《高等数学》课程教学大纲.docx
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《高等数学》课程教学大纲
《高等数学》课程教学大纲
授课专业：
通信工程专业学时：
136学时学分：
8学分开课学期：
第1、第2学期
适用对象：
通信工程专业学生
一、课程性质与任务
本课程是理、工类专业的专业基础课，通过本课程的学习，要使学生掌握微积分学的基本概念、基本理论和基本运算技能，为学习后继课程和进一步获得数学知识奠定必要的数学基础。
要通过各个教学环节逐步培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和自学能力，还要特别注意培养学生的熟练运算能力和综合运用所学知识去分析解决问题的能力。
二、课程教学的基本要求
通过本课程的学习，学生基本了解微积分学的基础理论；充分理解微积分学的背景思想及数学思想。
掌握微积分学的基本方法、手段、技巧，并具备一定的分析论证能力和较强的运算能力。
能较熟练地应用微积分学的思想方法解决应用问题。
三、课程教学内容
高等数学（上）
第一章函数、极限与连续（10学时）
第二章导数和微分（12学时）
第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）
第四章函数的积分（16学时）
第五章定积分的应用（8学时）
第六章无穷级数（10学时）
高等数学（下）
第七章向量与空间解析几何（6学时）
第八章多元函数微分学（14学时）
第九章多元函数微分学的应用（10学时）
第十章多元函数积分学（I）（16学时）
第十一章多元函数积分学（II）（10学时）
第十二章常微分方程（12学时）
四、教学重点、难点
重点：
极限的概念与性质；函数连续性的概念与性质；闭区间上连续函数的性质；微分中值定理与应用；用导数研究函数的性质；不定积分、定积分的计算；微积分学基本定理；正项级数敛散性的判定；幂级数的收敛定理；二元函数全微分的概念及性质；计算多元复合函数的偏导数与微分；隐函数定理及应用；重积分、曲线积分与曲面积分的计算；曲线积分与路径的无关性。
难点：
极限的概念与理论；微分中值定理的应用；一元函数的泰勒定理；二元函数的极限；计算多元复合函数的偏导数与微分；对坐标的曲面积分的概念及计算；高斯公式；斯托克斯公式。
五、教学时数分配：
教学时数136学时，其中理论讲授136学时，实践教学0学时。
（具体安排见附表）
六、教学方式：
本课程的特点是理论性强，思想性强，与相关基础课及专业课联系较多，教学中应注重启发引导学生掌握重要概念的背景思想，理解重要概念的思想本质，避免学生死记硬背。
要善于将有关学科或生活中常遇到的名词概念与微积分学的概念结合起来，使学生体会到学习微积分的必要性。
注重各教学环节（理论教学、习题课、作业、辅导）的有机联系,特别是强化作业与辅导环节，使学生加深对课堂教学内容的理解，提高分析解决问题的能力和运算能力。
教学中有计划有目的地向学生介绍学习数学与学习专业课之间的关系，学习高等数学是获取进一步学习机会的关键学科。
由于学科特点，本课程教学应突出教师的中心地位，通过教师的努力，充分调动学生的学习兴趣。
七、本课程与其它课程的关系：
本课程是理、工类专业的第一基础课。
本课程的学习情况事关学生后继课程的学习，事关学生学习目标的确定及学生未来的走向。
本课程学习结束后，以此为出发点，学生才能进入相关课程的学习阶段。
本课程是四年大学学习开始必须学好的基础理论课。
课程基础性、理论性强，与相关课程的学习联系密切，是全国硕士研究生入学考试统考科目，关系到学生综合能力的培养。
本课程的学习情况直接关系到学校的整体教学水平。
八、考核方式：
考核方式：
本课程考核以笔试为主，分两个学期上，其中第一学期为考试，第二学期为考查，主要考核学生对基础理论，基本概念的掌握程度，以及学生逻辑推理能力和计算能力。
成绩评定：
成绩评定采用百分制。
本课程成绩采用期末考试与平时成绩相结合的方式进行综合评定，最终成绩由以下二个部分组成：
第一部分：
期末考试成绩占总成绩的70％；第二部分：
作业成绩及平时检测占总成绩的30％。
九、教材及教学参考书：
1.主教材：
《高等数学》（上、下册），黄立宏，复旦大学出版社，第三版，2010年2.
