八年级数学上册 第一章 勾股定理教学案 北师大版.docx

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八年级数学上册第一章勾股定理教学案北师大版

2019-2020年八年级数学上册第一章勾股定理教学案北师大版

师生随笔

一、教材分析：

勾股定理揭示了直角三角形三边之间的一种美妙关系，将形与数密切联系起来，在数学的发展和现实世界中有着广泛的作用。

本节是直角三角形相关知识的延续，同时也是学生认识无理数的基础，充分体现了数学知识承前启后的紧密相关性、连续性。

此外，历史上勾股定理的发现反映了人类杰出的智慧，其中蕴涵着丰富的科学与人文价值。

二、教学目标：

1、知识与技能：

掌握直角三角形三边之间的数量关系，学会用符号表示。

通过分层训练，使学生学会熟练运用勾股定理进行简单的计算，在解决实际问题中掌握勾股定理的应用技能。

2、过程与方法：

让学生经历用数格子与割补等办法探索勾股定理的过程，体会数形结合的思想，体验从特殊到一般的逻辑推理过程。

3、情感态度与价值观：

通过数学史上对勾股定理的介绍，激发学生学数学，爱数学，做数学的情感。

使学生从经历定理探索的过程中，感受数学之美，探究之趣。

三、重点与难点：

重点：

用面积法探索勾股定理，理解并掌握勾股定理。

难点：

计算以斜边为边长的大正方形C面积及割补思想的理解与应用。

四、教法与学法：

自主探究、合作交流

5、教学准备：

PPT、一案两单

六、教学过程

【科学导入】

问题情境和单元知识树的形式导入

【呈现目标】

经历探索勾股定理的过程，初步掌握勾股定理的内容，并会简单应用，体会数形结合思想。

【释疑巩固】

一、问题一：

1、

（1）小组中1,4,5号在纸上作一个直角三角形，使其两个直角边的长分别为3和4，然后测量其斜边的长度是多少？

计算该直角三角形三条边的平方，观察一下它们有什么关系？

（2）2,3,6号在纸上作一个直角三角形，使其两个直角边的长分别为6和8，然后测量其斜边的长度是多少？

计算该直角三角形三条边的平方，观察一下它们有什么关系？

二、问题二：

1、等腰直角三角形

观察图1，图2，对于等腰直角三角形，将正方形A、正方形B和正方形C的面积填入下表，它们的面积有什么关系？

重点思考：

正方形C的面积是怎么求的。

等腰直角三角形

正方形A的面积

正方形B的面积

正方形C的面积

图1（填数值）

图2（填数值）

用三角形的边长a，b，c表示面积

图2

图1

（图中每个小方格代表一个单位面积）

结论：

（1），，面积关系：

；

（2）直角三角形边长关系：

三、问题三：

2、直角边长为整数的一般直角三角形

观察图3，图4，对于直角边长为整数的一般直角三角形，正方形A、正方形B、正方形C面积又有什么关系呢？

重点思考：

正方形C的面积是怎么求的。

一般直角三角形

正方形A的面积

正方形B的面积

正方形C的面积

图3（填数值）

图4（填数值）

用三角形的边长a，b，c表示面积

结论：

（1），，面积关系：

；

（2）直角三角形边长关系：

四、问题四：

3、任意直角三角形

如果直角三角形的两直角边分别为1.6个单位长度和2.4个单位长度，上面所猜想的数量关系还成立吗？

说说你的理由。

4.用文字语言表述勾股定理的内容并写出它的数学表达式。

A

c

bc

CaB

五、反馈：

一根旗杆在离地9米处断裂，旗杆顶部落在离旗杆底部12米处，旗杆折断之前有多高？

选作：

如图，已知：

AB=AC=5，BC=6，求等腰三角形ABC的面积

六、问题五：

通过本节课的学习你还有那些未解决的问题？

七、盘点提升

完善知识树：

探索勾股定理

能力和情感盘点：

八、【达标测试】（10分）

1、如图，隔湖有两点A，B，从与BA方向成直角的BC方向上的点C，测得CA=50m，CB=30m，求AB.

