著名机构六年级数学上册同步讲义52圆的面积.docx
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著名机构六年级数学上册同步讲义52圆的面积
圆的面积
学生姓名
年级
学科
授课教师
日期
时段
核心内容
圆的面积、圆环的面积
课型
一对一
教学目标
1、理解圆面积计算公式的推导过程，掌握圆面积的计算公式，能运用公式解决实际问题；
2、掌握圆环面积的计算方法，并能正确计算圆环的面积；
3、理解圆与内、外正方形之间面积的关系，
重、难点
重点：
运用圆、圆环面积计算公式、圆与正方形面积关系解决实际问题
难点：
理解把圆转化为长方形推导出计算公式的过程；理解圆环面积公式的推导过程；理解圆与正方形之间的面积关系
课首沟通
说出长方形、正方形、平行四边形、三角形、梯形的面积公式，并表达平行四边形、梯形的面积公式的推导过程
知识导图
课首小测
1.小圆半径6厘米，大圆半径8厘米。
大圆和小圆半径的比是（）；直径的比是（）；周长的比是（）；面积的比是（）。
2.[单选题]把一张圆形纸片沿半径平均分成若干份，拼成一个近似长方形，其周长（）。
A.等于圆周长B.大于圆周长C.小于圆周长D.无法比较
导学一：
圆的面积
知识点讲解1
1.圆的面积公式推导、应用
意义：
圆形物体、图形所占平面的大小或圆形物体表面的大小就是圆的面积。
圆面积公式的推导：
（1）用逐渐逼近的转化思想：
体现化圆为方，化曲为直；化新为旧，化未知为已知，化复杂为简单，化抽象为具体。
（2）把一个圆等分（偶数份）成的扇形份数越多，拼成的图像越接近长方形。
（3）拼出的图形与圆的周长和半径的关系。
圆的半径=长方形的宽，圆的周长的一半=长方形的长.因为：
长方形的面积=长×宽
所以：
圆的面积=圆周长的一半×圆的半径
例1.下面是一个圆平均分成若干份后拼成的一个近似长方形，求出该圆的面积。
（单位：
厘米）
例2.将一个圆平均分成1000个完全相同的小扇形，割拼成近似的长方形的周长比原来圆的周长长10厘米，这个长方形的面积是多少平方厘米？
【学有所获】由圆形转化而来的长方形的周长比圆的周长增加两条半径（即一条直径）。
知识点讲解2
2.一个圆某个量引起的变化规律
积的变化规律：
两个因数相乘，一个因数不变，另一个因数扩大或缩小多少倍，积也扩大或缩小相同的倍数。
应用：
一个圆，半径扩大或缩小多少倍，直径、周长也扩大或缩小
例1.在同一个圆里，半径扩大3倍，那么直径扩大（）倍，周长扩大（）倍，面积扩大（）倍。
【学有所获】进一步加深理解圆面积公式的推导，基本弄清两圆长度比与面积比的区别。
例2.一个圆的半径缩小到原来的，直径缩小到原来的（），周长缩小到原来的（），面积缩小到原来的
（）；如果圆的半径增加，圆的直径增加（），圆的周长增加（），圆的面积增加（）。
【学有所获】增加的倍数等于扩大倍数减去1倍；增加的具体数等于扩大后的数减去原来的数。
导学二：
圆环的面积
知识点讲解1
1、圆环的面积公式推导、应用
环形的面积：
一个环形，外圆的半径是R，内圆的半径是r。
（R=r+环的宽度）
例1.一个圆形喷水池的半径是10米，在水池外边有一条1米宽的水泥路。
路的面积是多少平方米？
【学有所获】真正弄清圆环面积公式，并能用公式解决实际问题
知识点讲解2
2、两个圆的同类量的比
比的基本性质：
比的前项和后项同时乘或除以相同的数（0除外），比值不变。
应用：
两个圆中，半径比=直径比=周长比；而面积比等于前后项各自半径的平方的比。
例1.两个圆的半径比是2:
3，那么这两个圆的直径比是（），周长比是（），面积比是（
）。
【学有所获】两个圆中，半径比=直径比=周长比；而面积比等于前后项各自的平方的比。
例2.甲乙两圆的周长比是2：
3，其中一个圆的面积是36cm2，另一个圆的面积可能是（），也可能是（）。
【学有所获】两个圆中，半径比=直径比=周长比；而面积比等于前后项各自的平方的比；按比例分配中，可先确定平均每份是多少，再求对应份数的对应量。
导学三：
圆与正方形之间的面积关系
知识点讲解1
1
例1.从一块边长10厘米的正方形铁皮上剪下一个面积最大的圆（如下图）。
剪下的圆形铁皮的面积是多少平方厘米？
剩下铁皮的面积占原来正方形铁皮面积的几分之几？
【学有所获】正方形与内切圆的面积比是4：
π。
