圆锥曲线基础知识专项练习.docx
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圆锥曲线基础知识专项练习
..
圆锥曲线练习
一、选择题（本大题共
13小题，共65.0分）
1.
若曲线
表示椭圆，则
k的取值范围是（
）
A.k＞1
B.k＜-1
C.-1＜k＜1
D.-1＜k＜0或0＜k＜1
2.
方程
表示椭圆的必要不充分条件是（
）
A.m∈（-1，2）
B.m∈（-4，2）
C.m∈（-4，-1）∪（-1，2）D.m∈（-1，+∞）
3.
已知椭圆：
+
=1，若椭圆的焦距为
2，则k为（
）
A.1或3B.1
C.3
D.6
4.已知椭圆的焦点为（-1，0）和（1，0），点P（2，0）在椭圆上，则椭圆的标准方程
为（）
A.B.C.D.
5.平面内有两定点A、B及动点P，设命题甲是：
“|PA|+|PB|是定值”，命题乙是：
“点
P的轨迹是以
A、B为焦点的椭圆”，那么（
）
A.甲是乙成立的充分不必要条件
B.甲是乙成立的必要不充分条件
C.甲是乙成立的充要条件D.甲是乙成立的非充分非必要条件
6.
＞0，
＞0
是
“
方程
ax
2+
2=1表示椭圆
”
的（
）
“ab
”
by
A.充要条件
B.充分非必要条件
C.必要非充分条件D.既不充分也不必要条件
7.
A.
+
=1B.
+
+=1C.
=10
+=1D.+=1
8.
A.
设椭圆
B.
C.D.
的左焦点为
F，P为椭圆上一点，其横坐标为
，则|PF|=（
）
9.若点P到点F（4，0）的距离比它到直线
x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是（
）
A.
2=-16
x
B.
y
2=-32
x
C.
y
2=16
x
D.
y
2=32
y
x
10.
抛物线
=
ax
2（
＜0）的准线方程是（
）
y
a
A.y=-
B.y=-
C.y=
D.y=
11.
2
的距离为
5，则点P到该抛物线焦点的距离是
设抛物线y=4x上一点P到直线x=-3
（
）
A.3
B.4
C.6
D.8
12.
已知点
P是抛物线x=
y2上的一个动点，则点
P到点A（0，2）的距离与点P到y
轴的距离之和的最小值为（）
A.2
B.
C.-1
D.
+1
13.若直线
=
kx
-2与抛物线
y
2
=8
交于A，B两个不同的点，且AB的中点的横坐标为
2，
y
x
则k=（
）
A.2
B.-1
C.2或-1
D.1±
二、填空题（本大题共2小题，共10.0分）
14.在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC顶点A（-4，0）和C（4，0），顶点B在椭圆
上，则=______．
15.已知椭圆，焦点在y轴上，若焦距等于4，则实数
k=____________．
三、解答题（本大题共6小题，共72.0分）
16.已知三点P（，-）、A（-2，0）、B（2，0）．求以A、B为焦点且过点P的椭圆
的标准方程．
17.已知椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4．椭圆与直线y=x+2
相交于A、B两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）求弦长|AB|
高中数学试卷第2页，共10页
..
18.设焦点在y轴上的双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，已知点A（1，）
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点A（1，），过点A的直线L交双曲线于M，N两点，点A为线段MN的中点，求直线L方程．
2
19.已知抛物线的标准方程是y=6x，
（1）求它的焦点坐标和准线方程，
（2）直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为45°，且与抛物线的交点为A、B，求AB的
长度．
20.已知椭圆的离心率，直线y=bx+2与圆x2+y2=2相切．
（1）求椭圆的方程；
（2）已知定点E（1，0），若直线y=kx+2（k≠0）与椭圆相交于C，D两点，试判断是
否存在实数k，使得以CD为直径的圆过定点E？
若存在，求出k的值；若不存在，请说明理由．
21.已知椭圆C：
4x2+y2=1及直线L：
y=x+m．
（1）当直线L和椭圆C有公共点时，求实数m的取值范围；
（2）当直线L被椭圆C截得的弦最长时，求直线L所在的直线方程．
答案和解析
【答案】
1.D2.B3.A4.B5.B6.C7.C8.D9.C10.B11.A12.C13.A
14.
