湖南省益阳市中考数学试题及解析.docx

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湖南省益阳市中考数学试题及解析

2017年湖南省益阳市中考数学试卷

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2017•益阳）下列实数中，是无理数的为（　　）

A．

B．

C．

D．

﹣3

2．（5分）（2017•益阳）下列运算正确的是（　　）

A．

x2•x3=x6

B．

（x3）2=x5

C．

（xy2）3=x3y6

D．

x6÷x3=x2

3．（5分）（2017•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（　　）

劳动时间（小时）

3.5

4.5

人数

A．

中位数是4，平均数是3.75

B．

众数是4，平均数是3.75

C．

中位数是4，平均数是3.8

D．

众数是2，平均数是3.8

4．（5分）（2017•益阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．

三棱锥

B．

三棱柱

C．

圆柱

D．

长方体

5．（5分）（2017•益阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）

A．

∠ABC=90°

B．

AC=BD

C．

OA=OB

D．

OA=AD

6．（5分）（2017•益阳）下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

=﹣

7．（5分）（2017•益阳）沅江市近年来大力发展芦笋产业，某芦笋生产企业在两年内的销售额从20万元增加到80万元．设这两年的销售额的年平均增长率为x，根据题意可列方程为（　　）

A．

20（1+2x）=80

B．

2×20（1+x）=80

C．

20（1+x2）=80

D．

20（1+x）2=80

8．（5分）（2017•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）

A．

m＞1

B．

m＞0

C．

m＞﹣1

D．

﹣1＜m＜0

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

9．（5分）（2017•益阳）计算：

=　　　　　　．

10．（5分）（2017•益阳）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式　　　　　　．

11．（5分）（2017•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为　　　　　　．

12．（5分）（2017•益阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则

的长为　　　　　　．

13．（5分）（2017•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有　　　　　　根小棒．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

14．（8分）（2017•益阳）化简：

（x+1）2﹣x（x+1）．

15．（8分）（2017•益阳）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．（10分）（2017•益阳）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．

（1）写出点P2的坐标；

（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；

（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．

17．（10分）（2017•益阳）2017年益阳市的地区生产总值（第一、二、三产业的增加值之和）已进入千亿元俱乐部，如图表示2017年益阳市第一、二、三产业增加值的部分情况，请根据图中提供的信息解答下列问题

（1）2017年益阳市的地区生产总值为多少亿元？

（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；

（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．

18．（10分）（2017•益阳）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

（1）求证：

AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=

，求线段OE的长．

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

19．（12分）（2017•益阳）大学生小刘回乡创办小微企业，初期购得原材料若干吨，每天生产相同件数的某种产品，单件产品所耗费的原材料相同．当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．若剩余原材料数量小于或等于3吨，则需补充原材料以保证正常生产．

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

20．（12分）（2017•益阳）已知点P是线段AB上与点A不重合的一点，且AP＜PB．AP绕点A逆时针旋转角α（0°＜α≤90°）得到AP1，BP绕点B顺时针也旋转角α得到BP2，连接PP1、PP2．

（1）如图1，当α=90°时，求∠P1PP2的度数；

（2）如图2，当点P2在AP1的延长线上时，求证：

△P2P1P∽△P2PA；

（3）如图3，过BP的中点E作l1⊥BP，过BP2的中点F作l2⊥BP2，l1与l2交于点Q，连接PQ，求证：

P1P⊥PQ．

六、解答题（本题满分15分）

21．（15分）（2017•益阳）已知抛物线E1：

y=x2经过点A（1，m），以原点为顶点的抛物线E2经过点B（2，2），点A、B关于y轴的对称点分别为点A′，B′．

（1）求m的值及抛物线E2所表示的二次函数的表达式；

（2）如图1，在第一象限内，抛物线E1上是否存在点Q，使得以点Q、B、B′为顶点的三角形为直角三角形？

若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）如图2，P为第一象限内的抛物线E1上与点A不重合的一点，连接OP并延长与抛物线E2相交于点P′，求△PAA′与△P′BB′的面积之比．