选作：

1、若直角三角形中，有两边长是3和4，则第三边长的平方为

2、小明的妈妈买来一部29英寸（74厘米）的电视机，小明量了电视机的荧屏后，发现荧屏只有58厘米长46厘米宽，他认为售货员搞错了．对不对？

（582=3364462=211674.032≈5480）

【延伸拓展】

1、巩固性作业：

2、预习性作业：

3、实践性作业：

4、自选性作业：

八、自我反思：

【相关链接】

未解决问题：

一、教材分析：

学生在七年级已经学习了整式的加、减、乘、除运算和等式的基本性质，并能进行简单的恒等变形；上节课又已经通过测量和数格子的方法，对具体的直角三角形探索并发现了勾股定理，但没有对一般的直角三角形进行验证.

教师随笔

二、教学目标：

（全员参与，人人掌握）

1、知识与技能:

掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

2、数学思考:

在上节课对具体的直角三角形探索发现了勾股定理的基础上，经历勾股定理的验证过程，体会数形结合的思想和从特殊到一般的思想.

3、问题解决:

在勾股定理的验证活动中，培养探究能力和合作精神；

4、情感态度:

通过对勾股定理历史的了解，感受数学文化

三、重点与难点：

重点：

掌握勾股定理及其验证，并能应用勾股定理解决一些实际问题.

难点：

应用勾股定理解决一些实际问题

四、教法与学法

自主探究、合作交流，实验探究

五、教学准备

六、教学过程

【问题导入】（最多5分钟）

1.复习巩固：

勾股定理的内容？

求出下列直角三角形中未知边的长度。

【呈现目标】

用面积法验证勾股定理，应用勾股定理解决简单的实际问题

【释疑巩固】

2.问题探究一

你能用图1-5,1-6验证勾股定理吗？

（1）将图1-5，图1-6中所有三角形和正方形的面积用a,b,c的关系式表示出来.

（2）图1-5，图1-6中正方形ABCD的面积分别是多少？

你们有哪些表示方式？

（3）分别用图1-5，图1-6验证勾股定理.

3.问题反馈一

观察下图,用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足a2+b2=c2.

4.问题探究二

我方侦查员小王在距离东西向公路400米处侦查，发现一辆地方汽车在公路上疾驶。

他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相聚400米，10s后，汽车与他相聚500米，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗？

5.问题反馈二

问题三：

学生质疑问题

【盘点提升】

知识盘点：

（完善知识树）

能力与情感盘点：

【达标测试】（当堂完成，要设置分值）

1必做题：

飞机在空中水平飞行，某一时刻刚好飞到一个男孩子头顶上方4000米处，过了20秒，飞机距离这个男孩子头顶5000米，飞机每小时飞行多少千米？

2选做题：

一个直角三角形的斜边为20cm ,且两直角边长度比为3:

4，求两直角边的长。

3思考题：

在一张纸上复制四个全等的直角三角形，通过拼图的方法验证勾股定理。

你有哪些方法？

【延伸拓展】

1、巩固性作业：

2、预习性作业：

3、实践性作业：

4、自选性作业：

七、自我反思：

【相关链接】

未解决问题：

一、教材分析：

学生已经了勾股定理，并在先前其他内容学习中已经积累了一定的逆向思维、逆向研究的经验，如：

已知两直线平行，有什么样的结论？

反之，满足什么条件的两直线是平行？

因而，本课时由勾股定理出发逆向思考获得逆命题，学生应该已经具备这样的意识，但具体研究中，可能要用到反证等思路，对现阶段学生而言可能还具有一定困难，需要教师适时的引导。

教师随笔

二、教学目标：

（全员参与，人人掌握）

1、知识与技能:

理解勾股定理逆定理的具体内容及勾股数的概念；

2、数学思考:

能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；

3、问题解决:

经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力；

4、情感态度:

体验生活中的数学的应用价值，感受数学与人类生活的密切联系，激发学生学数学、用数学的兴趣；

三、重点与难点：

重点：

理解勾股定理逆定理的具体内容。

难点：

能根据所给三角形三边的条件判断三角形是否是直角三角形；

四、教法与学法

自主探究、合作交流，实验探究

五、教学准备

六、教学过程

【问题导入】（最多5分钟）

1.复习巩固

什么是勾股定理？

可以用来干什么？

举例说明。

【呈现目标】

1.掌握勾股定理逆定理的内容，并能运用勾股定理逆定理判断三角形是否是直角三角形；

2.理解勾股数的概念。

【释疑巩固】

2.问题探究一

（1）下列的每组数分别是一个三角形的三边长a、b、c，而且都满足：

3，4，5；6，8，10；5，12，13；分别以每组数为三边长作三角形，用量角器量一量，他们都是直角三角形吗？

有同学认为测量结果可能有误差,不同意这个发现.你觉得这个发现正确吗?