例2.下图中正方形的面积是80平方厘米，阴影部分的面积是多少平方厘米？
【学有所获】正方形的面积是80平方厘米，不能还原求解出边长进行顺向思维理解，但可把正方形的面积看作单位“1”理解，则圆的面积就是。
例3.从一个圆上剪去一个面积最大的正方形，剪去的正方形的面积是圆面积的几分之几？
【学有所获】S小正:
S圆=（×r2×4）:
（r2）=2r2:
r2=2:
π
例4.一个圆形铁皮的面积是628平方厘米，从上面剪去一个面积最大的正方形，剪去的正方形的面积是多少平方厘米？
【学有所获】把“一个圆形铁皮的面积是628平方厘米”看作单位“1”，转化为求一个数的几分之几是多少。
知识点讲解2
长方形、正方形与圆三者中，周长相等的面积关系及面积相等的周长关系
1、周长相等的长方形、正方形和圆，S圆＞S正＞S长。
2、（逆向推导，以S正方形的面积为标准，去改变长方形和圆的周长）面积相等的长方形、正方形和圆，C圆＜C正＜C长。
例1.有三根长62.8m的绳子，小正、小圆、小方分别用一根绳子在操场上围出一块地，形状如下图，谁围的面积最大？
为什么？
【学有所获】周长相等的长方形、正方形和圆，S圆＞S正＞S长
限时考场模拟
1.半径是2厘米的圆的周长和面积相等。
（）
【学有所获】周长、面积所描述的单位不统一，不能比较。
2.
（2012年2012年小联盟试题）如图，把一个圆形纸片剪开后，拼成一个近似的长方形，这个长方形的周长是24.84厘米，圆形纸片的面积是平方厘米（π取3.14，结果用具体数字表示）。
【学有所获】做此类图形题，先分析图形是关于，要考虑其相关公式及其
应用；其次题目给出的数据是长方形的长度，需要考虑，先
求出长方形的周长的一半，再按长、宽的比是π比1按比例分配，最后套入公式求出圆的面积。
3.如下图所示，把一个半径为4厘米的圆分成偶数等份，再拼成一个近似的长方形，这个长方形的长是（
）厘米，宽是（）厘米，面积是（）平方厘米。
4.
（2014年2014年育才实验学校小升初试题）求右图中平行四边形的阴影部分面积（单位：
cm）
5.
[单选题]（2013年2013年大联盟小升初试题）如图，一个三角形的三个顶点分别为三个半径为3厘米的圆的圆心，则图中阴影部分的面积是（）
A.π平方厘米B.9π平方厘米C.4.5π平方厘米D.3π平方厘米
【学有所获】计算图形，必须先观察所属图形的对应公式，是求长度还是求面积；如果是组合图形，它们之间是否有联系，能通过图形变换（旋转、轴对称、平移）还是线段的重组呢？
6.一个运动场（如下图），两端是半圆形，中间是长方形。
（1）沿着这个运动场跑1圈，要跑多少米？
（2）给这个运动场铺上草坪，一共要铺草坪多少平方米？
7.圆的半径由6厘米增加到9厘米，圆面积增加了（）平方厘米。
8.如下图所示，在一个直径是10厘米的圆内剪下一个最大的正方形后，剩下部分的面积是（）平方厘米
课后作业
1.在草地中央的木桩上拴着一只羊，绳长为3米。
这只羊能吃到多大面积的草（绳的接头处忽略不计）？
2.一根6.28米的绳子正好可以绕一棵树的树干5圈。
这棵树树干的横截面的面积有多大？
3.将一根长100米的绳子，绕一棵大树20圈少48厘米，这棵大树横截面面积是多少平方厘米？
4.用一根10.28米的绳子，围成一个半圆形，这个半圆的半径是（）米，面积是（
）平方米。
【学有所获】半圆的周长公式：
Ｃ＝πd÷2＋d或Ｃ＝πr＋2r=（π＋2）r
5.一块环形碟片，外圆直径是10厘米，内圆直径是2厘米，这块环形碟片的面积是多少平方厘米？
6.甲圆半径是乙圆半径的3倍，甲圆的周长是乙圆周长的（）倍，甲圆面积是乙圆面积的
（）倍。
7.大圆半径是小圆半径的2倍，大圆面积比小圆面积多12平方厘米，小圆面积是（
）
8.小圆半径是大圆半径的，小圆面积和大圆面积的和是100平方米，大圆和小圆的面积各是多少？
9.有大小两个圆，大圆直径是小圆半径的6倍，小圆与大圆周长的比是（），小圆与大圆面积的比是（）。
10.在右图中,大圆与小圆的直径比是（）,周长比是（）,面积比是（
）。
11.在一块边长为6分米的正方形木板中，王师傅要锯下一个最大的圆，这个圆的面积是多少平方分米？
12.要在一张长6分米、宽5分米的木板上锯一个最大的圆，锯掉部分的面积是多少？
【学有所获】在长方形中锯取最大圆，以长方形中较短的边作圆的直径。
13.