2017年湖南省益阳市中考数学试卷

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

1．（5分）（2017•益阳）下列实数中，是无理数的为（　　）

A．

B．

C．

D．

﹣3

考点：

分析：

无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．

解答：

解：

A、是无理数，选项正确；

B、是分数，是有理数，选项错误；

C、是整数，是有理数，选项错误；

D、是整数，是有理数，选项错误．

故选A．

点评：

此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：

π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数．

2．（5分）（2017•益阳）下列运算正确的是（　　）

A．

x2•x3=x6

B．

（x3）2=x5

C．

（xy2）3=x3y6

D．

x6÷x3=x2

考点：

分析：

根据同底数幂的乘法，可判断A；根据幂的乘方，可判断B；根据积的乘方，可判断C；根据同底数幂的除法，可判断D．

解答：

解：

A、同底数幂的乘法底数不变指数相加，故A错误；

B、幂的乘方底数不变指数相乘，故B错误；

C、积的乘方等于乘方的积，故C正确；

D、通敌数幂的除法底数不变指数相减，故D错误；

故选：

C．

点评：

本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．

3．（5分）（2017•益阳）某小组5名同学在一周内参加家务劳动的时间如下表所示，关于“劳动时间”的这组数据，以下说法正确的是（　　）

劳动时间（小时）

3.5

4.5

人数

A．

中位数是4，平均数是3.75

B．

众数是4，平均数是3.75

C．

中位数是4，平均数是3.8

D．

众数是2，平均数是3.8

考点：

分析：

根据众数和中位数的概念求解．

解答：

解：

这组数据中4出现的次数最多，众数为4，

∵共有5个人，

∴第3个人的劳动时间为中位数，

故中位数为：

4，

平均数为：

=3.8．

故选C．

点评：

本题考查了中位数、平均数、众数的知识，解答本题的关键是掌握各知识点的概念．

4．（5分）（2017•益阳）一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体是（　　）

A．

三棱锥

B．

三棱柱

C．

圆柱

D．

长方体

考点：

分析：

根据三视图的知识，正视图为两个矩形，左视图为一个矩形，俯视图为一个三角形，故这个几何体为直三棱柱

解答：

解：

根据图中三视图的形状，符合条件的只有直三棱柱，因此这个几何体的名称是直三棱柱．

故选：

B．

点评：

本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识．

5．（5分）（2017•益阳）如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，以下说法错误的是（　　）

A．

∠ABC=90°

B．

AC=BD

C．

OA=OB

D．

OA=AD

考点：

分析：

矩形的性质：

四个角都是直角，对角线互相平分且相等；由矩形的性质容易得出结论．

解答：

解：

∵四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°，AC=BD，OA=

AC，OB=

BD，

∴OA=OB，

∴A、B、C正确，D错误，

故选：

D．

点评：

本题考查了矩形的性质；熟练掌握矩形的性质是解决问题的关键．

6．（5分）（2017•益阳）下列等式成立的是（　　）

A．

B．

C．

D．

=﹣

考点：

专题：

计算题．

分析：

原式各项计算得到结果，即可做出判断．

解答：

解：

A、原式=

，错误；

B、原式不能约分，错误；

C、原式=

，正确；

D、原式=

=﹣

，错误，

故选C

点评：

此题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

A．

20（1+2x）=80

B．

2×20（1+x）=80

C．

20（1+x2）=80

D．

20（1+x）2=80

考点：

专题：

增长率问题．

分析：

根据第一年的销售额×（1+平均年增长率）2=第三年的销售额，列出方程即可．

解答：

解：

设增长率为x，根据题意得20（1+x）2=80，

故选D．

点评：

本题考查一元二次方程的应用﹣﹣求平均变化率的方法．若设变化前的量为a，变化后的量为b，平均变化率为x，则经过两次变化后的数量关系为a（1±x）2=b．（当增长时中间的“±”号选“+”，当下降时中间的“±”号选“﹣”）．