15.816.解：
（1）2a=PA+PB=2，
所以a=，又c=2，所以b2=a2-c2=6则以A、B为焦点且过点P的椭圆的标准方程为：
+=1．
17.解：
（1）∵椭圆+=1（a＞b＞0）的离心率为，短轴长为4，
∴，
解得a=4，b=2，
∴椭圆方程为=1．
（2）联立
，得5
x
2+16=0，
x
解得，，
∴A（0，2），B（-，-），
∴|AB|==．
18.解：
（1）设双曲线的标准方程为（a＞0，b＞0），则
∵双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，
∴，c=2∵c2=a2+b2
∴a=1，b=
∴双曲线的标准方程为；
（2）设M（x1，y1），N（x2，y2），代入双曲线方程可得，
两式相减，结合点A（1，）为线段MN的中点，可得
∴=
∴直线L方程为，即4x-6y-1=0．
高中数学试卷第4页，共10页
..
19.解：
（1）抛物线的标准方程是
2
2p=6，∴=
y=6x，焦点在x轴上，开口向右，
∴焦点为F（，0），准线方程：
x=-，
（2）∵直线L过已知抛物线的焦点且倾斜角为
45°，
∴直线L的方程为y=x-，
代入抛物线y2=6x化简得x2-9x+
=0，
设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=9，
所以|AB|=x1+x2+p=9+3=12．
故所求的弦长为12．
20.解：
（1）因为直线l：
y=bx+2与圆x2+y2=2相切，
∴，
∴b=1，
∵椭圆的离心率，
∴，
∴a2=3，
∴所求椭圆的方程是．
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去y可得：
（1+3k2）x2+12kx+9=0∴△=36k2-36＞0，
∴k＞1或k＜-1，
设C（
x
1，1），D（
2，2），则有
，
，
y
x
y
若以CD为直径的圆过点
E，则EC⊥ED，
∵
，
，
∴（x1-1）（x2-1）+y1y2=0∴（1+k2）x1x2+（2k-1）（x1+x2）
+5=0∴
，
解得
，
所以存在实数
使得以CD为直径的圆过定点E．
21.解：
（1）由方程组
，消去y，
整理得
2
2
．（2分）
5x
+2mx+m-1=0
2
2
）
2
分）
∴△=4m-20
（m
=20-16
m（
4
-1
因为直线和椭圆有公共点的条件是
0，即20-16
2
△≥
m≥0，
解之得-
．（5分）
（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），
由韦达定理得
，（8分）
∴弦长|AB|=
==，-，
∴当m=0时，|AB|取得最大值，此时直线L方程为y=x．（10分）
【解析】
1.解：
∵曲线表示椭圆，∴，解得-1＜k＜1，且k≠0．
故选：
D．
曲线表示椭圆，可得，解出即可得出．
本题考查了椭圆的标准方程及其性质、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
2.解：
方程表示椭圆的充要分条件是，即m∈
（-4，-1）∪（-1，2）．
由题意可得，所求的m的范围包含集合（-4，-1）∪（-1，2），
故选：
B．
由条件根据椭圆的标准方程，求得方程表示椭圆的充要条件所对应
的m的范围，则由题意可得所求的m的范围包含所求得的m范围，结合所给的选项，得出结论．
本题主要考查椭圆的标准方程，充分条件、必要条件，要条件的定义，属于基础题．
3.解：
①椭圆+=1，中a2=2，b2=k，
则c=，
∴2c=2=2，
解得k=1．
高中数学试卷第6页，共10页
..