图中圆与长方形面积相等，长方形长6.28米。
阴影部分面积多少平方米？
14.
圆形的面积是628cm2，求阴影部分的面积。
15.梯形面积是50平方厘米，求圆环的面积。
【学有所获】梯形面积可转化成大三角形减去小三角形，即：
（R2-r2）=50，可得：
R2-r2=50÷
=100（平方厘米）
1、整理本次课的笔记、重要例题、错题；
2、按时完成课后作业；
3、家长抽查笔记、提问个别例题、错题；
4、下次课前一晚，再复习笔记及重新审查作业，对不解的题目是否有新的认识，做好相关记录。
课首小测
1.4：
3#4：
3#4：
3#16：
9
2.B
导学一
知识点讲解1例题
1.50.24平方厘米
解析:
12.56×（12.56÷3.14）=50.24（cm2）
2.78.5cm2
解析:
3.14×（10÷2）2=78.5（cm2）
知识点讲解2例题
1.3#3#9
2.
导学二
知识点讲解1例题
1.65.94平方米
解析:
R：
10+1=11（米）3.14×（
）=65.94（平方米）
知识点讲解2
例题
1.2:
3#2:
3#4:
9
2.81cm2#16cm2
解析:
36÷22×32=81（cm2）36÷32×22=16（cm2）
导学三
知识点讲解1例题
1.78.5平方厘米；21.5%
2.17.2平方厘米
3.
4.400平方厘米
解析:
628×=400（平方厘米）
知识点讲解2例题
1.S圆=314（平方米）#S=246.49（平方米）#S长=214（平方米）#314>246.49>214
解析:
S圆:
3.14×（62.8÷3.14÷2）2=314（平方米）
S正：
（62.8÷4）2=246.49（平方米）
S长：
（62.8÷2-10）×10=214（平方米）314>246.49>214
限时考场模拟
1.×
2.28.26平方厘米
解析:
宽（即半径）：
24.84÷2÷（3.14+1）=3（厘米）面积：
3.14×32=28.26（平方厘米）3.12.56#4#50.24
4.100平方厘米
5.C
6.388.4米#8826平方米
解析:
周长：
100×2+3.14×60=388.4（米）
面积：
100×60+3.14×（60÷2）2=8826（平方米）
7.141.3平方米
解析:
3.14×（92-62）=141.3（平方米）8.28.5平方厘米
解析:
3.14×（10÷2）2×（1-
）=28.5（平方厘米）
课后作业
1.28.26平方米
2.0.1256平方米
解析:
3.14×（6.28÷5÷3.14÷2）2=0.1256（平方米）
3.20096平方厘米
解析:
3.14×【（100×100+48）÷20÷3.14÷2】2=20096（平方厘米）
4.2米#6.28平方米
解析:
r=Ｃ÷（π＋2）10.28÷（3.14＋2）=2（米）半圆面积：
3.14×22÷2=6.28（平方米）
5.75.36平方厘米
6.3#9
7.4平方厘米
8.90平方米#10平方米
9.1：
3#1：
9
10.2:
1#2:
1#4:
1
11.28.26平方分米
12.10.375平方分米
解析:
6×5-3.14×（5÷2）2=10.375（平方分米）13.9.42平方米
解析:
（6.28÷3.14）2×3.14×
=9.42（平方米）
14.10cm2
解析:
628×
×
=10（cm2）
15.314平方厘米
解析:
3.14×100=314（平方厘米）
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