8．（5分）（2017•益阳）若抛物线y=（x﹣m）2+（m+1）的顶点在第一象限，则m的取值范围为（　　）

A．

m＞1

B．

m＞0

C．

m＞﹣1

D．

﹣1＜m＜0

考点：

分析：

利用y=ax2+bx+c的顶点坐标公式表示出其顶点坐标，根据顶点在第一象限，所以顶点的横坐标和纵坐标都大于0列出不等式组．

解答：

解：

由y=（x﹣m）2+（m+1）=x2﹣2mx+（m2+m+1），

根据题意，

，

解不等式

（1），得m＞0，

解不等式

（2），得m＞﹣1；

所以不等式组的解集为m＞0．

故选B．

点评：

本题考查顶点坐标的公式和点所在象限的取值范围，同时考查了不等式组的解法，难度较大．

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．把答案填在答题卡中对应题号后的横线上）

9．（5分）（2017•益阳）计算：

=　4　．

考点：

专题：

计算题．

分析：

原式利用二次根式的乘法法则计算，将结果化为最简二次根式即可．

解答：

解：

原式=

=4．

故答案为：

点评：

此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

10．（5分）（2017•益阳）已知y是x的反比例函数，当x＞0时，y随x的增大而减小．请写出一个满足以上条件的函数表达式　y=

（x＞0），答案不唯一　．

考点：

专题：

开放型．

分析：

反比例函数的图象在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大，则反比例函数的反比例系数k＜0；反之，只要k＜0，则反比例函数在每个象限内，函数值y随自变量x的增大而增大．

解答：

解：

只要使反比例系数大于0即可．如y=

（x＞0），答案不唯一．

故答案为：

（x＞0），答案不唯一．

点评：

本题主要考查了反比例函数y=

（k≠0）的性质：

①k＞0时，函数图象在第一，三象限．在每个象限内y随x的增大而减小；

②k＜0时，函数图象在第二，四象限．在每个象限内y随x的增大而增大．

11．（5分）（2017•益阳）甲、乙、丙三位好朋友随机站成一排照合影，甲没有站在中间的概率为　

　．

考点：

分析：

列举出所有情况，看甲没排在中间的情况占所有情况的多少即为所求的概率．

解答：

解：

甲、乙、丙三个同学排成一排拍照有以下可能：

甲乙丙，甲丙乙，乙甲丙，乙丙甲，丙甲乙，丙乙甲，全部6种情况，

有4种甲没在中间，

所以甲没排在中间的概率是

．

故答案为

．

点评：

本题考查用列举法求概率，用到的知识点为：

概率等于所求情况数与总情况数之比．

12．（5分）（2017•益阳）如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，⊙O的半径为1，则

的长为　

　．

考点：

分析：

求出圆心角∠AOB的度数，再利用弧长公式解答即可．

解答：

解：

∵ABCDEF为正六边形，

∴∠AOB=360°×

=60°，

的长为

．

故答案为：

．

点评：

此题将扇形的弧长公式与多边形的性质相结合，构思巧妙，利用了正六边形的性质．

13．（5分）（2017•益阳）如图是用长度相等的小棒按一定规律摆成的一组图案，第1个图案中有6根小棒，第2个图案中有11根小棒，…，则第n个图案中有　5n+1　根小棒．

考点：

规律型：

分析：

由图可知：

第1个图案中有5+1=6根小棒，第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，…由此得出第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．

解答：

解：

∵第1个图案中有5+1=6根小棒，

第2个图案中有2×5+2﹣1=11根小棒，

第3个图案中有3×5+3﹣2=16根小棒，

…

∴第n个图案中有5n+n﹣（n﹣1）=5n+1根小棒．

故答案为：

5n+1．

点评：

此题考查图形的变化规律，找出图形之间的联系，得出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．

三、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）

14．（8分）（2017•益阳）化简：

（x+1）2﹣x（x+1）．

考点：

分析：

利用完全平方公式和整式的乘法计算，进一步合并得出答案即可．

解答：

解：

原式=x2+2x+1﹣x2﹣x

=x+1．

点评：

此题考查整式的混合运算，掌握计算方法与计算公式是解决问题的关键．

15．（8分）（2017•益阳）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=65°，求∠2的度数．

考点：

分析：

由平行线的性质得到∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，由BC平分∠ABD，得到∠ABD=2∠ABC=130°，于是得到结论．

