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离散傅里叶变换
第三章离散傅里叶变换
离散傅里叶变换不仅具有明确的物理意义,相对于DTFT他更便于用计算机处理。
但是,直至上个世纪六十年代,由于数字计算机的处理速度较低以及离散傅里叶变换的计算量较大,离散傅里叶变换长期得不到真正的应用,快速离散傅里叶变换算法的提出,才得以显现出离散傅里叶变换的强大功能,并被广泛地应用于各种数字信号处理系统中。
近年来,计算机的处理速率有了惊人的发展,同时在数字信号处理领域出现了许多新的方法,但在许多应用中始终无法替代离散傅里叶变换及其快速算法。
§3-1引言
一.DFT是重要的变换
1.分析有限长序列的有用工具。
2.在信号处理的理论上有重要意义。
3.在运算方法上起核心作用,谱分析、卷积、相关都可以通DFT在计算机上实现。
二.DFT是现代信号处理桥梁
DFT要解决两个问题:
一是离散与量化,
二是快速运算。
傅氏变换离散量化DFT(FFT)信号处理
§3-2傅氏变换的几种可能形式
一.连续时间、连续频率的傅氏变换-傅氏变换
对称性:
时域连续,则频域非周期。
反之亦然。
二.连续时间、离散频率傅里叶变换-傅氏级数
*时域周期为Tp,
频域谱线间隔为2π/Tp
三.离散时间、连续频率的傅氏变换
--序列的傅氏变换
四.离散时间、离散频率的傅氏变换--DFT
由上述分析可知,要想在时域和频域都是离散的,那么两域必须是周期的。
DFT的简单推演:
在一个周期内,可进行如下变换:
视作n的函数,
视作k的函数,
这样,
§3-3周期序列的DFS
一.周期序列DFS的引入
导出周期序列DFS的传统方法是从连续的周期信号的复数傅氏级数开始的:
对上式进行抽样,得:
,代入
又由于
所以求和可以在一个周期内进行,即
这就是说,当在k=0,1,...,N-1求和与在k=N,...,2N-1求和所得的结果是一致的。
二.的k次谐波系数的求法
1.预备知识
同样,当时,p也为任意整数,则
亦即
所以
2.的表达式
将式的两端乘
,然后从n=0到N-1求和,则:
通常将定标因子1/N移到表示式中。
即:
3.离散傅氏级数的习惯表示法
通常用符号代入,则:
正变换:
反变换:
4.的周期性与用Z变换的求法
周期性:
用Z变换的求:
对作Z变换,
如果,则有
可见,是Z变换在单位圆上抽样,抽样点在单位圆上的
N个等分点上,且第一个抽样点为k=0。
§3-4DFS的性质
一.线性
如果
则有
其中,a,b为任意常数。
二.序列的移位
如果
则有:
证明:
令i=m+n,则n=i-m。
n=0时,i=m;n=N-1时,i=N-1+m
所以
*和都是以N为周期的周期函数。
三.调制特性
如果
则有
证明:
时域乘以虚指数()的m次幂,频域搬移m,调制特性。
四.周期卷积和
1.如果
则:
2.两个周期序列的周期卷积过程
(1)画出和的图形;
(2)将翻摺,得到
可计算出:
(3)将右移一位、得到
可计算出:
(4)将再右移一位、得到,
可计算出:
(5)以此类推,
3.频域卷积定理
如果,则
§3-5DFT--有限长序列的离散频域表示
一.预备知识
1.余数运算表达式
如果,
m为整数;则有:
此运算符表示n被N除,商为m,余数为。
二.有限长序列x(n)和周期序列的关系
周期序列是有限长序列x(n)的周期延拓。
有限长序列x(n)是周期序列的主值序列。
如:
三.周期序列与有限长序列X(k)的关系
同样,周期序列是有限长序列X(k)的周期延拓。
而有限长序列X(k)是周期序列的主值序列。
四.从DFS到DFT
从上式可知,DFS,IDFS的求和只限定在n=0到n=N-1,及k=0到N-1的主值区间进行。
因此可得到新的定义,即有限序的离散傅氏变换(DFT)的定义。
或者:
§3-6DFT的性质
一.线性
1.两序列都是N点时
如果
则有:
2.和的长度N1和N2不等时,
选择为变换长度,短者进行补零达到N点。
二.序列的圆周移位
1.定义
一个有限长序列的圆周移位定义为
这里包括三层意思:
?
先将进行周期延拓
?
再进行移位
?
