轴对称练习题.docx

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轴对称练习题

轴对称练习题

1．理解轴对称图形以及两个图形成轴对称的概念，弄清它们之间的区别与联系，能识别轴对称图形．

2．理解图形成轴对称的性质，会画一些简单的关于某直线对称的图形．

一、填空题

1．如果一个图形沿着一条直线_____，直线两旁的部分能够_____，那么这个图形叫做_____，这条直线叫做它的_____，这时，我们也就说这个图形关于这条直线（或轴）_____．

2．把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与_____重合，那么这两图形叫做关于_____，这条直线叫做_____，折后重合的点是_____，又叫做_____．

3．成轴对称的两个图形的主要性质是

（1）成轴对称的两个图形是_____；

（2）如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对_____的垂直平分线．

4．轴对称图形的对称轴是_____．

5．

（1）角是轴对称图形，它的对称轴是_____；

（2）线段是轴对称图形，它的对称轴是_____；

（3）圆是轴对称图形，它的对称轴是_____．

二、选择题

6．在图1－1中，是轴对称图形的是（）

图1－1

7．在图1－2的几何图形中，一定是轴对称图形的有（）

图1－2

A．2个B．3个C．4个D．5个

8．如图1－3，ΔABC与ΔA'B'C'关于直线l对称，则∠B的度数为（）

图1－3

A．30°B．50°C．90°D．100°

9．将一个正方形纸片依次按图1－4a，b的方式对折，然后沿图c中的虚线裁剪，成图d样式，将纸展开铺平，所得到的图形是图1－5中的（）

图1－4

图1－5

10．如图1－6，将矩形纸片ABCD（图①）按如下步骤操作：

（1）以过点A的直线为折痕折叠纸片，使点B恰好落在AD边上，折痕与BC边交于点E（如图②）；

（2）以过点E的直线为折痕折叠纸片，使点A落在BC边上，折痕EF交AD边于点F（如图③）；（3）将纸片收展平，那么∠AFE的度数为（）

图1－6

A．60°B．67.5°C．72°D．75°

综合、运用、诊断

一、解答题

11．请分别画出图1－7中各图的对称轴．

（1）正方形

（2）正三角形（3）相交的两个圆

图1－7

12．如图1－8，ΔABC中，AB＝BC，ΔABC沿DE折叠后，点A落在BC边上的A'处，若点D为AB边的中点，∠A＝70°，求∠BDA'的度数．

图1－8

13．在图1－9中你能否将已知的正方形按如下要求分割成四部分，

（1）分割后的图形是轴对称图形；

（2）这四个部分图形的形状和大小都相同．

请至少给出四种不同分割的设计方案，并画出示意图．

图1－9

14．在图1－10这一组图中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当的图形．

图1－10

拓展、探究、思考

15．已知，如图1－11，在直角坐标系中，点A在y轴上，BC⊥x轴于点C，点A关于直线OB的对称点D恰好在BC上，点E与点O关于直线BC对称，∠OBC＝35°，求∠OED的度数．

图1－11

测试2线段的垂直平分线

学习要求

1．理解线段的垂直平分线的概念，掌握线段的垂直平分线的性质及判定，会画已知线段的垂直平分线．

2．能运用线段的垂直平分线的性质解决简单的数学问题及实际问题．

课堂学习检测

一、填空题

1．经过_____并且_____的_____叫做线段的垂直平分线．

2．线段的垂直平分线有如下性质：

线段的垂直平分线上的_____与这条线段_____的_____相等．

3．线段的垂直平分线的判定，由于与一条线段两个端点距离相等的点在_____，并且两点确定_____，所以，如果两点M、N分别与线段AB两个端点的距离相等，那么直线MN是_____．

4．完成下列各命题：

（1）线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____；

（2）与一条线段两个端点距离相等的点，在_____；

（3）不在线段垂直平分线上的点，与这条线段的_____；

（4）与一条线段两个端点距离不相等的点，_____；

（5）综上所述，线段的垂直平分线是_____的集合．

5．如图2－1，若P是线段AB的垂直平分线上的任意一点，则

（1）ΔPAC≌_____；

（2）PA＝_____；

（3）∠APC＝_____；（4）∠A＝_____．

图2－1

6．ΔABC中，若AB－AC＝2cm，BC的垂直平分线交AB于D点，且ΔACD的周长为14cm，则AB＝_____，AC_____.