你能给出一个更有说服力的理由吗?

（2）勾股定理逆定理的内容是什么？

举例说明什么是勾股数？

3.问题反馈一

一个零件的形状如图所示，根据图中数据，你能判定∠A和∠DBC是否为直角吗？

说说你的依据。

4.问题探究二

已知三角形的三边长，如何判断这个三角形是否为直角三角形？

如果是直角三角形，如何判断哪个角是直角？

与同伴交流一下吧。

6.问题反馈二

（1）已知、、是△ABC的三条边，依据下列条件，判断△ABC是否为直角三角形?

如果是,请指出直角.

（1）a=9，b=12，c=15；

（2）a=12，b=22，c=18。

（2）如图，在方格纸上画了一个△ABC,试判断△ABC是否为直角三角形，说明理由.

问题三：

学生质疑问题

【盘点提升】

知识盘点：

（完善知识树）

能力与情感盘点：

【达标测试】（当堂完成，要设置分值）

必做题

1．下列几组数能作为直角三角形的三边长的是（）。

（1）9、12、15；

（2）12、18、22；（3）12、35、36；（4）0.3、0.4、0.5；

2.下列说法正确的有（）个。

（1）在△ABC中,若∠A=∠C—∠B,则△ABC是直角三角形.

（2）在△ABC中,若,则△ABC是直角三角形.

（3）在△ABC中,若∠A:

∠B:

∠C=5:

2:

3,则△ABC是直角三角形.

（4）在△ABC中,若,则△ABC不是直角三角形.

A.1B.2C.3D.4

选做题

3.如图,已知AB⊥BC,AB=4,BC=3,CD=13,AD=12；求四边形ABCD的面积.

思考题

给你一根绳子，没有其他工具，你能方便地得到一个直角吗？

【延伸拓展】

1、巩固性作业：

2、预习性作业：

3、实践性作业：

4、自选性作业：

七、自我反思：

【相关链接】

未解决问题：

一、教材分析：

本节将利用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，其中需要学生了解空间图形、对一些空间图形进行展开、折叠等活动．学生在学习七年级上第一章时对生活中的立体图形已经有了一定的认识，并从事过相应的实践活动，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．

教师随笔

二、教学目标：

（全员参与，人人掌握）

1、知识与技能:

通过观察图形，探索图形间的关系，发展学生的空间观念．

2、数学思考:

在将实际问题抽象成数学问题的过程中，提高分析问题、解决问题的能力及渗透数学建模的思想．

3、问题解决:

在利用勾股定理解决实际问题的过程中，体验数学学习的实用性．

4、情感态度:

体验数学学习的实用性．

三、重点与难点：

重点：

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题

难点：

利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题

四、教法与学法

自主探究、合作交流，实验探究

五、教学准备

六、教学过程

【问题导入】（最多5分钟）

1.复习巩固

什么是勾股定理？

什么是勾股定理的逆定理？

分别是用来干什么的？

【呈现目标】

运用勾股定理及直角三角形的判别条件解决简单的实际问题；在解决实际问题的过程中，学会从“形”到“数”和从“数”到“形”的转化，进一步加强转化、推理能力。

【释疑巩固】

2.问题探究一

（1）借助自己准备的圆柱体模型，尝试从A点到B点沿圆柱的侧面画出几条路线，你觉得哪条路线最短呢？

（小组讨论）

如图：

有一个圆柱，它的高为12厘米，底面半径为3厘米，在圆柱下底面的A点有一只蚂蚁，它想吃到上底面相对的B点处的食物，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

（π的值取3）

（2）如图，将圆柱侧面剪开展开成一个长方形，从A点到B点的最短路线是什么?

