[题组训练]
1．已知函数f（x）满足以下两个条件：
①任意x1，x2∈（0，＋∞）且x1≠x2，（x1－x2）·[f（x1）－f（x2）]<0；②对定义域内任意x有f（x）＋f（－x）＝0，则符合条件的函数是（ ）
A．f（x）＝2xB．f（x）＝1－|x|
C．f（x）＝－x3D．f（x）＝ln（x2＋3）
解析：
选C 由条件①可知，f（x）在（0，＋∞）上单调递减，则可排除A、D选项，由条件②可知，f（x）为奇函数，则可排除B选项，故选C.
2．（2018·石家庄一模）设f（x）是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，且在[－2b,0]上为增函数，则f（x－1）≥f（3）的解集为（ ）
A．[－3,3]B．[－2,4]
C．[－1,5]D．[0,6]
解析：
选B 因为f（x）是定义在[－2b,3＋b]上的偶函数，
所以有－2b＋3＋b＝0，解得b＝3，
由函数f（x）在[－6,0]上为增函数，得f（x）在（0,6]上为减函数，故f（x－1）≥f（3）⇒f（|x－1|）≥f（3）⇒|x－1|≤3，故－2≤x≤4.
[典例] （2017·山东高考）已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x＋4）＝f（x－2）．若当x∈[－3,0]时，f（x）＝6－x，则f（919）＝________.
[解析] ∵f（x＋4）＝f（x－2），
∴f（x＋6）＝f（x），∴f（x）的周期为6，
∵919＝153×6＋1，∴f（919）＝f
（1）．
又f（x）为偶函数，∴f（919）＝f
（1）＝f（－1）＝6.
[答案] 6
[解题技法]
已知f（x）是周期函数且为偶函数，求函数值，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内，把未知区间上的函数性质转化为已知区间上的函数性质求解．
[题组训练]
1．已知定义在R上的奇函数f（x）满足f（x）＝－f，且f
（1）＝2，则f（2018）＝________.
解析：
因为f（x）＝－f，所以f（x＋3）＝f＝－f＝f（x）．
所以f（x）是以3为周期的周期函数．
则f（2018）＝f（672×3＋2）＝f
（2）＝f（－1）＝－f
（1）＝－2.
答案：
－2
2．已知f（x）是定义在R上以3为周期的偶函数，若f
（1）<1，f（5）＝2a－3，则实数a的取值范围为________．
解析：
∵f（x）是定义在R上的周期为3的偶函数，∴f（5）＝f（5－6）＝f（－1）＝f
（1），∵f
（1）<1，f（5）＝2a－3<1，即a<2.
答案：
（－∞，2）
考点三 函数性质的综合应用
[典例]
（1）（2018·全国卷Ⅱ）已知f（x）是定义域为（－∞，＋∞）的奇函数，满足f（1－x）＝f（1＋x）．若f
（1）＝2，则f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝（ ）
A．－50 B．0
C．2D．50
（2）定义在R上的奇函数f（x）满足f＝f（x），当x∈时，f（x）＝log
（1－x），则f（x）在区间内是（ ）
A．减函数且f（x）>0B．减函数且f（x）<0
C．增函数且f（x）>0D．增函数且f（x）<0
[解析]
（1）法一：
∵f（x）是奇函数，
∴f（－x）＝－f（x），
∴f（1－x）＝－f（x－1）．
由f（1－x）＝f（1＋x），得－f（x－1）＝f（x＋1），
∴f（x＋2）＝－f（x），
∴f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
∴函数f（x）是周期为4的周期函数．
由f（x）为奇函数得f（0）＝0.
又∵f（1－x）＝f（1＋x），
∴f（x）的图象关于直线x＝1对称，
∴f
（2）＝f（0）＝0，∴f（－2）＝0.
又f
（1）＝2，∴f（－1）＝－2，
∴f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＝f
（1）＋f
（2）＋f（－1）＋f（0）＝2＋0－2＋0＝0，
∴f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）＋…＋f（49）＋f（50）
＝0×12＋f（49）＋f（50）
＝f
（1）＋f
（2）＝2＋0＝2.
法二：
由题意可设f（x）＝2sin，作出f（x）的部分图象如图所示．由图可知，f（x）的一个周期为4，所以f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋…＋f（50）＝12[f
（1）＋f
（2）＋f（3）＋f（4）]＋f（49）＋f（50）＝12×0＋f
（1）＋f
（2）＝2.
（2）当x∈时，由f（x）＝log
（1－x）可知，f（x）单调递增且f（x）>0，又函数f（x）为奇函数，所以f（x）在区间上也单调递增，且f（x）<0.由f＝f（x）知，函数的周期为，所以在区间上，函数f（x）单调递增且f（x）<0.
[答案]
（1）C
（2）D
[解题技法]
（1）函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在x＝0处有定义，则一定有f（0）＝0；偶函数一定有f（|x|）＝f（x）”在解题中的应用．
（2）解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．
[题组训练]
1．定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0,2）上单调递减，则下列结论正确的是（ ）
A．0（1）（1）
C．f
（1）<0（1）<0
解析：
选C 由函数f（x）是定义在R上的奇函数，得f（0）＝0.
