华师版初中数学教案及随堂练习全第十九章 全等三角形.docx

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华师版初中数学教案及随堂练习全第十九章全等三角形

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第十九章全等三角形

§19.1命题与定理

一．知识点：

1.命题：

可以判断它是正确的或是错误的句子叫做命题（proposition）．正确的命题称为真命题，错误的命题称为假命题．在数学中，许多命题是由题设（或已知条件）、结论两部分组成的．题设是已知事项；结论是由已知事项推出的事项．

2.公理：

数学中有些命题的正确性是人们在长期实践中总结出来的，并把它们作为判断其他命题真假的原始依据，这样的真命题叫做公理（axioms）。

3.定理：

数学中有些命题可以从公理或其他真命题出发，用逻辑推理的方法证明它们是正确的，并且可以进一步作为判断其他命题真假的依据，这样的真命题叫做定理（theorem）．

二．学习过程：

1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2.和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：

教材中的题目。

§19.2三角形全等的判定

一．知识点：

1.全等三角形的判定条件：

若两个三角形的三条边、三个角分别对应相等，则这两个三角形全等.

2.边角边：

如果两个三角形有两边及其夹角分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S.A.S.（或边角边）．

3.角边角：

如果两个三角形有两个角及其夹边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.S.A.（或角边角）．

4.角角边：

如果两个三角形有两个角和其中一个角的对边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为A.A.S.（或角角边）．

5.边边边：

如果两个三角形的三条边分别对应相等，那么这两个三角形全等．简记为S．S．S．（或边边边）.

6.斜边直角边：

如果两个直角三角形的斜边和一条直角边分别对应相等，那么

这两个直角三角形全等．简记为H．L．（或斜边直角边）．

二．学习过程：

1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2.和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：

教材中的题目。

全等三角形判定练习（基础题）

1.如图，△ABC≌△DEB，AB=DE，∠E=∠ABC，则∠C的对应角为，BD的对应边为.

2.如图，AD=AE，∠1=∠2，BD=CE，则有△ABD≌△，理由是，△ABE≌△，理由是.

（第1题）（第2题）（第4题）

3.已知△ABC≌△DEF，BC=EF=6cm，△ABC的面积为18平方厘米，则EF边上的高是cm.

4.如图，AD、A´D´分别是锐角△ABC和△A´B´C´中BC与B´C´边上的高，且AB=A´B´，AD=A´D´，若使△ABC≌△A´B´C´，请你补充条件（只需填写一个你认为适当的条件）

5.若两个图形全等，则其中一个图形可通过平移、或与另一个三角形完全重合.

6.如图，有两个长度相同的滑梯（即BC＝EF），左边滑梯的高度AC与右边滑梯水平方向的长度DF相等，则∠ABC＋∠DFE＝___________度

（第6题）（第7题）（第8题）（第9题）

7．已知：

如图，正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一

动点，则DN＋MN的最小值为__________．

8．如图，在△ABC中，∠B＝90o，D是斜边AC的垂直平分线与BC的交点，连结AD，

若∠DAC：

∠DAB＝2：

5，则∠DAC＝___________．

9．等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90o，BD平分∠ABC交AC于点D，若AB＋AD＝8cm，则底边BC上的高为___________．

10．锐角三角形ABC中，高AD和BE交于点H，且BH＝AC，则∠ABC＝__________度．

11．已知在△ABC中，AB=AC，∠A=56°，则高BD与BC的夹角为（）

A．28°B．34°C．68°D．62°

12．在△ABC中，AB=3，AC=4，延长BC至D，使CD=BC，连接AD，则AD的长的取值范围为（）

A．1＜AD＜7B．2＜AD＜14C．2.5＜AD＜5.5D．5＜AD＜11

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，CA=CB，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于点E，且AB=6，则△DEB的周长为（）

A．4B．6C．8D．10

14.对假命题“任何一个角的补角都不小于这个角”举反例，正确的反例是（）

A.∠α=60º，∠α的补角∠β=120º，∠β>∠αB.∠α=90º，∠α的补角∠β=900º，∠β=∠α

C.∠α=100º，∠α的补角∠β=80º，∠β<∠αD.两个角互为邻补角

15.△ABC与△A´B´C´中，条件①AB=A´B´，②BC=B´C´，③AC=A´C´，④∠A=∠A´，⑤∠B=∠B´，⑥∠C=∠C´，则下列各组条件中不能保证△ABC≌△A´B´C´的是（）