（3）蚂蚁从A点出发，想吃到B点上的食物，它沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

3.问题反馈一

李叔叔想要检测雕塑（图1-13）底座正面的AD边和BC边是否分别垂直底边AB，但他随身只带了卷尺。

（1）你能替他想办法完成任务吗？

（2）李叔叔量得AD的长是30厘米，AB的长是40厘米，BD长是50厘米.AD边垂直于AB边吗？

（3）小明随身只有一个长度为20厘米的刻度尺，他能

有办法检验AD边是否垂直于AB边吗？

BC边与AB边呢？

4.问题探究二

一个无盖的长方体盒子的长、宽、高分别为8cm、8cm、12cm，一只蚂蚁想从盒底的A点爬到盒顶的B点，蚂蚁要爬行的最短行程是多少？

7.问题反馈二

图1-14是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，则刚好与AB一样长。

已知滑梯的高度CE=3m，CD=1m，试求滑道AC的长。

问题三：

学生质疑问题

【盘点提升】

说明：

落实四维目标。

知识盘点：

（完善知识树）

能力与情感盘点：

【达标测试】（当堂完成，要设置分值）

必做题

1.如图，在一个长6m、宽3m、高2m的房间里放进一根竹竿，则这根竹竿最长为（）

A.4mB.7mC.2mD.8m

2.满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是

A.b2=c2－a2B.a∶b∶c=3∶4∶5

C.∠C=∠A－∠BD.∠A∶∠B∶∠C=12∶13∶15

3.如图，有一个高1.5米，半径是1米的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分是0.5米，问这根铁棒应有多长？

选做题

在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：

有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？

思考题

借助勾股定理，利用升旗的绳子、卷尺，请你设计一个方案，并测算出旗杆的高度。

【延伸拓展】

1、巩固性作业：

2、预习性作业：

3、实践性作业：

4、自选性作业：

七、自我反思：

【相关链接】

未解决问题：

一、教材分析：

通过前面三节的学习，学生已经基本掌握了勾股定理及逆定理的知识，并能应用勾股定理及其逆定理解决一些具体的实际问题，因而学生已经具备解决本课问题所需的知识基础和活动经验基础．同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力．

教师随笔

二、教学目标：

（全员参与，人人掌握）

1、知识与技能:

让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，体会勾股定理及其逆定理的广泛应用．

2、数学思考:

在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

3、情感态度:

在反思和交流的过程中，体验学习带来的无尽的乐趣．通过对勾股定理历史的再认识，培养爱国主义精神，体验科学给人来带来的力量．

三、重点与难点：

重点：

在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

难点：

在回顾与思考的过程中，提高解决问题，反思问题的能力．

四、教法与学法

自主探究、合作交流，实验探究

五、教学准备

六、教学过程

【问题导入】（最多5分钟）

【呈现目标】

熟记勾股定理及勾股定理逆定理的内容，并会应用其解决实际问题。

【释疑巩固】

知识梳理

1．勾股定理：

如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么__________.

2．勾股定理各种表达式：

在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边也分别为a，b，c，则c=_________，b=_________，a=_________.

3．勾股定理的逆定理：

在△ABC中，若a、b、c三边满足___________，则△ABC为___________.

4．勾股数：

满足________的三个________，称为勾股数.

5．几何体上的最短路程是将立体图形的________展开，转化为_________上的路程问题，再利用___________两点之间，___________,解决最短线路问题.