椭圆
，中
2=
，
2
=2，
②
a
k
b
+=1
则c=
，
∴2c=2
=2，
解得k=3．
综上所述，k的值是1或3．
故选：
A．
利用椭圆的简单性质直接求解．
本题考查椭圆的简单性质，考查对椭圆的标准方程中各字母的几何意义，属于简单题．
4.解：
设椭圆方程为
=1（a＞b＞0），
由题意可得c=1，a=2，b=，
即有椭圆方程为+=1．
故选：
B．
设椭圆方程为=1（a＞b＞0），由题意可得c=1，a=2，再由a，b，c的关系，可
得b，进而得到椭圆方程．
本题考查椭圆的方程的求法，注意运用待定系数法，考查椭圆的焦点的运用，属于基础题．
5.解：
命题甲是：
“|PA|+|PB|是定值”，
命题乙是：
“点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆
∵当一个动点到两个顶点距离之和等于定值时，
再加上这个和大于两个定点之间的距离，
可以得到动点的轨迹是椭圆，没有加上的条件不一定推出，
而点P的轨迹是以A．B为焦点的椭圆，一定能够推出|PA|+|PB|是定值，
∴甲是乙成立的必要不充分条件
故选B．
6.解：
a＞0，b＞0，方程ax2+by2=1不一定表示椭圆，如
a=b=1；
2
2
a＞0，b＞0．
反之，若方程ax+by=1表示椭圆，则
∴“a＞0，b＞0”是“方程ax
2+by2=1表示椭圆”的必要分充分条件．
故选：
C．
直接利用必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法结合椭圆标准方程得答案．本题考查必要条件、充分条件及充分必要条件的判断方法，考查了椭圆的标准方程，是基础题．
7.解：
由+=10，可得点（x，y）到M（0，-3）、N（0，3）
的距离之和正好等于10，
再结合椭圆的定义可得点（x，y）的轨迹是以M、N为焦点的椭圆，且2a=10、c=3，∴a=5，
b=4，
故要求的椭圆的方程为+=1，
故选：
C．
有条件利用椭圆的定义、标准方程，以及简单性质，求得椭圆的标准方程．
本题主要考查椭圆的定义、标准方程，以及简单性质的应用，属于中档题．
8.解：
椭圆的左焦点为F（-，0），右焦点为（，0），
∵P为椭圆上一点，其横坐标为，
∴P到右焦点的距离为
∵椭圆的长轴长为4∴P到左焦点的距离|PF|=4-=
故选D．
确定椭圆的焦点坐标，利用椭圆的定义，即可求得P到左焦点的距离．
本题考查椭圆的标准方程与几何性质，考查椭圆的定义，属于中档题．
9.解：
∵点P到点（4，0）的距离比它到直线x+5=0的距离少
1，
∴将直线x+5=0右移1个单位，得直线x+4=0，即x=-4，
可得点P到直线x=-4
的距离等于它到点（
4，0）的距离．
根据抛物线的定义，可得点
P的轨迹是以点（4，0）为焦点，以直线
x=-4为准线的抛
物线．
设抛物线方程为
y2=2px，可得
=4，得2p=16，
∴抛物线的标准方程为
y
2=16x，即为P点的轨迹方程．
故选：
C
根据题意，点P到直线x=-4的距离等于它到点（
4，0）的距离．由抛物线的定义与标
准方程，不难得到
P点的轨迹方程．
本题给出动点P到定直线的距离比到定点的距离大
1，求点P的轨迹方程，着重考查了
抛物线的定义与标准方程和动点轨迹求法等知识，属于基础题．
10.解：
抛物线
=
2（
a
＜0）可化为
，准线方程为
．
yax
故选B．
抛物线y=ax2（a＜0）化为标准方程，即可求出抛物线的准线方程．
本题考查抛物线的性质，考查学生的计算能力，抛物线方程化为标准方程是关键．
2
∵点P到直线x=-3
的距离为
5，
∴点p到准线x=-1
的距离是
5-2=3，
根据抛物线的定义可知，点
P到该抛物线焦点的距离是
3，
故选A．
先根据抛物线的方程求得抛物线的准线方程，根据点
P到直线x=-3的距离求得点到准
线的距离，进而利用抛物线的定义可知点到准线的距离与点到焦点的距离相等，
从而求
得答案．
本题主要考查了抛物线的定义．充分利用了抛物线上的点到准线的距离与点到焦点的距
高中数学试卷第8页，共10页
..