参考书：
（1）《高等数学》（上、下册），同济大学数学系编，高等教育出版社，第六版，2007年
（2）《微积分》（上、下册），同济大学应用数学系编，高等教育出版社，第二版，2003年
（3）《高等数学习题全解指南》（上、下册）,同济大学数学系编,高等教育出版社，2007年
高等数学（上）第一章函数、极限与连续（10学时）
一、教学要求：
1．掌握函数的概念及其几种特性（奇偶性、单调性、有界性、周期性）。
2．理解复合函数的概念，了解反函数的概念。
3．掌握基本初等函数的性质及其图象，了解初等函数的概念。
4．理解数列、函数极限的概念。
5．了解数列极限的性质及四则运算法则。
6．掌握单调有界数列必有极限的准则。
7．掌握函数极限的性质及四则运算法则，掌握利用两个重要的极限求有关的极限。
8．理解无穷小量和无穷大量的概念，掌握无穷小量的比较法，会用等价无穷小量代换求极限。
9．理解函数连续性的概念，会判断函数的间断性及对间断点分类。
10．了解连续函数的性质和初等函数的连续性，了解闭区间上连续函数的性质，掌握这些性质的简单应用。
二、教学要点：
1．变量与函数
1-1变量及其变化范围的常用表示法
1-2函数概念
1-3函数的几种特性
1-4函数应用举例
1-5基本初等函数
1-6初等函数
1-7双曲函数与反双曲函数
2．数列的极限
2-1数列极限的定义
2-2收敛数列的性质
2-3收敛准则
3．函数的极限
3-1x→∞时函数的极限
3-2x→x0时函数的极限
3-3函数极限的性质
4．无穷大量与无穷小量
4-1无穷大量
4-2无穷小量
4-3无穷小量的性质
5.极限的运算法则
5-1极限的四则运算法则
5-2复合函数的极限
6.极限存在准则与两个重要极限
6-1夹逼准则
6-2函数极限与数列极限的关系
*6-3柯西收敛准则
6-4两个重要极限
7.无穷小量的比较
8.函数的连续性
8-1函数的连续与间断
8-2连续函数的基本性质
8-3闭区间上连续函数的性质
三、重点、难点：
重点：
初等函数的概念，数列极限与函数极限的概念，无穷小量的概念和性质，0/0、∞/∞、∞-∞型几种未定式极限的求法，利用两个重要极限求函数极限的方法，利用等价无穷小代换法求函数的极限，函数连续性的概念，求函数间断点的方法．
难点：
利用ε-Ν定义和柯西收敛准则证明数列的敛散性；利用定义或柯西收敛准则证明函数极限的存在性；间断点的分类。
第二章导数和微分（12学时）
一、教学要求:
1．理解微分和导数的概念、关系和几何意义。
会用导数描述一些物理量，理解函数的可微性和连续性的关系。
2．熟练掌握导数的四则运算法则和复合函数求导的链式法则，熟练掌握基本初等函数的求导公式、掌握反函数求导方法，隐函数求导方法和参数方程确定的函数的求导法，掌握对数求导法。
3．理解高阶导数的概念，会求简单函数的高阶导数。
4．了解微分的四则运算法则和一阶微分的形式不变性，会求函数的微分，了解微分在近似计算和误差估计中的应用。
5．掌握带皮亚诺余项和拉格朗日余项的泰勒公式，掌握麦克劳林公式。
二、教学要点：
1．导数的概念
1-1导数的定义
1-2导数的几何意义
1-3函数四则运算的求导法
2．求导运算
2-1复合函数求导法
2-2反函数求导法
2-3有参数方程确定的函数求导法
2-4隐函数求导法
3.高阶导数
4.函数的微
4-1微分的概念
4-2微分的运算公式
4-3高阶微分
5.导数与微分的简单应用
5-1泰勒公式
5-2相关变化率
*5-3曲率、曲率半径
5-4微分学在经济学中的应用举例
三、重点、难点：
重点：
导数的概念，可导与连续的关系，导数公式和求导法则，复合函数和隐函数的导数，复合函数的二阶导数，函数的导数与微分的关系，泰勒公式。
难点：
导数几何意义的应用，微分的几何意义，高阶导数与高阶微分，泰勒公式的应用。
第三章微分中值定理与导数的应用（12学时）
一、教学要求：
1．理解并能应用罗尔定理，拉格朗日微分学中值定理，了解并会用柯西中值定理。
2．掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。
3．理解函数极值的概念，掌握用导数判断函数的单调性和求函数极值的方法，掌握函数最大值和最小值的求法及其应用。
4．掌握用导数判断函数的凸性和拐点的方法。
5．了解根据函数的微分性质描绘函数图象的方法。
二、教学要点：