由f（x＋2）＝－f（x），
得f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
故函数f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（3）＝f（－1）．
又f（x）在[0,2）上单调递减，
所以函数f（x）在（－2,2）上单调递减，
所以f（－1）>f（0）>f
（1），
即f
（1）<02．已知函数y＝f（x）的定义域为R，且满足下列三个条件：
①对任意的x1，x2∈[4,8]，当x10恒成立；②f（x＋4）＝－f（x）；③y＝f（x＋4）是偶函数．若a＝f（6），b＝f（11），c＝f（17），则a，b，c的大小关系正确的是（ ）
A．aC．a解析：
选B 由①知函数f（x）在区间[4,8]上单调递增．由②知f（x＋8）＝－f（x＋4）＝f（x），所以函数f（x）的周期为8，所以b＝f（11）＝f（3），c＝f（17）＝f（2×8＋1）＝f
（1）．由③可知f（x）的图象关于直线x＝4对称，所以b＝f（11）＝f（3）＝f（5），c＝f
（1）＝f（7）．因为函数f（x）在区间[4,8]上单调递增，所以f（5）A级——保大分专练
1．（2019·长春质检）下列函数中，既是奇函数又在（0，＋∞）上单调递增的是（ ）
A．y＝ex＋e－x B．y＝ln（|x|＋1）
C．y＝D．y＝x－
解析：
选D 选项A，B显然是偶函数，排除；选项C是奇函数，但在（0，＋∞）上不是单调递增函数，不符合题意；选项D中，y＝x－是奇函数，且y＝x和y＝－在（0，＋∞）上均为增函数，故y＝x－在（0，＋∞）上为增函数，所以选项D正确．
2．下列函数中，与函数y＝－2x的定义域、单调性与奇偶性均一致的函数是（ ）
A．y＝cosxB．y＝x
C．y＝D．y＝
解析：
选D 函数y＝－2x为奇函数，且在R上单调递减．函数y＝cosx是偶函数，且在R上不单调．函数y＝x是奇函数，但在R上单调递增．函数y＝的定义域是{x|x≠0}，不是R.画出函数y＝的大致图象如图所示，可知该函数是奇函数，且在R上单调递减．故选D.
3．已知定义在R上的奇函数f（x）有f＋f（x）＝0，当－≤x≤0时，f（x）＝2x＋a，则f（16）的值为（ ）
A.B．－
C.D．－
解析：
选A 由f＋f（x）＝0，得f（x）＝－f＝f（x＋5），
∴f（x）是以5为周期的周期函数，
∴f（16）＝f（1＋3×5）＝f
（1）．
∵f（x）是R上的奇函数，
∴f（0）＝1＋a＝0，∴a＝－1.
∴当－≤x≤0时，f（x）＝2x－1，
∴f（－1）＝2－1－1＝－，
∴f
（1）＝，∴f（16）＝.
4．已知函数f（x）是奇函数，在（0，＋∞）上是减函数，且在区间[a，b]（aA．有最大值4B．有最小值－4
C．有最大值－3D．有最小值－3
解析：
选B 法一：
根据题意作出y＝f（x）的简图，由图知，选B.
法二：
当x∈[－b，－a]时，－x∈[a，b]，
由题意得f（b）≤f（－x）≤f（a），即－3≤－f（x）≤4，
∴－4≤f（x）≤3，即在区间[－b，－a]上，f（x）min＝－4，f（x）max＝3，故选B.
5．（2018·惠州一调）已知定义域为R的偶函数f（x）在（－∞，0]上是减函数，且f
（1）＝2，则不等式f（log2x）>2的解集为（ ）
A．（2，＋∞）B.∪（2，＋∞）
C.∪（，＋∞）D．（，＋∞）
解析：
选B 因为f（x）是R上的偶函数，且在（－∞，0]上是减函数，
所以f（x）在[0，＋∞）上是增函数，
所以f（log2x）>2＝f
（1）⇔f（|log2x|）>f
（1）⇔|log2x|>1⇔log2x>1或log2x<－1⇔x>2或06．（2019·合肥调研）定义在R上的奇函数f（x）满足f（x＋2）＝－f（x），且在[0,1]上是减函数，则有（ ）
A．fB．fC．fD．f解析：
选C 因为f（x＋2）＝－f（x），所以f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），所以函数的周期为4，作出f（x）的草图，如图，由图可知f7．设f（x）是周期为2的奇函数，当0≤x≤1时，f（x）＝2x（1－x），则f＝________.
解析：
f＝f＝f＝－f＝－.