离相等这一特性．
12.解：
抛物线x=y2，可得：
y2=4x，抛物线的焦点坐标（1，0）．
依题点P到点A（0，2）的距离与点与P到该抛物线准线的距离的和减去由抛物线的定义，可得则点P到点
P到y轴的距离之和的最小值，就是P到（0，2）
1．
A（0，2）的距离与P到该抛物线焦点坐标的距离之
和减1，
可得：
-1=
．
故选：
C．
先求出抛物线的焦点坐标，再由抛物线的定义转化求解即可．
本小题主要考查抛物线的定义解题，考查了抛物线的应用，考查了学生转化和化归，数形结合等数学思想．
13.解：
联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，
消去y，可得k2x2-（4k+8）x+4=0，（k≠0），
22
判别式（4k+8）-16k＞0，解得k＞-1．
则x1+x2=，
由AB中点的横坐标为2，
即有=4，
解得k=2或-1（舍去），
故选：
A．
联立直线y=kx-2与抛物线y2=8x，消去y，可得x的方程，由判别式大于0，运用韦达
定理和中点坐标公式，计算即可求得k=2．
本题考查抛物线的方程的运用，联立直线和抛物线方程，消去未知数，运用韦达定理和
中点坐标公式，注意判别式大于0，属于中档题．
14.
解：
利用椭圆定义得
a+c=2×5=10b=2×4=8由正弦定理得
=
故答案为
先利用椭圆的定义求得a+c，进而由正弦定理把原式转换成边的问题，进而求得答案．
本题主要考查了椭圆的定义和正弦定理的应用．考查了学生对椭圆的定义的灵活运用．
15.
解：
将椭圆的方程转化为标准形式为
，
显然
k-2＞10-k，即
k＞6，
，解得
k=8故答案为：
8．
16.
利用椭圆定义，求出2a，得出a，可求得椭圆的标准方程．
本题考查了椭圆方程的求法，是基础题，解题时要注意椭圆的简单性质的合理运用．
17.
（1）由椭圆的离心率为，短轴长为4，列出方程组，能求出椭圆方程．
（2）联立，得5x2+16x=0，由此能求出弦长|AB|．
本题考查椭圆方程的求法，考查弦长的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．
18.
（1）设出双曲线的标准方程，利用双曲线渐近线方程为y=±x，且焦距为4，求出
几何量，即可求双曲线的标准方程；
（2）利用点差法，求出直线的斜率，即可求直线L方程．
本题考查双曲线的标准方程，考查直线与双曲线的位置关系，考查学生的计算能力，属于中档题．
19.
（1）抛物线的标准方程是y2=6x，焦点在x轴上，开口向右，2p=6，即可求出抛物线的焦点坐标和准线方程，
（2）先根据题意给出直线l的方程，代入抛物线，求出两交点的横坐标的和，然后利用焦半径公式求解即可．
本题考查了直线与抛物线的位置关系中的弦长问题，
因为是过焦点的弦长问题，
所以利
用了焦半径公式．属于基础题．
20.
（1）利用直线l：
y=bx+2与圆x2+y2=2相切，求出b，利用椭圆的离心率求出
a，得到
椭圆方程．
（2）直线y=kx+2代入椭圆方程，消去
y可得：
（1+3k2）x2+12kx+9=0，设C（x1，y1），
D（x，y
），则利用韦达定理结合
EC⊥ED，求解k，说明存在实数
使得以CD为
2
2
直径的圆过定点
E．
本题考查椭圆的简单性质的应用，
直线与椭圆的位置关系的应用，
考查存在性问题的处
理方法，设而不求的应用，考查计算能力．
21.
（1）由方程组
2
2
，由此利用根的判别式能求出实数
m
，得5x
+2mx+m-1=0
的取值范围．
（2）设直线L和椭圆C相交于两点A（x1，y1），B（x2，y2），由韦达定理求出弦长
|AB|=
，由此能求出当
=0时，|AB|取得最大值，此时直线
L方程为
=．
m
yx
本题考查实数的取值范围的求法，考查直线方程的求法，解题时要认真审题，注意根的判别式、韦达定理、弦长公式的合理运用．
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