7．如图2－2，ΔABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线交AC于P点．

（1）若∠A＝35°，则∠BPC＝_____；

（2）若AB＝5cm，BC＝3cm，则ΔPBC的周长＝_____．

图2－2

综合、运用、诊断

一、解答题

8．已知：

如图2－3，线段AB．

求作：

线段AB的垂直平分线MN．

作法：

图2－3

9．已知：

如图2－4，∠ABC及两点M、N．

求作：

点P，使得PM＝PN，且P点到∠ABC两边的距离相等．

作法：

图2－4

拓展、探究、思考

10．已知点A在直线l外，点P为直线l上的一个动点，探究是否存在一个定点B，当点P在直线l上运动时，点P与A、B两点的距离总相等．如果存在，请作出定点B；若不存在，请说明理由．

图2－5

11．如图2－6，AD为∠BAC的平分线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么点E、F是否关于AD对称？

若对称，请说明理由．

图2－6

测试3轴对称变换

学习要求

1．理解轴对称变换，能作出已知图形关于某条直线的对称图形．

2．能利用轴对称变换，设计一些图案，解决简单的实际问题.

一、填空题

1．由一个_____得到它的_____叫做轴对称变换．

2．如果由一个平面图形得到它关于某一条直线l的对称图形，那么，

（1）这个图形与原图形的_____完全一样；

（2）新图形上的每一点，都是_____；

（3）连接任意一对对应点的线段被_____．

3．由于几何图形都可以看成是由点组成的，因此，要作一个平面图形的轴对称图形，可归结为作该图形上的这些点关于对称轴的______．

二、解答题

4．试分别作出已知图形关于给定直线l的对称图形．

（1）

图3－1

（2）

图3－2

（3）

图3－3

5．如图3－4所示，已知平行四边形ABCD及对角线BD，求作ΔBCD关于直线BD的对称图形．（不要求写作法）

图3－4

6．如图3－5所示，已知长方形纸片ABCD中，沿着直线EF折叠，求作四边形EFCD关于直线EF的对称图形．（不要求写作法）

图3－5

7．为了美化环境，在一块正方形空地上分别种植不同的花草，现将这块空地按下列要求分成四块：

（1）分割后的整个图形必须是轴对称图形；

（2）四块图形形状相同；

（3）四块图形面积相等，现已有两种不同的分法：

①分别作两条对角线（图①），②过一条边的四等分点作该边的垂线段（图②），（图②中的两个图形的分割看作同一种方法）．请你按照上述三个要求，分别在图③的三个正方形中，给出另外三种不同的分割方法．（只画图，不写作法）

图3－6

综合、运用、诊断

8．已知：

如图3－7，A、B两点在直线l的同侧，点A'与A关于直线l对称，连接A'B交l于P点，若A'B＝a.

（1）求AP＋PB；

（2）若点M是直线l上异于P点的任意一点，求证：

AM＋MB＞AP＋PB．

图3－7

9．已知：

A、B两点在直线l的同侧，试分别画出符合条件的点M．

（1）如图3－8，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最小；

作法：

图3－8

（2）如图3－9，在l上求作一点M，使得｜AM－BM｜最大；

作法：

图3－9

（3）如图3－10，在l上求作一点M，使得AM＋BM最小．

图3－10

拓展、探究、思考

10．

（1）如图3－11，点A、B、C在直线l的同侧，在直线l上，求作一点P，使得四边形APBC的周长最小；

图3－11

（2）如图3－12，已知线段a，点A、B在直线l的同侧，在直线l上，求作两点P、Q（点P在点Q的左侧）且PQ＝a，四边形APQB的周长最小．

图3－12

11．

（1）已知：

如图3－13，点M在锐角∠AOB的内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使得ΔPMQ的周长最小；

图3－13

（2）已知：

如图3－14，点M在锐角∠AOB的内部，在OB边上求作一点P，使得点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小．

图3－14

测试4用坐标表示轴对称

学习要求

1．运用所学的轴对称知识，认识和掌握在平面直角坐标系中，与已知点关于x轴或y轴对称点的坐标的规律，进而能在平面直角坐标系中作出与一个图形关于x轴或y轴对称的图形．

