最新高等数学下册期末考试试题含答案AAZ.docx

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最新高等数学下册期末考试试题含答案AAZ

2019最新高等数学（下册）期末考试试题（含答案）

一、解答题

1．试考察曲面在下列各平面上的截痕的形状，并写出其方程.

（1）平面x=2;

（2）平面y=0;

（3）平面y=5;（4）平面z=2.

解：

（1）截线方程为

其形状为x=2平面上的双曲线.

（2）截线方程为

为xOz面上的一个椭圆.

（3）截线方程为

为平面y=5上的一个椭圆.

（4）截线方程为

为平面z=2上的两条直线.

2．设质点受力作用，力的反方向指向原点，大小与质点离原点的距离成正比，若质点由（a,0）沿椭圆移动到B（0,b），求力所做的功．

解：

依题意知F=kxi+kyj，且L：

，t：

0→

（其中k为比例系数）

3．求下列线性微分方程的通解：

;

解：

由通解公式

；

解：

方程可化为

由通解公式得

解：

;

解：

.

;

解：

方程可化为

解：

方程可化为

4．求下列各微分方程满足所给初始条件的特解：

;

解：

分离变量，得

积分得.

以代入上式得

故方程特解为.

.

解：

分离变量，得

积分得

将代入上式得

故所求特解为.

5．把对坐标的曲面积分

化成对面积的曲面积分，其中：

（1）Σ是平面在第Ⅰ封限的部分的上侧；

（2）Σ是抛物面z=8-（x2+y2）在xOy面上方的部分的上侧．

解：

（1）平面Σ：

上侧的法向量为n={3，2，}，单位向量为n0={，，}，即方向余弦为，，．

因此：

（2）Σ：

F（x,y,z）=z+x2+y2-8=0，Σ上侧的法向量n={Fx，Fy，Fz}={2x，2y，1}

其方向余弦：

，，

故

6．设均匀薄片（面密度为常数1）所占闭区域D如下，求指定的转动惯量：

（1）D:

，求Iy;

（2）D由抛物线与直线x=2所围成，求Ix和Iy；

（3）D为矩形闭区域：

0≤x≤a,0≤y≤b,求Ix和Iy.

解：

（1）令x=arcosθ,y=brsinθ,则在此变换下

D：

变化为：

r≤1,即

0≤r≤1,0≤θ≤2π,且,

所以

（2）闭区域D如图10-35所示

图10-35

（3）

7．利用三重积分计算由下列曲面所围成的立体的体积：

（1）z=6-x2-y2及；

（2）x2+y2+z2=2az（a>0）及x2+y2=z2（含有z轴的部分）；

（3）及z=x2+y2;

（4）z=及x2+y2=4z.

解：

（1）曲面围成的立体Ω如图10-55所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-55

用柱面坐标可求得Ω的体积

（2）曲面围成的立体Ω如图10-56所示。

在球面坐标系下Ω可表示为：

图10-56

利用球面坐标可求得Ω的体积：

（3）曲面围成的立体Ω如图10-57所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-57

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

（4）曲面围成的立体Ω如图10-58所示。

在柱面坐标系下，Ω可表示为：

图10-58

利用柱面坐标可求得Ω的体积：

8．作适当坐标变换，计算下列二重积分：

（1）,其中D是由xy=2,xy=4,x=y,y=3x在第一象限所围平面区域；

（2）

（3）令x=v,x+y=u;

（4）

（5）

（6）

解：

（1）积分区域D如图10-23所示：

图10-23

令xy=u,,则

于是：

（2）积分区域D如图10-24所示。

图10-24

令x+y=u,x-y=v,则

且-1≤u≤1,-1≤v≤1.

于是：

（3）积分区域Dxy:

0≤x≤1,1-x≤y≤2-x

令x=v,x+y=u,则y=u-v

积分区域Dxy变为Duv:

0≤v≤1,1≤u≤2.

且

于是

（4）令x=arcosθ,y=brsinθ则积分区域D变为

Drθ：

0≤θ≤2π,0≤r≤1,

于是：

（5）令x=rcosθ，y=rsinθ.即作极坐标变换，

则D变为：

0≤r≤3,0≤θ≤2π.

于是：

（6）积分区域D如图10-25所示：

D可分为D1,D2∪D3,D4四个部分.它们可分为用极坐标表示为。

图10-25

D1:

0≤θ≤π,0≤r≤2sinθ,

D2∪D3:

0≤θ≤π,2sinθ≤r≤2,

D4:

π≤θ≤2π,0≤r≤2

于是：

13.求由下列曲线所围成的闭区域的面积：

（1）曲线所围（a>0,b>0）;

（2）曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x所围（x>0,y>0）.

解：

（1）曲线所围的图形D如图10-26所示：

图10-26

D可以表示为：

所求面积为：

（2）曲线xy=a2,xy=2a2,y=x,y=2x（x>0,y>0）所围图形D如图10-27所示：

图10-27

所求面积为

令xy=u,,则

于是

9．设f（x，y）为连续函数，求.

解：

因为f（x，y）为连续函数，由二重积分的中值定理得，使得

又由于D是以（x0，y0）为圆心，r为半径的圆盘，所以当时，

于是：

10．根据二重积分性质，估计下列积分的值：

（1）;

（2）;

（3）.