解答：

解：

∵AB∥CD，

∴∠ABC=∠1=65°，∠ABD+∠BDC=180°，

∵BC平分∠ABD，

∴∠ABD=2∠ABC=130°，

∴∠BDC=180°﹣∠ABD=50°，

∴∠2=∠BDC=50°．

点评：

本题考查了平行线的性质和角平分线定义等知识点，解此题的关键是求出∠ABD的度数，题目较好，难度不大．

四、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

16．（10分）（2017•益阳）如图，直线l上有一点P1（2，1），将点P1先向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到像点P2，点P2恰好在直线l上．

（1）写出点P2的坐标；

（2）求直线l所表示的一次函数的表达式；

（3）若将点P2先向右平移3个单位，再向上平移6个单位得到像点P3．请判断点P3是否在直线l上，并说明理由．

考点：

分析：

（1）根据“左加右减、上加下减”的规律来求点P2的坐标；

（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），把点P1（2，1），P2（3，3）代入直线方程，利用方程组来求系数的值；

（3）把点（6，9）代入

（2）中的函数解析式进行验证即可．

解答：

解：

（1）P2（3，3）．

（2）设直线l所表示的一次函数的表达式为y=kx+b（k≠0），

∵点P1（2，1），P2（3，3）在直线l上，

∴

，

解得

．

∴直线l所表示的一次函数的表达式为y=2x﹣3．

（3）点P3在直线l上．由题意知点P3的坐标为（6，9），

∵2×6﹣3=9，

∴点P3在直线l上．

点评：

本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象上点的坐标特征以及一次函数图象的几何变换．在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同．平移中点的变化规律是：

横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．

（1）2017年益阳市的地区生产总值为多少亿元？

（2）请将条形统计图中第二产业部分补充完整；

（3）求扇形统计图中第二产业对应的扇形的圆心角度数．

考点：

分析：

（1）用第一产业增加值除以它所占的百分比，即可解答；

（2）算出第二产业的增加值即可补全条形图；

（3）算出第二产业的百分比再乘以360°，即可解答．

解答：

解：

（1）237.5÷19%=1250（亿元）；

（2）第二产业的增加值为1250﹣237.5﹣462.5=550（亿元），画图如下：

（3）扇形统计图中第二产业部分的圆心角为

．

点评：

本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，解题的关键是读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．

18．（10分）（2017•益阳）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，∠CAB=∠ACB，过点B作BE⊥AB交AC于点E．

（1）求证：

AC⊥BD；

（2）若AB=14，cos∠CAB=

，求线段OE的长．

考点：

分析：

（1）根据∠CAB=∠ACB利用等角对等边得到AB=CB，从而判定平行四边形ABCD是菱形，根据菱形的对角线互相垂直即可证得结论；

（2）分别在Rt△AOB中和在Rt△ABE中求得AO和AE，从而利用OE=AE﹣AO求解即可．

解答：

解：

（1）∵∠CAB=∠ACB，

∴AB=CB，

∴▱ABCD是菱形．

∴AC⊥BD；

（2）在Rt△AOB中，cos∠CAB=

，AB=14，

∴AO=14×

，

在Rt△ABE中，cos∠EAB=

，AB=14，

∴AE=

AB=16，

∴OE=AE﹣AO=16﹣

．

点评：

本题考查了解直角三角形及菱形的判定与性质、平行四边变形的判定与性质的知识，解题的关键是读懂题意，选择合适的边角关系，难度不大．

五、解答题（本大题共2小题，每小题12分，共24分）

（1）求初期购得的原材料吨数与每天所耗费的原材料吨数；

（2）若生产16天后，根据市场需求每天产量提高20%，则最多再生产多少天后必须补充原材料？

考点：

分析：

（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，根据“当生产6天后剩余原材料36吨，当生产10天后剩余原材料30吨．”列出方程组解决问题；

（2）最多再生产x天后必须补充原材料，根据若剩余原材料数量小于或等于3吨列出不等式解决问题．

解答：

解：

（1）设初期购得原材料a吨，每天所耗费的原材料为b吨，

根据题意得：

．

解得

．

答：

初期购得原材料45吨，每天所耗费的原材料为1.5吨．

（2）设再生产x天后必须补充原材料，

依题意得：

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