成才之路数学选修21之111 56.docx

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成才之路数学选修21之11156

3.2.4

一、选择题

1．平面α的斜线l与它在这个平面上射影l′的方向向量分别为a＝（1,0,1），b＝（0,1,1），则斜线l与平面α所成的角为（　　）

A．30°　　　B．45°　　　

C．60°　　　D．90°

[答案]　C

[解析]　l与α所成的角为a与b所成的角（或其补角），∵cos〈a，b〉＝＝，

∴〈a，b〉＝60°.

2．（08·全国Ⅱ）已知正四棱锥S－ABCD的侧棱长与底面边长都相等，E是SB的中点，则AE、SD所成的角的余弦值为（　　）

A.　　　B.　　　

C．－　　　D.

[答案]　C

[解析]　如图，设棱长为1，

∵＝（＋）＝（＋－），

∴||＝

＝，

∴cos〈，〉＝

＝＝

＝－，故选C.

3．如图，在棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别为A1B1和BB1的中点，那么直线AM与CN所成的角的余弦值为（　　）

A.　　B.

C.　　D.

[答案]　D

[解析]　解法一：

∵＝＋，＝＋，

∴·＝（＋）·（＋）

＝·＝.

而||＝

＝＝＝.

同理，||＝.如令α为所求角，则

cosα＝＝＝.应选D.

解法二：

如图以D为原点，分别以DA、DC、DD1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则A（1,0,0），M（1，，1），C（0,1,0），N（1,1，），

∴＝－（1,0,0）＝（0，，1），＝（1,1，）－（0,1,0）＝（1,0，）．

故·＝0×1＋×0＋1×＝，

||＝＝，

||＝＝.

∴cosα＝＝＝.

4．把正方形ABCD沿对角线AC折起成直二面角，点E、F分别是AD、BC的中点，O是正方形中心，则折起后，∠EOF的大小为（　　）

A．（0°，90°）B．90°

C．120°D．（60°，120°）

[答案]　C

[解析]　＝（＋），＝（＋），

∴·＝（·＋·＋·＋·）＝－||2.

又||＝||＝||，

∴cos〈，〉＝＝－.

∴∠EOF＝120°，故选C.

5．把正方形ABCD沿对角线AC折起，当A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD与平面ABC所成的角的大小为（　　）

A．90°　　　B．60°　　　

C．45°　　　D．30°

[答案]　C

[解析]　翻折后A、B、C、D四点构成三棱锥的体积最大时，平面ADC⊥平面BAC，设未折前正方形的对角线交点为O，则∠DBO即为BD与平面ABC所成的角，大小为45°.

6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，若F、G分别是棱AB、CC1的中点，则直线FG与平面A1ACC1所成角的正弦值等于（　　）

A.　　B.　　

C.　　D.

[答案]　D

[解析]　解法一：

过F作BD的平行线交AC于M，则∠MGF即为所求．

设正方体棱长为1，MF＝，GF＝，

∴sin∠MGF＝.

解法二：

分别以AB、AD、AA1为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则易知平面ACC1A1的一个法向量为n＝（－1,1,0），

∵F（，0,0），G（1,1，），∴＝，

设直线FG与平面A1ACC1所成角θ，

则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝＝.

7．从点P引三条射线PA、PB、PC，每两条的夹角都是60°，则二面角B—PA—C的余弦值是（　　）

A.　　　B.　　　

C.　　　D.

[答案]　B

[解析]　在射线PA上取一点O，分别在面PAB，PAC内作OE⊥PA，OF⊥PA交PB，PB于EF，连接E、F，则∠EOF即为所求二面角的平面角．在△EOF中可求得cos∠EOF＝.

8．在边长为a的正三角形ABC中，AD⊥BC于D，沿AD折成二面角B—AD—C后，BC＝a，这时二面角B—AD—C的大小为（　　）

A．30°　　　　B．45°　　　　

C．60°　　　　D．90°

[答案]　C

二、填空题

9．如图，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AB＝1，点D在棱BB1上，且BD＝1，则AD与平面AA1C1C所成角的正弦值为________．

[答案]　

[解析]　解法一：

取AC、A1C1的中点M、M1，连结MM1、BM.过D作DN∥BM，则容易证明DN⊥平面AA1C1C.连结AN，则∠DAN就是AD与平面AA1C1C所成的角．

在Rt△DAN中，

sin∠DAN＝＝＝.