A.①②③　　B.①②⑤C.①③⑤D.②⑤⑥

17．如图，在△ABC中，AB=AC，高BD，CE交于点O，AO交BC于点F，则图中共有全等三角形（）

A．7对B．6对C．5对D．4对

18．如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD平分∠BAC交BC于点D，DE⊥AB于点E，若△DEB的周长为10cm，则斜边AB的长为（）

A．8cmB．10cmC．12cmD．20cm

19．如图，△ABC与△BDE均为等边三角形，AB＜BD，若△ABC不动，将△BDE

绕点B旋转，则在旋转过程中，AE与CD的大小关系为（）

A．AE=CDB．AE＞CDC．AE＜CDD．无法确定

20．已知∠P=80°，过不在∠P上一点Q作QM，QN分别垂直于∠P的两边，垂足为M，N，则∠Q的度数等于（）

A．10°B．80°C．100°D．80°或100°

21.如图，点E在AB上，AC=AD，请你添加一个条件，使图中存在全等三角形，并给予证明.所添条件为，

你得到的一对全等三角形是.

22.如图，EG∥AF，请你从下面三个条件中再选两个作为已知条件，另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况），并给予证明.①AB=AC，②DE=DF，③BE=CF，

已知：

EG∥AF，=，=，

求证：

证明：

23.如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，下面有四个条件，请你在其中选择3个作为题设，余下的1个作为结论，写一个真命题，并加以证明.

①AB=DE，②AC=DF，③∠ABC=∠DEF，④BE=CF

24.如图，四边形ABCD中，点E在边CD上.连结AE、BF，给出下列五个关系式：

①AD∥BC；②DE=CE③.∠1=∠2④.∠3=∠4.⑤AD+BC=AB将其中的三个关系式作为假设，另外两个作为结论，构成一个命题.

（1）用序号写出一个真命题，书写形式如：

如果……，那么……，并给出证明；

（2）用序号再写出三个真命题（不要求证明）；

（3）真命题不止以上四个，想一想就能够多写出几个真命题

25、如图，ABCD是正方形，点G是BC上的任意一点，于E，，交AG于F．求证：

．

26、如图，已知△ABC为等边三角形，点D、E分别在BC、AC边上，且AE=CD，

AD与BE相交于点F．

（1）求证：

≌△CAD；

（2）求∠BFD的度数．

全等三角形练习题

一、选择题

1．如图，给出下列四组条件：

①

；②

；

③

；④

．

其中，能使的条件共有（）

A．1组B．2组C．3组D．4组

2.如图，分别为的，边的中点，将此三角形沿折叠，使点落在边上的点处．若，则等于（）

3.如图，点是上任意一点，，还应补充一个条件，才能推出．从下列条件中补充一个条件，不一定能推出的是（）

A．B．C．D．

A．B．C．D．

第1题第2题

4.如图，在△ABC与△DEF中，已有条件AB=DE，还需添加两个条件才能使△ABC≌△DEF，不能添加的一组条件是（）

（A）∠B=∠E,BC=EF（B）BC=EF，AC=DF（C）∠A=∠D，∠B=∠E（D）∠A=∠D，BC=EF

5．如图，△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，

若AC=10cm，则△DBE的周长等于（）

A．10cmB．8cmC．6cmD．9cm

6．如图所示，表示三条相互交叉的公路，现要建一个货物中转站，要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有（）

Ａ．1处Ｂ．2处Ｃ．3处Ｄ．4处

第4题第5题第6题

7．某同学把一块三角形的玻璃打碎了3块，现在要到玻璃店去配一块完全一样的玻璃，那么最省事的方法是（）

A．带①去B．带②去C．带③去D．带①②③去

8．如图，在中，，是的垂直平分线，交于点，交于点．已知，则的度数为（）

A．B．C．D．

9．如图，，=30°，则的度数为（）

A．20°B．30°C．35°D．40°

10．如图，AC＝AD，BC＝BD，则有（）

A．AB垂直平分CDB．CD垂直平分AB

C．AB与CD互相垂直平分D．CD平分∠ACB

第9题第10题

11．尺规作图作的平分线方法如下：

以为圆心，任意长为半径画弧交、于、，再分别以点、为圆心，以大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线由作法得的根据是（）