6．直角三角形的边、角之间分别存在着什么关系？

7．举例说明，如何判断一个三角形是直角三角形．

8．通过前面的几个问题，请同学们自己建立本章的知识树．

典题引导

例1：

已知直角三角形的两边长分别为3、4，求第三边长的平方．

例2：

如图，直角三角形三边上的半圆面积之间有什么关系？

例3：

如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表明从点A爬到点B，需要爬行的最短路程是多少？

例4：

一架云梯长25米，如图那样斜靠在一面墙上，云梯底端离墙7米。

（1）这架云梯的顶端距地面有多高？

（2）如果云梯的底端下滑了4米，那么它的底部在水平方向也滑动了4米吗？

【盘点提升】

知识盘点：

（完善知识树）

能力与情感盘点：

【达标测试】（当堂完成，要设置分值）

必做题：

1、如图，BC长为3cm，AB长为4cm，AF长为12cm。

求正方形CDEF的面积。

2、判断下列几组数能否作为直角三角形的三边长。

（1）8,,15,17

（2）7,12,15

3、一艘帆船由于风向的原因先向正东方向航行了160km，然后向正北方向航行了120km，这时它离出发点有多远？

【延伸拓展】

1、巩固性作业：

2、预习性作业：

七、自我反思：

【相关链接】

未解决问题：

2019-2020年八年级数学上册第七章平行线的证明（第2课时）教学案（无答案）（新版）北师大版

课题

第七章平行线的证明

第2课时

时间

课型

复习课

教具

卷纸

学习

目标

知识与能力

考察学生对平行线的证明的理解、掌握情况。

过程与方法

通过测试，考察学生对平行线的证明的应用能力。

情感态度价值观

通过测试，考察学生分析问题、解决问题的能力。

教学重点

检测学生对平行线的证明的理解、掌握情况。

教学难点

检测学生分析问题，应用知识解决问题的准确性、灵活性。

教法学法

测试、讲评

教学环节

教学过程

设计意图

《平行线的证明》单元检测

一、填空题

1．在△ABC中，∠C=2（∠A+∠B），则∠C=________。

2．如图，AB∥CD,直线EF分别交AB、CD于E、F，EG平分

∠BEF，若∠1=72º，则∠2=。

3．在△ABC中，∠BAC＝90º，AD⊥BC于D，则∠B与∠DAC的大小关系是________。

4．写出“同位角相等，两直线平行”的题设为_______，结论为_______。

5．如图，已知AB∥CD，BC∥DE，那么∠B+∠D=____。

6．如图，∠1＝27º，∠2＝95º，∠3＝38º，则∠4＝_______。

7．如图，写出两个能推出直线AB∥CD的条件____________________。

8．满足一个外角等于和它相邻的一个内角的△ABC是_____________。

二、选择题

9．下列语句是命题的是【】

（A）延长线段AB（B）你吃过午饭了吗？

（C）直角都相等（D）连接A，B两点

10．如图，已知∠1＋∠2＝180º，∠3＝75º，那么∠4的度数是【】

（A）75º（B）45º（C）105º（D）135º

11．以下四个例子中,不能作为反例说明“一个角的余角大于这个角”

是假命题是【】

（A）设这个角是30º，它的余角是60°，但30°<60°

（B）设这个角是45°，它的余角是45°，但45°＝45°

（C）设这个角是60°，它的余角是30°，但30°<60°

（D）设这个角是50°，它的余角是40°，但40°<50°

12．若三角形的一个内角等于另外两个内角之差，则这个三角形是【】

（A）锐角三角形（B）直角三角形（C）钝角三角形（D）不能确定

13．如图，△ABC中，∠B=55°,∠C=63°,DE∥AB,

则∠DEC等于【】

（A）63°（B）118°

（C）55°（D）62°

14．三角形的一个外角是锐角，则此三角形的形状是【】

（A）锐角三角形（B）钝角三角形（C）直角三角形（D）无法确定

三、解答题

15．如图，AD=CD，AC平分∠DAB，求证DC∥AB。

16．如图，已知∠1＝20°，∠2＝25°，∠A=55°，求∠BDC的度数。

17．如图，BE，CD相交于点A，∠DEA、∠BCA的平分线相交于F。

（1）探求：

∠F与∠B、∠D有何等量关系？

（2）当∠B︰∠D︰∠F=2︰4︰x时，x为多少？

18．如图，已知点A在直线l外，点B、C在直线l上。

（1）点P是△ABC内一点，求证：

∠P>∠A;

（2）试判断：

在△ABC外又和点A在直线l同侧，是否存在一点Q，使∠BQC>∠A？

试证明你的结论。

19、如图，AD⊥BC，EF⊥BC，∠3=∠C。

求证：

∠1=∠2。

教学

反思

8.1优秀：

10人，及格：

18人；8.3优秀：

12人，及格：

22人。

加强基础题的训练，抓及格率和平均分是教学的侧重点。