解法二：

取AC、A1C1中点O、E，则OB⊥AC，OE⊥平面ABC，以O为原点OA、OB、OE为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，

在正三角形ABC中，BM＝AB＝，

∴A，B，D，

∴＝，

又平面AA1C1C的法向量为e＝（0,1,0），

设直线AD与平面AA1C1C所成角为θ，则

sinθ＝|cos〈，e〉|＝＝.

解法三：

设＝a，＝b，＝c，

由条件知a·b＝，a·c＝0，b·c＝0，

又＝－＝c－b，

平面AA1C1C的法向量＝（a＋b）．

设直线BD与平面AA1C1C成角为θ，则

sinθ＝|cos〈，〉|＝，

∵·＝（c－b）·（a＋b）

＝a·c－a·b＋b·c－|b|2＝－.

||2＝（c－b）2＝|c|2＋|b|2－2b·c＝2，

∴||＝，

||2＝（a＋b）2＝（|a|2＋|b|2＋2a·b）＝，∴||＝，∴sinθ＝.

10．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，则A1B与平面A1B1CD所成角的大小为________．

[答案]　30°

[解析]　解法一：

连结BC1，设与B1C交于O点，连结A1O.

∵BC1⊥B1C，A1B1⊥BC1，A1B1∩B1C＝B1.

∴BC1⊥平面A1B1C，

∴A1B在平面A1B1CD内的射影为A1O.∴∠OA1B就是A1B与平面A1B1CD所成的角，

设正方体的棱长为1.

在Rt△A1OB中，A1B＝，BO＝，

∴sin∠OA1B＝＝＝.∴∠OA1B＝30°.

即A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.

解法二：

以D为原点，DA，DC，DD1分别x，y，z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则A1（1,0,1），C（0,1,0）．

∴＝（1,0,1），＝（0,1,0）．

设平面A1B1CD的一个法向量为n＝（x，y，z）

则⇒令z＝－1得x＝1.

∴n＝（1,0，－1），又B（1,1,0），∴＝（0,1，－1），

cos〈n，〉＝＝＝.

∴〈n，〉＝60°，

所以A1B与平面A1B1CD所成的角为30°.

11．如图所示，ABCD是直角梯形，∠ABC＝90°，SA⊥平面ABCD，SA＝AB＝BC＝1，AD＝，则SC与平面ABCD所成的角的大小为________．

[答案]　－arccos

[解析]　是平面ABCD的法向量，

设与的夹角为φ.

∵＝＋＋，

∴·＝·（＋＋）＝·＝1.

||＝1，||＝

＝＝，

∴cosφ＝＝.∴φ＝arccos.

从而CS与平面ABCD所成的角为－arccos.

三、解答题

12．在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB＝，BC＝1，PA＝2，E为PD的中点．

（1）求直线AC与PB所成角的余弦值；

（2）在侧面PAB内找一点N，使NE⊥平面PAC.

[解析]　

（1）建立如图所示的空间直角坐标系，

则A（0,0,0）、B（，0,0）、C（，1,0）、D（0,1,0）、P（0，0,2），E（0，，1），

∴＝（，1,0），＝（，0，－2）

设与的夹角为θ，则

cosθ＝＝＝，

∴AC与PB所成角的余弦值为.

（2）由于N点在侧面PAB内，故可设N（x,0，z），则＝（－x，，1－z），由NE⊥平面PAC可得，

即

化简得.∴，

即N点的坐标为（，0,1）．

13．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E、F分别为棱D1C1、B1C1的中点，求平面EFC与底面ABCD所成二面角的正切值．

[解析]　以D为原点，{，，}为单位正交基底建立空间直角坐标系如图，则C（0,1,0），E（0，，1），F（，1,1）．

设平面CEF的法向量为n＝（x，y，z），则，

∵＝，＝，

∴，∴，

令z＝1，则n＝（－2,1,1）．

显然平面ABCD的法向量e＝（0,0,1），则

cos〈n，e〉＝＝.