A．SASB．ASAC．AAS　　D．SSS

12.如图,∠C=90°,AD平分∠BAC交BC于D,若BC=5cm,BD=3cm,

则点D到AB的距离为（）

A.5cmB.3cmC.2cmD.不能确定

13．如图，OP平分，，，垂足分别为A，B．下列结论中不一定成立的是（）

A．B．平分

C．D．垂直平分

14.如图，已知那么添加下列一个条件后，

仍无法判定的是（）

A．　　　　　　　B．

C．D．

第11题第12题第13题第14题

15.观察下列图形，则第个图形中三角形的个数是（）

A．B．C．D．

二、填空题

1.如图，已知，，要使≌，可补充的条件是（写出一个即可）．

2.如图,在△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB于E,且AB=5cm,则△DEB的周长为________

3.如图，，请你添加一个条件：

，使（只添一个即可）．

4.如图，在ΔABC中，∠C=90°∠ABC的平分线BD交AC于点D,若BD=10厘米，BC=8厘米，DC=6厘米，则点D到直线AB的距离是__________厘米。

3题4题

5.观察图中每一个大三角形中白色三角形的排列规律，则第5个大三角形中白色三角形

有个．

6.已知：

如图，△OAD≌△OBC，且∠O＝70°，∠C＝25°，则∠AEB＝________度.

7如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE、AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的结论有_______________________（把你认为正确的序号都填上）。

8.如图所示，AB=AD，∠1=∠2，添加一个适当的条件，使△ABC≌△ADE，则需要添加的条件是________.

三、解答题

1.如图，已知AB=AC，AD=AE，求证：

BD=CE.

2.如图，在中，，分别以为边作两个等腰直角三角形和，使．

（1）求的度数；

（2）求证：

．

3.如图，在△ABE中，AB＝AE,AD＝AC,∠BAD＝∠EAC,BC、DE交于点O.

求证：

（1）△ABC≌△AED；

（2）OB＝OE.

4.如图，D是等边△ABC的边AB上的一动点，以CD为一边向上作等边△EDC，连接AE，找出图中的一组全等三角形，并说明理由．

5.如图，在△ABC和△DCB中，AB=DC，AC=DB，AC与DB交于点M．

（1）求证：

△ABC≌△DCB；

（2）过点C作CN∥BD，过点B作BN∥AC，CN与BN交于点N，试判断线段BN与CN的数量关系，并证明你的结论．

6.（如图，四边形的对角线与相交于点，，．

求证：

（1）；

（2）．

7．如图，在和中，现给出如下三个论断：

①；②；

③．请选择其中两个论断为条件，另一个论断为结论，构造一个命题．

（1）写出所有的真命题（写成“”形式，用序号表示）：

．

（2）请选择一个真命题加以证明．

　你选择的真命题是：

．

证明：

8.已知：

如图，B、E、F、C四点在同一条直线上，AB＝DC，BE＝CF，∠B＝∠C．

求证：

OA＝OD．

9．如图，△ABC中，∠BAC=90度，AB=AC，BD是∠ABC的平分线，BD的延长线垂直于过C点的直线于E，直线CE交BA的延长线于F．

求证：

BD=2CE．

10.如图，

，请你写出图中三对全等三角形，并选取其中一对加以证明．

11．（7分）已知：

如图，DC∥AB，且DC=AE，E为AB的中点，

（1）求证：

△AED≌△EBC．

（2）观看图前，在不添辅助线的情况下，除△EBC外，请再写出两个与△AED的面积相等的三角形．（直接写出结果，不要求证明）：

12．如图①，E、F分别为线段AC上的两个动点，且DE⊥AC于E，BF⊥AC于F，若AB=CD，AF=CE，BD交AC于点M．

（1）求证：

MB=MD，ME=MF

（2）当E、F两点移动到如图②的位置时，其余条件不变，上述结论能否成立？

若成立请给予证明；若不成立请说明理由．

§19.3尺规作图

一．知识点：

1.尺规作图：

我们把只能使用圆规和没有刻度的直尺这两种工具去作几何图形的方法称为尺规作图。

2.五种基本作图：

（1）.作一条线段等于已知线段

（2）.作一个角等于已知角（3）.作已知角的平分线（4）.经过一已知点作已知直线的垂线（5）.作已知线段的垂直平分线。

二．学习过程：

1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2.和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：

