辐角不变。

设负载,电流的有效值为,在最大功率匹配或共轭匹配时负载获得的最大平均功率为,负载吸收的平均功率为,在|ZL|可变时，要使平均功率为最大，可对变量|ZL|求导，则,使,即负载阻抗模与电源内阻抗模相等是此种情况下负载获得最大平均功率的条件，此时称为模匹配。

但是一般情况下模匹配时获得的最大功率都小于共轭匹配时获得的功率，所以这一情况并非为可能获得的最大功率值。

如果阻抗角也可调节，还能使负载获得更大一些的功率。

例7-15图（a）所示电路，已知A，如果外接一个可调负载ZL，求负载阻抗为何值时可使负载获得最大平均功率，最大平均功率值为多少？

解取掉负载ZL后原电路成为一个含源单口网络,图7-42例7-12图,原电路的戴维南等效电路如图7-42（d）所示。

由图（c）可知等效阻抗为,ZL=Z*eq=1.6-j1.7,本章小结,本章主要内容包括：

1.正弦稳态电路两类约束的相量形式：

KCL定律、KVL定律及三种基本二端元件VAR关系式的相量形式.2.阻抗、导纳的概念。

3.相量模型的概念。

相量模型是把原时域模型电路中的各支路电压和电流用相应的相量形式表示出来，各元件参数用相应的阻抗和导纳表示出来后所得到的模型。

相量模型只是一种假想的模型，是对单一频率正弦稳态电路进行分析的一种有效工具。

4.对无源单口网络来说，其等效相量模型为一个等效阻抗，含源单口网络的等效相量模型为单口网络的戴维南等效电路相量形式。

5.用相量模型分析正弦稳态电路的基本步骤及分析方法。

6.正弦稳态电路的功率问题。

平均功率P表示了一个单口网络实际消耗的功率，无功功率Q反映了单口网络与外界交换能量的规模，功率因数则体现了功率的利用程度，其值越大，功率利用程度越高，视在功率S表明了单口网络可能达到的最大功率，复功率是一个可以把P、Q、S及运用一个式子紧密联系起来的量，复功率的引入，简化了有关功率的求解过程。

7.最大功率传输问题。

一个含源单口网络向可变负载传输最大平均功率的条件是：

负载阻抗与电源内阻抗呈共轭匹配。

重点掌握内容:

1.正弦稳态电路的各种分析方法。

其中包括网孔分析法、节点分析法、叠加定理以及戴维南定理等。

2.正弦稳态电路的功率问题。

其中包括最大功率传输问题。