1．微分中值定理
2．洛必达法则
2-10/0型不定式
2-2∞/∞型不定式
2-3其他不定式
3.函数的单调性与极值
3-1函数的单调性的判别
3-2函数的极值
4.函数的最大（小）值及其应用
5.曲线的凹凸性、拐点
6.曲线的渐近线、函数作图
6-1渐近线
6-2函数图形的描绘
三、重点、难点：
重点：
三个微分中值定理，特别是拉格朗日中值定理及推论1、2，函数单调性与凹凸性的判定，利用导数证明不等式与恒等式，不定式极限求法、函数的极值与最值的求法及应用。
难点：
未定式极限的计算，利用导数证明不等式与恒等式。
第四章函数的积分（16学时）
一、教学要求：
1．理解定积分的概念、意义和性质，理解原函数的概念。
2．掌握微积分基本定理。
3．掌握不定积分的基本公式，掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法，掌握分部积分法。
4．会计算有理函数的积分、某些无理函数的积分和三角函数有理式的积分。
5．掌握定积分计算的换元积分法和分部积分法。
二、教学要点：
1．定积分的概念
1-1曲边梯形的面积
1-2定积分的概念
1-3定积分的性质
2.原函数与微积分学基本原理
2-1原函数与变限积分
2-2微积分学基本原理
3.不定积分与原函数求法
3-1不定积分的概念和性质
3-2求不定积分的方法
4.积分表的使用
5.定积分的计算
5-1换元法
5-2分部积分法
5-3有理函数定积分的计算
6.反常积分
6-1无穷积分
6-2瑕积分
三、重点、难点：
重点：
定积分的概念，原函数与微积分基本原理，利用換元积分法与分部积分法求不定积分，常用的简单的有理函数、三角函数与无理根式的不定积分，定积分的计算。
难点：
有理函数的部分分式分解，无理根式的积分。
第五章定积分的应用（8学时）
一、教学要求：
1．掌握定积分在几何上的应用（微元法，平面区域的面积，平面曲线的弧长，利用截面面积计算立体体积，旋转体的侧面积）
2．了解定积分在物理上的应用（变力作功，液体静压力，引力，平均值）
3．了解定积分在经济学中的应用（最大利润问题，资金流的现值与终值）
二、教学要点：
1.微分元素法
2.平面图形的面积
2-1直角坐标情形
2-2极坐标情形
3.几何体的体积
3-1平行截面面积为已知的立体体积
3-2旋转体的体积
4.曲线的弧长和旋转体的侧面积
4-1平面曲线的弧长
*4-2旋转体的侧面积
5.定积分在物理学中的应用
5-1变力沿直线所做的功
5-2液体静压力
5-3引力
5-4平均值
6.定积分在经济学中的应用
6-1最大利润问题
6-2资金流的现值与终值
三、重点、难点：
重点：
用定积分计算各种形式平面图形面积，已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积。
难点：
已知截面面积函数求立体体积和旋转体的体积，定积分在物理学、经济学中的应用。
第六章无穷级数（10学时）
一、教学要求：
1．理解数项级数收敛、发散及收敛级数和的概念，掌握级数的基本性质及收敛的必要条件。
2．掌握几何级数和p-级数收敛与发散的条件。
3．掌握正项级数收敛性的比较判别法，柯西判别法和达朗贝尔判别法。
4．了解任意项数的绝对收敛与条件收敛的概念及关系，掌握交错级数的莱布尼兹判别法。
5．了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。
6．掌握幂级数的收敛半径，收敛区间的求法。
7．了解幂级数的连续性、逐项微分和逐项积分等性质，并能利用这些性质求一些幂级数的和函数与某些数项级数的和。
8．了解泰勒级数与余项公式，掌握基本初级函数的泰勒展开。
9．了解傅里叶级数的概念，会将定义在[-π,π]上的函数展开为傅里叶级数，会将定义于[0,l]上的函数展开成正弦级数或余弦级数。
二、教学要点：
1．常数项级数的概念与性质
1-1常数项级数的概念
1-2常数项级数的性质
*1-3柯西审敛原理
2.正项级数敛散性判别法
3.任意项级数敛散性判别法
3-1交错级数敛散性判别法
3-2绝对收敛与条件收敛
4.函数项级数
4-1函数项级数的概念
4-2幂级数及其收敛性
4-3幂级数的和函数的性质
4-4幂级数的运算
5.函数展开成幂级数
5-1泰勒级数
5-2函数展开成幂级数
5-3函数的幂级数展开式在近似计算中的应用