最后取主值序列:
2.圆周位移的含义
由于我们取主值序列,即只观察n=0到N-1这一主值区间,当某一抽样从此区间一端移出时,与它相同值的抽样又从此区间的另一端进来。
如果把排列一个N等分的圆周上,序列的移位就相当于在圆上旋转,故称作圆周移位。
当围着圆周观察几圈时,看到就是周期序列:
。
三、共轭对称性
1.周期序列共轭对称分量与共轭反对称分量
周期为N的周期序列的共轭对称分量与共轭反对
称分量分别定义为
同样,有
2.有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量
有限长序列的圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量分别定义为
由于
所以
这表明长为N的有限长序列可分解为两个长度相同的两个分量。
3.共轭对称特性之一
证明:
4.共轭对称特性之二
证明:
可知:
5.共轭对称特性之三
证明:
6.共轭对称特性之四
证明:
7.共轭对称特性之五、六
8.X(k)圆周共轭对称分量与圆周共轭反对称分量的对称性
9.实、虚序列的对称特性
当x(n)为实序列时,根据特性之三,则
X(k)=Xep(k)
又据Xep(k)的对称性:
当x(n)为纯虚序列时,根据特性之四,则
X(k)=Xop(k)
又据Xop(k)的对称性:
四.圆周卷积和
1.时域卷积定理
设和均为长度为N的有限长序列,
且,
五.有限长序列的线性卷积与圆周卷积
1.线性卷积
的长度为
的长度为
它们线性卷积为
的非零区间为
的非零区间为
两不等式相加得
也就是不为零的区间。
2.用圆周卷积计算线性卷积
圆周卷积是线性卷积的周期延拓序列的主值序列。
的长度为,的长度为,先构造长度均为L长的序
列,即将补零点;然后再对它们进行周期延拓,即
所以得到周期卷积:
§3-7抽样Z变换--频域抽样理论
一.如何从频域抽样恢复原序列
1.两种抽样
时域抽样:
对一个频带有限的信号,根据抽样定理对其进行抽样,所得抽样信号的频谱是原带限信号频谱的周期延拓,因此,完全可以由抽样信号恢复原信号。
频域抽样:
对一有限序列(时间有限序列)进行DFT所得x(k)就是序列傅氏变换的采样.所以DFT就是频域抽样。
2.由频域抽样恢复序列
一个绝对可和的非周期序列x(n)的Z变换为
由于x(n)绝对可和,故其傅氏变换存在且连续,也即其Z变换收敛域包括单位
圆。
这样,对X(Z)在单位圆上N等份抽样,就得到
3.频域抽样不失真的条件
?
当x(n)不是有限长时,无法周期延拓;
?
当x(n)为长度M,只有N?
M时,才能不失真的恢复信号,即
§3-8利用DFT对连续时间信号的逼近
一.用DFT计算连续时间信号的傅氏变换可能造成的误差
1.混叠现象
为避免混叠,由抽样定理可知,须满足
其中,为抽样频率;为信号的最高频率分量;
或者
其中,T为抽样间隔。
2.频谱泄漏
在实际应用中,通常将所观测的信号限制在一定的时间间隔内,也就是说,在时域对信号进行截断操作,或称作加时间窗,亦即用时间窗函数乘以信号,由卷积定理可知,时域相乘,频域为卷积,这就造成拖尾现象,称之为频谱泄漏。
3.栅栏效应
用DFT计算频谱时,只是知道为频率
的整数倍处的频谱。
在两个谱线之间的情况就不知道,这相当通过一个栅栏观察
景象一样,故称作栅栏效应。
补零点加大周期,可使F变小来提高辨力,以减少栅栏效应。
二.DFT与连续时间信号傅氏变换间相对数值的确定
1.连续时间非周期信号傅氏变换对
2.连续时间周期信号傅氏级数变换对
3.DFT变换时:
4.用DFT计算非周期信号的傅氏变换
用DFT计算所得的频谱分量乘以T,就等于频谱的正常幅度电平;
用IDFT计算非周期信号的傅氏反变换,再乘以就得到所需信号的正常幅
度电平。
所以,从时间到频率,再从频率到时间,整个过程总共乘了
幅度电平未受到影响。
用DFT计算所得的频谱分量乘以T的理由:
设
5.用DFT计算周期信号的傅氏级数
用DFT计算出的频谱分量乘以1/N等于周期信号的频谱的正常幅
度电平。
而用IDFT的计算结果乘以N才等于周期信号。