教材中的题目。

尺规作图练习

一.理解运用：

1.用尺规作图,不能作出唯一三角形的（）

A.已知两角和夹边;B.已知两边和其中一边的对角

C.已知两边和夹角;D.已知两角和其中一角的对边

2.用尺规作图,不能作出惟一直角三角形的是（）

A.已知两条直角边B.已知两个锐角

C.已知一直角边和一锐角D.已知斜边和一直角边

3.下列画图语言表述正确的是（）

A.延长线段AB至点C,使AB=BCB.以点O为圆心作弧

C.以点O为圆心,以AC长为半径画弧　D.在射线OA上截取OB=a,BC=b,则有OC=a+b

4．利用基本作图不能唯一作出三角形的是（）

A．已知三边B．已知两边及夹角

C．已知夹角及两边D．已知两边及其中一边对角

5．利用基本作图不可作的等腰三角形是（）

A．已知底边及底边上的高B．已知底边上的高及腰

C．已知底边及顶角D．已知两底角

6．根据图形填空。

（1）连接两点；

（2）延长线段到点，使BC=

（3）在AM上截取=

（4）以点O为，以m为画交OA，OB分别于C，D．

7．如图，已知ABC边BC上有一点P，过P作平行于AB的直线。

8．如图，EFGH是一长方形的台球桌面，有黑白两球分别位于A、B两点的位置，试问：

怎样使白球B先碰到台边EF反弹再击中黑球，作出白球的入射点O（用尺规作图，不写作法，保留痕迹）

9．如图所示,已知线段a,求作:

（1）△ABC,使AB=BC=CA=a;

（2）⊙O,使它内切于△ABC.（说明:

保留作图痕迹，并写出作法）

二.拓展提高：

10．任一个角用尺规是不能三等分的，但对一个直角可以将其三等分，请你试一试．

11．已知：

如图，菱形ABCD的AB边在射线AM上，AC为它的对角线，请用尺规把这个菱形补充完整（保留作图痕迹，写出画法）

12.如图所示,已知线段a,b,m,求作△ABC,使BC=a,CA=b,AB边上的中线CD=m.

.

三.综合运用

13.如图，RtΔABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，用圆规和直尺作图，用两种方法把它分成两个三角形，且要求其中一个三角形的等腰三角形。

（保留作图痕迹，不要求写作法和证明）

答案

1．B[SSA不能判定两个三角形全等]

2．B[已知两角只能确定三角形的形状，大小不定]

3．C[A选项应为BC＝AB；B选项没有说明半径；D选项中没有指是顺次截取，结论不一定

4．D[利用三角形全等的识别方法来判定]

5．D[A符合SAS；B符合HL；符合AAS等；D大小不定]

6．⑴AB．⑵AB；C；AB．⑶线段；AB；a．⑷圆心；半径；圆弧．

7解：

如图，直线PD就是所求的直线．

8.解：

如图：

O即为所求的入射点．

9.解:

作法如下:

（1）①作线段BC=a;

②分别以B、C为圆心,以a为半径作弧,两弧交于A点;

③连结AB、AC,则△ABC即为所求.

（2）①作∠ABC的平分线BM;

②作∠ACB的平分线CN,BM与CN交于O;

③过O作OD⊥BC,垂足为D:

④以O为圆心,以OD为半径作⊙O,则⊙O即为所示.

10．如图：

11．解：

⑴如图．

⑵作AC的垂直平分线，交AM于B，交AN于D．

⑶连接CD、CB．

四边形ABCD就是所求作的菱形．

12.提示：

先画出草图分析：

作法如下:

（1）以CA=b,AE=a,CE=2m作△ACE;

（2）过C点作AE的平行线CF;

（3）取CE的中点D,连结AD并延长交CF于B.△ABC就是所求作的三角形.通过作AB的垂直平分线得DB＝DA，∴△DBA是等腰三角形．

§19.4逆命题与逆定理

一．知识点：

1.互逆命题：

一般来说，在两个命题中，如果第一个命题的题设是第二个命题的结论，而第一个命题的结论是第二个命题的题设，那么这两个命题叫做互逆命题．如果把其中一个命题叫做原命题，那么另一命题就叫做它的逆命题．每一个命题都有逆命题，但是原命题正确，它的逆命题未必正确。