2．能运用轴对称的性质，解决简单的数学问题或实际问题，提高分析问题和解决问题的能力．

课堂学习检测

一、解答题

1．按要求分别写出各对应点的坐标：

已知点

A（2,4）

B（－1,5）

C（－3,－7）

D（6,－8）

E（9,0）

F（0,－2）

关于y轴的对称点

A'（）

B'（）

C'（）

D'（）

E'（）

F'（）

关于x轴的对称点

A''（）

B''（）

C''（）

D''（）

E''（）

F''（）

2．已知：

线段AB，并且A、B两点的坐标分别为（－2，1）和（2，3）．

（1）在图4－1中分别画出线段AB关于x轴和y轴的对称线段A1B1及A2B2，并写出相应端点的坐标．

图4－1

（2）在图4－2中分别画出线段AB关于直线x＝－1和直线y＝4的对称线段A3B3及A4B4，并写出相应端点的坐标．

图4－2

3．如图4－3，已知四边形ABCD的顶点坐标分别为A（1，1），B（5，1），C（5，4），D（2，4），分别写出四边形ABCD关于x轴、y轴对称的四边形A1B1C1D1和A2B2C2D2的顶点坐标．

图4－3

综合、运用、诊断

4．如图4－4，ΔABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），点B的坐标为（3，1），如果要使ΔABD与ΔABC全等，求点D的坐标．

图4－4

拓展、探究、思考

5．如图4－5，在平面直角坐标系中，直线l是第一、三象限的角平分线．

图4－5

实验与探究：

（1）由图观察易知A（0，2）关于直线l的对称点A'的坐标为（2，0），请在图中分别标明B（5，3）、C（－2，5）关于直线l的对称点B'、C'的位置，并写出它们的坐标：