设二面角为α，则cosα＝，∴tanα＝.

14．如图，在四棱锥P－ABCD中，PD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，PD＝DC，E、F分别是AB、PB的中点．

（1）求证：

EF⊥CD；

（2）在平面PAD内求一点G，使GF⊥平面PCB，并证明你的结论；

（3）求DB与平面DEF所成角的大小．

[解析]　以DA、DC、DP所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系（如图），设AD＝a，则D（0,0,0）、A（a,0,0）、B（a，a,0）、C（0，a,0）、E（a，，0）、F（，，）、P（0,0，a）．

（1）·＝（－，0，）·（0，a,0）＝0，∴EF⊥DC.

（2）设G（x,0，z），则G∈平面PAD.

＝（x－，－，z－），

·＝（x－，－，z－）·（a,0,0）

＝a（x－）＝0，∴x＝；

·＝（x－，－，z－）·（0，－a，a）

＝＋a（z－）＝0，∴z＝0.

∴G点坐标为（，0,0），

即G点为AD的中点．

（3）设平面DEF的法向量为n＝（x，y，z）．

由得，

即

取x＝1，则y＝－2，z＝1，∴n＝（1，－2,1）．

cos<，n>＝＝＝，

∴DB与平面DEF所成角大小为－arccos.

15．（2010·湖南理，18）如图5所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．

（1）求直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值；

（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使B1F∥平面A1BE？

证明你的结论．

[解析]　解法一：

设正方体的棱长为1，如图所示，以，，为单位正交基底建立空间直角坐标系．

（1）依题意，得B（1,0,0），E（0,1，），A（0,0,0），D（0,1,0），

所以＝（－1,1，），＝（0,1,0）．

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，因为AD⊥平面ABB1A1，所以是平面ABB1A1的一个法向量，设直线BE与平面ABB1A1所成的角为θ，则

sinθ＝＝＝.

即直线BE与平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

（2）依题意，得A1（0,0,1），＝（－1,0,1）,＝（－1,1，）．

设n＝（x，y，z）是平面A1BE得一个法向量，则由n·＝0，n·＝0，得

所以x＝z，y＝z.取z＝2，得n＝（2,1,2）．

设F是棱C1D1上的点，则F（t,1,1）（0≤t≤1）．

又B1（1,0,1），所以＝（t－1,1,0），而B1F⊄平面A1BE，于是B1F∥平面A1BE⇔·n＝0⇔（t－1,1,0）·（2,1,2）＝0⇔2（t－1）＋1＝0⇔t＝⇔F为C1D1的中点．

这说明在棱C1D1上存在一点F（C1D1的中点），使B1F∥平面A1BE.

解法二：

（1）如图（a）所示，取AA1的中点M，连结EM，BM.

因为E是DD1的中点，四边形ADD1A1为正方形，所以EM∥AD.

又在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AD⊥平面ABB1A1，

所以EM⊥ABB1A1，从而BM为直线BE在平面ABB1A1上的射影，∠EBM直线BE与平面ABB1A1所成的角．

设正方体的棱长为2，则EM＝AD＝2，BE＝＝3.

于是，在Rt△BEM中，sin∠EBM＝＝.

即直线BE和平面ABB1A1所成的角的正弦值为.

（2）在棱C1D1上存在点F，使B1F∥平面A1BE.

如图（b）所示，分别取C1D1和CD的中点F，G，连结EG，BG，CD1，FG.

因A1D1∥B1C1∥BC，且A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1为平行四边形，因此D1C∥A1B.

又E，G分别为D1D，CD的中点，所以EG∥D1C，从而EG∥A1B.

这说明A1，B，G，E共面．所以BG⊂平面A1BE.

因四边形C1CDD1与B1BCC1皆为正方形，F，G分别为C1D1和CD的中点，所以FG∥C1C∥B1B，且FG＝C1C＝B1B，因此四边形B1BGF为平行四边形，所以B1F∥BG.

而B1F⊄平面A1BE，BG⊂平面A1BE，故B1F∥平面A1BE.

[点评]　本题考查了直线与平面所成的角，直线与平面平行的性质与判定．综合考查了学生空间想象能力、探究能力和运算能力．