6.傅里叶级数
6-1三角级数、三角函数系的正交性
6-2周期函数展开成傅里叶级数
6-3非周期函数展开成傅里叶级数
6-4任意区间上的傅里叶级数
三、重点、难点：
重点：
级数敛散性的概念，正项级数敛散性判别法，幂级数及其收敛性，幂级数的和函数的性质，利用逐项积分与逐项求导法求某些幂级数的和函数，将一些重要函数展开成幂级数。
难点：
求某些幂级数的和函数，将一些重要函数展开成幂级数。
高等数学（下）
第七章向量与空间解析几何（6学时）
一、教学要求：
1．掌握向量的外积和混合积的概念、性质及运算。
2．掌握常用平面方程和直线方程及其求法，能根据平面和直线的相互关系解有关问题。
3．掌握点到平面、直线的距离的计算方法，掌握直线与直线、直线与平面的交角的计算方法。
4．理解曲面方程的概念，了解常用二次曲面的方程及其图形，会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
5．了解空间曲线的参数方程和一般方程。
二、教学要点：
1．空间直角坐标系
1-1空间直角坐标系
1-2空间两点间的距离
2.向量及其运算
2-1向量及其线性运算
2-2向量的坐标表示
2-3向量的数量积与向量积
3．空间直线与平面
3-1曲面方程的概念
3-2空间直线的方程
3-3平面及其方程
3-4有关平面与直线的位臵关系
4．空间曲面与曲线
4-1曲面及其方程
4-2旋转曲面
4-3二次曲面举例
4-4空间曲线
三、重点、难点：
重点：
向量的数量积与向量积，空间直线的方程，平面及其方程，有关平面与直线的位臵关系。
难点：
求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程。
第八章多元函数微分学（14学时）
一、教学要求：
1．了解Rn中点的邻域、内点、开集、区域等概念。
2．理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义。
3．理解多元函数的极限及连续的概念，了解有界闭区域上连续函数的性质。
4．理解多元函数的全微分和偏导数的概念，掌握偏导数和全微分的计算法，了解全微分在近似计算中的应和，掌握高阶偏导数的计算。
5．掌握多元函数求导的链式法则，了解全微分的形式不变性。
7．会计算坐标变换下的微分表达式。
*8．了解二元函数的泰勒公式公式。
二、教学要点：
1.多元函数的基本概念
1-1平面点集
1-2n维空间
1-3多元函数定义
1-4多元复合函数及隐函数
2．多元函数的极限与连续性
2-1多元函数的极限
2-2多元函数的连续
3．偏导数
3-1偏导数的定义及其计算法
3-2高阶偏导数
4．全微分及其应用
4-1全微分的定义
*4-2全微分的应用
5.复合函数的微分法
5-1复合函数的求导法则
5-2全微分形式不变性
6.隐函数的导数
6-1一个方程的情形
6-2方程组的情形
*7.二元函数的泰勒公式
三、重点、难点：
重点：
邻域与区域的概念，二元函数的定义域，二元函数的偏导数及高阶偏导数的概念及求法（特别是利用链式法则求复合函数的偏导数），求隐函数的导数。
难点：
多元抽象复合函数微分法；隐函数微分法。
第九章多元函数微分学的应用（10学时）
一、教学要求：
1.会求空间曲线的切线与发平面，空间曲面的切平面与法线。
2.理解方向导数的概念，并掌握其计算方法。
3.理解多元函数的极值与条件极值的概念，掌握二元函数极值存在的必要条件和充分条件，会用Lagrange乘数法求条件极值，会求简单的多元函数的最大值和最小值问题的解。
二、教学要点：
1.空间曲线的切线与法平面。
2.空间曲面的切平面与法线。
3.方向导数
4.无约束极值与有约束极值
4-1无约束极值
4-2条件极值
三、重点、难点：
重点：
求平面曲线的切线与法线，求曲面的切平面与法线，方向导数的计算，二元函数极值的计算。
难点：
用拉格朗日乘数法解条件极值问题。
第十章多元函数积分学（I）（16学时）
一、教学要求:
1．理解二重积分和三重积分的概念及性质。
2．掌握二重积分的计算，掌握直角坐标系下三重积分的计算，了解三重积分计算中的变量代换法。
3．掌握用积分计算重心、转动惯量和引力的方法。
4．理解对弧长曲线积分的概念性质，掌握第一类曲线积分的计算。
5.理解对面积的曲面积分的概念，性质并掌握其计算。