B'_____、C'_____；

归纳与发现：

（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：

坐标平面内任一点P（a，b）关于第一、三象限的角平分线l的对称点P'的坐标为_____（不必证明）；

运用与拓广：

（3）已知两点D（1，－3）、E（－1，－4），试在直线l上确定一点Q，使点Q到D、E两点的距离之和最小，并求出Q点坐标．

测试5等腰三角形的性质

学习要求

掌握等腰三角形的性质，并能利用它证明两个角相等、两条线段相等以及两条直线垂直．

课堂学习检测

一、填空题

1．_____的_____叫做等腰三角形．

2．

（1）等腰三角形的性质1是______________________________________________．

（2）等腰三角形的性质2是______________________________________________．

（3）等腰三角形的对称性是_____，它的对称轴是_____．

图5－1

3．如图5－1，根据已知条件，填写由此得出的结论和理由．

（1）∵ΔABC中，AB＝AC，

∴∠B＝______．（）

（2）∵ΔABC中，AB＝AC，∠1＝∠2，

∴AD垂直平分______．（）

（3）∵ΔABC中，AB＝AC，AD⊥BC，

∴BD＝______．（）

（4）∵ΔABC中，AB＝AC，BD＝DC，

∴AD⊥______．（）

4．等腰三角形中，若底角是65°，则顶角的度数是_____．

5．等腰三角形的周长为10cm，一边长为3cm，则其他两边长分别为_____．

6．等腰三角形一个角为70°，则其他两个角分别是_____．

7．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是20°，则等腰三角形的底角等于_____．

二、选择题

8．等腰直角三角形的底边长为5cm，则它的面积是（）

A．25cm2B．12.5cm2

C．10cm2D．6.25cm2

9．等腰三角形的两边长分别为25cm和13cm，则它的周长是（）

A．63cmB．51cm

C．63cm和51cmD．以上都不正确

10．△ABC中，AB＝AC，D是AC上一点，且AD＝BD＝BC，则∠A等于（）

A．45°B．36°C．90°D．135°

综合、运用、诊断

一、解答题

11．已知：

如图5－2，ΔABC中，AB＝AC，D、E在BC边上，且AD＝AE．

求证：

BD＝CE．

图5－2

12．已知：

如图5－3，D、E分别为AB、AC上的点，AC＝BC＝BD，AD＝AE，DE＝CE，

求∠B的度数．

图5－3

13．已知：

如图5－4，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．

试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．

图5－4

拓展、探究、思考

14．已知：

如图5－5，RtΔABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，D是BC的中点，AE＝BF．

求证：

（1）DE＝DF；

（2）ΔDEF为等腰直角三角形．

图5－5

15．在平面直角坐标系中，点P（2，3），Q（3，2），请在x轴和y轴上分别找到M点和N点，使四边形PQMN周长最小．

（1）作出M点和N点．

（2）求出M点和N点的坐标．

图5－6

测试6等腰三角形的判定

学习要求

掌握等腰三角形的判定定理．

课堂学习检测

一、填空题

1．等腰三角形的判定定理是_________________________________________________．

2．ΔABC中，∠B＝50°，∠A＝80°，AB＝5cm，则AC＝______．

3．如图6－1，AE∥BC，∠1＝∠2，若AB＝4cm，则AC＝____________．

4．如图6－2，∠A＝∠B，∠C＋∠CDE＝180°，若DE＝2cm，则AD＝____________．

图6－1图6－2图6－3图6－4

5．如图6－3，四边形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D，若CD＝1.8cm，则BC＝______．

6．如图6－4，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______．

7．ΔABC中，CD平分∠ACB，DE∥BC交AC于E，DE＝7cm，AE＝5cm，则AC＝______．

8．ΔABC中，AB＝AC，BD是角平分线，若∠A＝36°，则图中有______个等腰三角形．

9．判断下列命题的真假：

（1）有两个内角分别是70°、40°的三角形是等腰三角形．（）

（2）平行于等腰三角形一边的直线所截得的三角形仍是等腰三角形．（）

（3）有两个内角不等的三角形不是等腰三角形．（）

（4）如果一个三角形有不在同一顶点处的两个外角相等，那么这个三角形是等腰三角形．（）

综合、运用、诊断

一、解答题

10．已知：

如图6－5，ΔABC中，BC边上有D、E两点，∠1＝∠2，∠3＝∠4．

求证：

△ABC是等腰三角形．

图6－5

11．已知：

如图6－6，ΔABC中，AB＝AC，E在CA的延长线上，ED⊥BC．

求证：

AE＝AF.

图6－6

12．已知：

如图6－7，ΔABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，BF平分∠ABC交CD于E，交AC于F.

求证：

CE＝CF．

图6－7

13．如图6－8，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，

求证：

BQ＋AQ＝AB＋BP．

图6－8

拓展、探究、思考

14．如图6－9，若A、B是平面上的定点，在平面上找一点C，使ΔABC构成等腰直角三角形，问这样的C点有几个？

并在图6－9中画出C点的位置．

图6－9

15．如图6－10，对于顶角∠A为36°的等腰ΔABC，请设计出三种不同的分法，将ΔABC分割为三个三角形，并且使每个三角形都是等腰三角形．

图6－10

测试7等腰三角形的判定与性质

学习要求

熟练运用等腰三角形的判定定理与性质定理进行推理和计算．

课堂学习检测

一、填空题

1．如果一个三角形的两条高线相等（如图7－1），那么这个三角形一定是______．

图7－1

2．如图7－2，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______．

图7－2

3．如图7－3，ΔABC中，AB＝AC，AD＝BD，AC＝CD，则∠BAC＝______．

图7－3

4．如图7－4，在ΔABC中，∠ABC＝120°，点D、E分别在AC和AB上，且AE＝ED＝DB＝BC，则∠A的度数为______°．

图7－4

5．如图7－5，ΔABC是等腰直角三角形，BD平分∠ABC，DE⊥BC于点E，且BC＝10cm，则△DCE的周长为______cm．

图7－5

二、选择题

6．△ABC中三边为a、b、c，满足关系式（a－b）（b－c）（c－a）＝______图7－50，则这个三角形一定为（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．等腰钝角三角形D．等腰直角三角形

7．若一个三角形是轴对称图形，则这个三角形一定是（）

A．等边三角形B．不等边三角形

C．等腰三角形D．等腰直角三角形

8．如图7－6，ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，若AD、AE三等分∠BAC，则图中等腰三角形有（）

A．4个B．5个C．6个D．7个

图7－6图7－7

9．等腰三角形两边a、b满足｜a－b＋2｜＋（2a＋3b－11）2＝0，则此三角形的周长是（）

A．7B．5C．8D．7或5

10．如图7－7，ΔABC中，AB＝AC，BE＝CD，BD＝CF，则∠EDF＝（）

A．2∠AB．90°－2∠A

C．90°－∠AD．

三、解答题

11．已知：

如图7－8，AD是∠BAC的平分线，∠B＝∠EAC，EF⊥AD于F.