答案：
－
8．（2018·合肥二模）设f（x）是定义在R上以2为周期的偶函数，当x∈[0,1]时，f（x）＝log2（x＋1），则函数f（x）在[1,2]上的解析式是________________．
解析：
令x∈[－1,0]，则－x∈[0,1]，结合题意可得f（x）＝f（－x）＝log2（－x＋1），
令x∈[1,2]，则x－2∈[－1,0]，故f（x）＝log2[－（x－2）＋1]＝log2（3－x）．
故函数f（x）在[1,2]上的解析式是f（x）＝log2（3－x）．
答案：
f（x）＝log2（3－x）
9．已知定义在R上的奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）内单调递增，且f＝0，则f（x）>0的解集为_______________．
解析：
由奇函数y＝f（x）在（0，＋∞）内单调递增，且f＝0，可知函数y＝f（x）在（－∞，0）内单调递增，且f＝0.由f（x）>0，可得x>或－答案：
10．已知函数f（x）为偶函数，且函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，若g（3）＝2，则f（－2）＝________.
解析：
因为函数f（x）与g（x）的图象关于直线y＝x对称，且g（3）＝2，所以f
（2）＝3.因为函数f（x）为偶函数，所以f（－2）＝f
（2）＝3.
答案：
3
11．设f（x）是定义域为R的周期函数，最小正周期为2，且f（1＋x）＝f（1－x），当－1≤x≤0时，f（x）＝－x.
（1）判断f（x）的奇偶性；
（2）试求出函数f（x）在区间[－1,2]上的表达式．
解：
（1）∵f（1＋x）＝f（1－x），∴f（－x）＝f（2＋x）．
又f（x＋2）＝f（x），∴f（－x）＝f（x）．
又f（x）的定义域为R，∴f（x）是偶函数．
（2）当x∈[0,1]时，－x∈[－1,0]，则f（x）＝f（－x）＝x；
从而当1≤x≤2时，－1≤x－2≤0，
f（x）＝f（x－2）＝－（x－2）＝－x＋2.
故f（x）＝
12．设函数f（x）是（－∞，＋∞）上的奇函数，f（x＋2）＝－f（x），当0≤x≤1时，f（x）＝x.
（1）求f（π）的值；
（2）当－4≤x≤4时，求函数f（x）的图象与x轴所围成图形的面积．
解：
（1）由f（x＋2）＝－f（x）得，f（x＋4）＝f[（x＋2）＋2]＝－f（x＋2）＝f（x），
所以f（x）是以4为周期的周期函数，
所以f（π）＝f（－1×4＋π）＝f（π－4）＝－f（4－π）＝－（4－π）＝π－4.
（2）由f（x）是奇函数且f（x＋2）＝－f（x），
得f[（x－1）＋2]＝－f（x－1）＝f[－（x－1）]，即f（1＋x）＝f（1－x）．
故函数y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称．
又当0≤x≤1时，f（x）＝x，且f（x）的图象关于原点成中心对称，则f（x）的图象如图所示．
当－4≤x≤4时，设f（x）的图象与x轴围成的图形面积为S，
则S＝4S△OAB＝4×＝4.
B级——创高分自选
1．已知f（x）是定义在R上的偶函数，且f（x）在（0，＋∞）上单调递增，则（ ）
A．f（0）>f（log32）>f（－log23）
B．f（log32）>f（0）>f（－log23）
C．f（－log23）>f（log32）>f（0）
D．f（－log23）>f（0）>f（log32）
解析：
选C ∵log23>log22＝1＝log33>log32>0，且函数f（x）在（0，＋∞）上单调递增，
∴f（log23）>f（log32）>f（0），又函数f（x）为偶函数，∴f（log23）＝f（－log23），
∴f（－log23）>f（log32）>f（0）．
2．定义在实数集R上的函数f（x）满足f（x）＋f（x＋2）＝0，且f（4－x）＝f（x）．现有以下三种叙述：
①8是函数f（x）的一个周期；
②f（x）的图象关于直线x＝2对称；
③f（x）是偶函数．
其中正确的序号是________．
解析：
由f（x）＋f（x＋2）＝0，得f（x＋2）＝－f（x），
则f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），
即4是f（x）的一个周期，8也是f（x）的一个周期，故①正确；
由f（4－x）＝f（x），得f（x）的图象关于直线x＝2对称，故②正确；
由f（4－x）＝f（x）与f（x＋4）＝f（x），
得f（4－x）＝f（－x），f（－x）＝f（x），
即函数f（x）为偶函数，故③正确．
答案：
①②③
3．设f（x）是定义在R上的偶函数，其图象关于直线x＝1对称，对任意x1，x2∈，都有f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2）．
（1）设f
（1）＝2，求f，f；
（2）证明：
f（x）是周期函数．
解：
（1）由f（x1＋x2）＝f（x1）·f（x2），x1，x2∈，知f（x）＝f·f≥0，x∈[0,1]．
∵f
（1）＝f＝f·f＝2，f
（1）＝2，
∴f＝2
.
∵f＝f＝f·f＝2，f＝2
，
∴f＝2
.
（2）证明：
依题设，y＝f（x）关于直线x＝1对称，
∴f（x）＝f（2－x）．
又∵f（－x）＝f（x），∴f（－x）＝f（2－x），∴f（x）＝f（2＋x），
∴f（x）是定义在R上的周期函数，且2是它的一个周期．
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