2.互逆定理：

如果一个定理的逆命题也是定理，那么这两个定理叫做互逆定理，其中的一个定理叫做另一个定理的逆定理。

一个假命题的逆命题可以是真命题，甚至可以是定理．

3.等腰三角形的判定：

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等。

如果三角形的一条边的平方等于另外两条边的平方和，那么这个三角形是直角三角形。

4.角平分线：

角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。

三角形三条角平分线交于一点．

5.线段垂直平分线：

线段的垂直平分线是线段的对称轴，并线段的垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。

到一条线段的两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。

二．学习过程：

1．按教材的思路讲解，并归纳相关的知识点。

2.和学生一起完成课后习题。

三．例题及习题：

教材中的题目。

逆命题与逆定理习题

一、基础题

1．在两个直角三角形中，有两条边分别对应相等，这两个直角三角形一定全等吗？

如果不一定全等，请举出一个反例．

2．写出下列命题的逆命题，并判断这些命题的真假．

（1）如果∠α与∠β是邻补角，那么∠α+∠β=180°；

（2）如果一个三角形的两个内角相等，那么这两个内角所对的边相等．

3．已知：

如图，在五边形ABCDE中，∠B=∠E=90°，BC=ED，∠ACD=∠ADC．求证：

AB=AE．

4．已知：

如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD=CD．求证：

AB=AC．

5．已知：

如图，AC⊥CD，BD⊥CD，AB的垂直平分线EF交AB于E，交CD于F，且AC=FD．求证：

△ABF是等腰直角三角形．

6．判断由线段a、b、c组成的三角形是不是直角三角形．

（1）a=7，b=24，c=25；

（2）a=1.5，b=2.5；（3）a=，b=1，c=.

7．在△ABC中，AC=2a，BC=a2+1，AB=a2-1，其中a﹥1，△ABC是不是直角三角形？

如果是，那么哪一个角是直角？

8．如图，在四边形ABCD中，AB=1，BC=3，CD=DA=2，∠D=90°，求∠BAD的度数.

二、学科内综合题

9．已知等腰△ABC的底边BC=8cm，且|AC-BC|=2cm，则腰AC的长为（）

A．10cm或6cmB．10cmC．6cmD．8cm或6cm

三、学科间综合题

10．一平面镜以与水平成45°角固定在水平桌面上，如图，小球以1米秒的速度沿桌面向平面镜匀速滚去，则小球在平面镜里所成的像（）

A．以1米秒的速度，做竖直向上运动B．以l米秒的速度，做竖直向下运动

C．以2米秒的速度，做竖直向上运动D．以2米秒的速度，做竖直向下运动

四、应用题

11．如图，河南区一个工厂在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，到河上公路桥较近桥头（图中A点）的距离与到公路东侧学校（图中B点）的距离也相等，试在图上标出工厂的位置．

五、创新题

（一）教材中的变型题

12．（课本原题）

（1）在△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，AD为∠BAC的平分线．求证：

D在AB的垂直平分线上．

（2）如图，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线，交AB于D,交AC于E,∠EBC=30°求∠A的度数.

（二）一题多解

13．如图所示，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，求∠A的度数．

（三）一题多变

14．如左图所示，在△ABC中，BC的垂直平分线交AC于E，垂足为D，△ABE的周长是15cm，BD=6cm，求△ABC的周长．

（1）一变：

如右图所示，在△ABC中AB＝AC，DE是AB的垂直平分线，D为垂足，交AC于E．若AB=a，△ABC的周长为b，求△BCE的周长．

（四）开放题

15．如果两个等腰三角形，那么这两个等腰三角形全等．（只填一种能使结论成立的条件即可）

六、中考题

16．如下图左，Rt△ABC中，∠C=90°，斜边AB的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，AE平分∠BAC，那么下列关系不成立的是（）

A．∠B=∠CAEB．∠DEA=∠CEAC．∠B=∠BAED．AC=2EC

17．（如上图中所示，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°,直角∠EPF的顶点P是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．给出以下四个结论：

①AE=CF；②△EPF是等腰直角三角形；③S四边形AEPF=S△ABC；④EF=AP.当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A、B重合），上述结论始终正确的有（）

A．1个B．2个C．3个D．4个

18．如上图右所示，△ABC中，AB=AC，要使AD=AE，需要添加的一个条件是.

19．若等腰三角形的一个底角是30°，则这个等腰三角形的顶角是.

20．如下图，AM是△ABC的角平分线，N为BM的中点，NE∥AM，交AB于D，交CA的延长线于E，下列结论正确的是（）