求证：

EF平分∠AEB．

图7－8

12．已知：

如图7－9，在ΔABC中，CE是角平分线，EG∥BC，交AC边于F，交∠ACB的外角（∠ACD）的平分线于G，探究线段EF与FG的数量关系并证明你的结论．

图7－9

13．如图7－10，过线段AB的两个端点作射线AM，BN，使AM∥BN，请按以下步骤画图并回答．

（1）画∠MAB、∠NBA的平分线交于点E，∠AEB是什么角？

（2）过点E任作一线段交AM于点D，交BN于点C．观察线段DE、CE，有什么发现？

请证明你的猜想．

（3）试猜想AD，BC与AB有什么数量关系？

图7－10

14．已知：

如图7－11，ΔABC中，AB＝AC，∠A＝100°，BE平分∠B交AC于E．

（1）求证：

BC＝AE＋BE；

（2）探究：

若∠A＝108°，那么BC等于哪两条线段长的和呢？

试证明之．

图7－11

测试8等边三角形

学习要求

掌握等边三角形的性质和判定．

课堂学习检测

一、填空题

1．_____的_____叫做等边三角形．

2．等边三角形除一般的等腰三角形的性质外，它的特有性质主要有：

（1）边的性质：

_____；

（2）角的性质：

_____；

（3）对称性：

等边三角形是_____图形，它有_____对称轴．

3．等边三角形的判定方法：

（1）三条边_____的_____是等边三角形；

（2）三个角_____的_____是等边三角形；

（3）_____的等腰三角形是等边三角形．

4．含30°角的直角三角形的一个主要性质是______．

5．判断下列命题的真假：

①有一个外角是120°的等腰三角形是等边三角形．（）

②有两个外角相等的等腰三角形是等边三角形．（）

③有一边上的高也是这边上的中线的等腰三角形是等边三角形．（）

④三个外角都相等的三角形是等边三角形．（）

6．已知：

如图8－1，ΔABC是等边三角形，AE⊥BC于E，AD⊥CD于D，若AB∥CD，则图中60°的角有_____个．

图8－1

7．如图8－2，B、C、D在一直线上，ΔABC、ΔADE是等边三角形，若CE＝15cm，CD＝6cm，则AC＝_____，∠ECD＝_____．

图8－2

8．如图8－3，已知ΔABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，DE垂直平分AC交BC于D，垂足为E，若DE＝2cm，则BC＝_____cm.

图8－3

综合、运用、诊断

解答题

9．已知：

如图8－4，ΔABC和ΔBDE都是等边三角形．

（1）求证：

AD＝CE；

（2）当AC⊥CE时，判断并证明AB与BE的数量关系．

图8－4

10．如图8－5，已知ΔABC是等边三角形，D、E分别在边BC、AC上，且CD＝CE，连接DE并延长至点F，使EF＝AE，连接AF、BE和CF．

（1）请在图中找出一对全等三角形，用符号“≌”表示，并加以证明；

（2）求证：

AF＝BD．

图8－5

11．已知：

如图8－6，四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CD∥AB，BC＝6cm，∠BAD＝30°，∠B＝90°．求CD的长______．

图8－6

拓展、探究、思考

12．

（1）如图8－7，点O是线段AD的中点，分别以AO和DO为边在线段AD的同侧作等边三角形OAB和等边三角形OCD，连接AC和BD，相交于点E，连接BC，求∠AEB的大小；

图8－7

（2）如图8－8，△OAB固定不动，保持△OCD的形状和大小不变，将△OCD绕着点O旋转（△OAB和△OCD不能重叠），求∠AEB的大小．

图8－8

13．已知：

如图8－9，△ABC为等边三角形，延长BC到D，延长BA到E，使AE＝BD，连接CE、DE．

求证：

CE＝DE.

图8－9

14．已知：

如图8－10，四边形ABCD中，∠A＝∠B＝90°，∠C＝60°，CD＝2AD，AB＝4．

（1）在AB边上求作点P，使PC＋PD最小；

图8－10

（2）求出

（1）中PC＋PD的最小值．