二、基本要点：
1．二重积分
1-1二重积分的概念
1-2二重积分的性质
1-3二重积分的计算
1-4二重积分的换元法
*2．反常二重积分
3．三重积分
3-1三重积分的概念
3-2三重积分的计算
3-3三重积分的换元法
4.重积分的应用
4-1空间曲面的面积
4-2平面薄片的重心
4-3平面薄片的旋转惯量
4-4平面薄片对质点的引力
5．对弧长的曲线积分
5-1对弧长的曲线积分的概念
5-2对弧长的曲线积分的性质
5-3对弧长的曲线积分的计算法
6．对面积的曲面积分
6-1对面积的曲面积分的概念
6-2对面积的曲面积分的计算
三、重点、难点：
重点：
二重积分的概念及其几何意义，二重积分的计算，三重积分化为累次积分计算，对弧长的曲线积分与对面积的曲面积分的概念及其物理意义与计算。
难点：
二重、三重积分的计算。
第十一章多元函数积分学（II）（10学时）
一、教学要求：
1.理解对坐标的曲线积分的概念，性质，并掌握其计算。
2．了解两类曲线积分的关系。
3．了解有向曲面的概念，了解对坐标的曲面积分的概念，性质，并掌握其计算。
4.掌握格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，并会利用它们计算积分。
5.会求全微分的原函数，会运用曲线积分与路径无关的条件。
二、教学要点：
1.对坐标的曲线积分的概念与性质
11-1引力
11-2对坐标的曲线积分的定义
11-3对坐标的曲线积分的性质
2.对坐标的曲线积分的计算
3.曲线积分与路径无关的条件
3-1格林公式
3-2平面上曲线积分与路径无关的条件
4.对坐标的曲面积分的概念
4-1有关曲面概念
4-2引例——流向曲面一侧的流量
4-3对坐标的曲面积分的概念
5.对坐标的曲面积分的计算
6.高斯公式与斯托克斯公式
6-1高斯公式
6-2斯托克斯公式
7.两类曲线积分、曲面积分的联系
7-1两类曲线积分之间的联系
7-2两类曲面积分之间的联系
7-3高斯公式、斯托克斯公式的另一种表示
三、重点、难点：
重点：
对坐标的曲线积分的概念与物理意义及其计算，格林公式的应用，平面上曲线积分与路径无关的条件。
难点：
高斯公式与斯托克斯公式的应用。
第十二章常微分方程（12学时）
一、教学基要求：
1．了解微分方程的阶、通解、初始条件及特解的概念。
2．掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法。
3．会解齐次方程、全微分方程和伯努利方程。
4．会解一些可降阶的高阶微分方程。
5．理解线性微分方程的概念，理解线性微分方程解的结构。
6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法。
7．会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、教学要点：
1．常微分方程的基本概念
2．一阶微分方程及其解法
2-1可分离变量方程
2-2齐次方程
2-3可化为齐次微分方程的微分方程
2-4一阶线性微分方程
2-5伯努利方程。
3．全微分方程
4.微分方程的降阶法
4-1y（n）=f（x）=型方程
4-2不显含未知函数的方程
4-3不显含自变量的方程
5．线性微分方程解的结构
5-1函数组的线性相关与线性无关
5-2线性微分方程解的结构
6.二阶常系数线性微分方程
6-1二阶常系数齐次线性微分方程
6-2二阶常系数非齐次线性微分方程
三、重点、难点：
重点：
一阶微分方程的解法，微分方程的降阶法，二阶常系数线性微分方程的求解.
难点：
线性微分方程的解的结构；二阶常系数线性微分方程的求解。
附表：
教学时数分配表
序号
教学内容
学时分配
1
第一章函数、极限与连续
10
2
第二章导数和微分
12
3
第三章微分中值定理与导数的应用
12
4
第四章函数的积分
16
5
第五章定积分的应用
8
6
第六章无穷级数
10
7
第七章向量与空间解析几何
6
8
第八章多元函数微分学
14
9
第九章多元函数微分学的应用
10
10
第十章多元函数积分学（I）
16
11
第十一章多元函数积分学（II）
10
12
第十二章常微分方程
12
小计
136
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