解：

（1）因为当时，有,

因而.

从而

故

即

而（σ为区域D的面积），由σ=4

得.

（2）因为，从而

故

即

而

所以

（3）因为当时，所以

故

即

而

所以

11．求下列隐函数的导数或偏导数：

（1），求;

（2），求；

（3），求;

（4），求.

解：

（1）[解法1]用隐函数求导公式，设F（x,y）=siny+ex-xy2,

则

故.

[解法2]方程两边对x求导，得

故

（2）设

∵

∴

（3）方程两边求全微分，得

则

故

（4）设,

则

12．,其中f具有二阶导数，求

解：

由对称性知，

13．求下列函数在给定点和自变量增量的条件下的全增量和全微分：

（1）

（2）

解：

（1）

（2）

14．设，求.

解：

15．判断下列函数在原点O（0，0）处是否连续：

（3）

解：

（1）由于

又，且,

故.

故函数在O（0,0）处连续.

（2）

故O（0,0）是z的间断点.

（3）若P（x,y）沿直线y=x趋于（0，0）点，则

若点P（x,y）沿直线y=-x趋于（0，0）点，则

故不存在.故函数z在O（0，0）处不连续.

16．xOy坐标面上的点的坐标有什么特点？

yOz面上的呢？

zOx面上的呢？

答:

在xOy面上的点，z=0;

在yOz面上的点，x=0;

在zOx面上的点，y=0.

17．试定出下列各题中直线与平面间的位置关系：

（1）和4x-2y-2z=3;

（2）和3x-2y+7z=8;

（3）和x+y+z=3.

解：

平行而不包含.因为直线的方向向量为s={-2，-7，3}

平面的法向量n={4，-2，-2}，所以

于是直线与平面平行.

又因为直线上的点M0（-3，-4，0）代入平面方程有.故直线不在平面上.

（2）因直线方向向量s等于平面的法向量，故直线垂直于平面.

（3）直线在平面上，因为,而直线上的点（2，-2，3）在平面上.

18．求下列直线与平面的交点：

（1）,2x+3y+z-1=0;

（2）,x+2y-2z+6=0.

解：

（1）直线参数方程为

代入平面方程得t=1

故交点为（2，-3，6）.

（2）直线参数方程为

代入平面方程解得t=0.

故交点为（-2，1，3）.

19．通过点（1，-1，1）作垂直于两平面x-y+z-1=0和2x+y+z+1=0的平面.

解：

设所求平面方程为Ax+By+Cz+D=0

其法向量n={A,B,C}

n1={1,-1,1},n2={2,1,1}

又（1，－1，1）在所求平面上，故A－B+C+D=0，得D=0

故所求平面方程为

即2x-y-3z=0

20．求过点M0（1,7,-3），且与连接坐标原点到点M0的线段OM0垂直的平面方程.

解：

所求平面的法向量可取为

故平面方程为：

x-1+7（y-7）-3（z+3）=0

即x+7y-3z-59=0

21．求垂直于向量3i-4j-k和2i-j+k的单位向量，并求上述两向量夹角的正弦.

解：

与平行的单位向量

.

22．已知向量a和b互相垂直，且.计算：

（1）|（a＋b）×（a－b）|；

（2）|（3a＋b）×（a－2b）|.

（1）

（2）

23．已知a=3i+2j-k,b=i-j+2k,求：

（1）a×b;

（2）2a×7b;

（3）7b×2a;（4）a×a.

解：

（1）

（2）

（3）

（4）.

24．若向量a+3b垂直于向量7a-5b,向量a-4b垂直于向量7a-2b,求a和b的夹角.

解:

（a+3b）·（7a-5b）=①

（a-4b）·（7a-2b）=②

由①及②可得：

又，所以,

故.

25．已知四点A（1，-2，3），B（4，-4，-3），C（2，4，3），D（8，6，6），求向量在向量上的投影.

解：

={3，-2，-6}，={6，2，3}

26．已知两点M1（2，5，-3），M2（3，-2，5），点M在线段M1M2上，且，求向径的坐标.

解：

设向径={x,y,z}

因为，

所以，

故={}.

27．解：

设则有

求得.

设在面上的投影向量为则有

则

则求得

又则

从而求得或

28．设m=3i+5j+8k,n=2i-4j-7k,p=5i+j-4k,求向量a=4m+3n-p在x轴上的投影及在y轴上的分向量.

解：

a=4（3i+5j+8k）+3（2i-4j-7k）-（5i+j-4k）=13i+7j+15k

在x轴上的投影ax=13,在y轴上分向量为7j.

29．求出向量a=i+j+k,b=2i-3j+5k和c=-2i-j+2k的模，并分别用单位向量来表达向量a,b,c.

解：

30．已知，求证：

.

证明：

.

由对称性知.

于是.

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一、解答题

1．无

2．无

3．无

4．无

5．无

6．无

7．无

8．无

9．无

10．无

11．无

12．无

13．无

14．无

15．无

16．无

17．无

18．无

19．无

20．无

21．无

22．无

23．无

24．无

25．无

26．无

27．无

28．无

29．无

30．无