人教版九年级上册2231 几何图形的面积问题 同步练习含答案.docx
《人教版九年级上册2231 几何图形的面积问题 同步练习含答案.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《人教版九年级上册2231 几何图形的面积问题 同步练习含答案.docx(14页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
人教版九年级上册2231几何图形的面积问题同步练习含答案
22.3 实际问题与二次函数同步练习
第1课时 几何图形的面积问题
一、选择题
1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是()
A.16米2B.18米2C.20米2D.24米2
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20cm2,则这个直角三角形的最大面积为()
A.25cm2B.50cm2
C.100cm2D.不确定
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为()
A.24cm2B.15cm2C.9cm2D.8cm2
4.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD=60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE+CF=8,则△DEF面积的最大值为()
A.2
B.4
C.8D.8
5.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=xcm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取()
A.30B.25C.20D.15
二、填空题
6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为 米2.
7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 m2.
8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是
cm2,则a的值为cm.
9.如图,B船位于A船正东25km处,现在A,B两船同时出发,A船以6km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是 km.
三、解答题
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)设运动开始后第ts时,五边形PQCDA的面积为Scm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时S最小?
求出S的最小值.
11.(2020·日照)如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).
(1)若四块矩形花圃的面积相等,求证:
AE=3BE;
(2)在
(1)的条件下,设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:
cm2)随其中一条对角线的长x(单位:
cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.
(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?
最大面积是多少?
(3)请说明
(2)中的函数S随x的变化情况.
13.某社区决定把一块长50m、宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)求活动区的最大面积.
14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.
15.工人师傅用一块长为10dm、宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12dm2时,裁掉的正方形边长为多少?
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?
最低总费用为多少?
16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB=16m,BC=12m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.
(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2,AG长为xm,求y与x之间的函数关系式;
(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.
参考答案
一、选择题
1.如图,小明想用长为12米的栅栏(虚线部分),借助围墙围成一个矩形花园ABCD,则矩形ABCD的最大面积是(B)
A.16米2B.18米2C.20米2D.24米2
2.已知一个直角三角形的两直角边之和为20cm2,则这个直角三角形的最大面积为(B)
A.25cm2B.50cm2
C.100cm2D.不确定
3.如图,在△ABC中,∠C=90°,AB=10cm,BC=8cm,点P从点A沿AC向点C以1cm/s的速度运动,同时点Q从点C沿CB向点B以2cm/s的速度运动(点Q运动到点B停止).在运动过程中,△PCQ面积的最小值为(C)
A.24cm2B.15cm2
C.9cm2D.8cm2
4.如图,菱形ABCD的边长为8,∠BAD=60°,E是AD上一动点(不与点A,D重合),F是CD上一动点,且AE+CF=8,则△DEF面积的最大值为(B)
A.2
B.4
C.8D.8
5.一种包装盒的设计方法如图所示,ABCD是边长为80cm的正方形硬纸片,切去阴影部分所示的4个全等的等腰直角三角形,再沿虚线折起,使得A,B,C,D四点重合于图中的点O,形成一个底面为正方形的长方体包装盒.设BE=CF=xcm,要使包装盒的侧面积最大,则x应取(C)
A.30B.25C.20D.15
二、填空题
6.如图,用总长度为12米的不锈钢材料设计成如图所示的外观为矩形的框架,所有横档和竖档分别与AD,AB平行,则矩形框架ABCD的最大面积为 4 米2.
7.在综合实践活动中,同学们借助如图所示的直角墙角(两边足够长),用24m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD,则矩形花园ABCD的最大面积为 144 m2.
8.如图,有一块边长为a的正三角形纸板,在它的三个角处分别截去一个彼此全等的筝形,再沿图中虚线折起,做成一个无盖的直三棱柱纸盒.若该纸盒侧面积的最大值是
cm2,则a的值为 3 cm.
9.如图,B船位于A船正东25km处,现在A,B两船同时出发,A船以6km/h的速度朝正北方向行驶,B船以8km/h的速度朝正西方向行驶,则两船相距最近是 15 km.
三、解答题
10.如图所示,在矩形ABCD中,AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发,沿AB边向点B以1cm/s的速度移动,同时点Q从点B出发,沿BC边向点C以2cm/s的速度移动.如果P,Q两点在分别到达B,C两点后就停止移动,回答下列问题:
(1)运动开始后第多少秒时,△PBQ的面积等于8cm2?
(2)设运动开始后第ts时,五边形PQCDA的面积为Scm2,写出S与t的函数关系式,并指出自变量t的取值范围.
(3)在
(2)的条件下,当t为何值时S最小?
求出S的最小值.
解:
(1)设运动开始后第xs时,△PBQ的面积等于8cm2,
∴AP=x,QB=2x,∴PB=6-x,
∴
×(6-x)×2x=8,解得x1=2,x2=4,
∴运动开始后第2s或第4s时,△PBQ的面积等于8cm2.
(2)第ts时,AP=tcm,PB=(6-t)cm,BQ=2tcm,
∴S△PBQ=
·(6-t)·2t=-t2+6t.
∵S矩形ABCD=6×12=72,
∴S=72-S△PBQ=t2-6t+72(0≤t≤6).
(3)∵S=t2-6t+72=(t-3)2+63,
∴当t=3s时,S有最小值63cm2.
11.(2020·日照)如图,某小区有一块靠墙(墙的长度不限)的矩形空地ABCD,为美化环境,用总长为100m的篱笆围成四块矩形花圃(靠墙一侧不用篱笆,篱笆的厚度不计).
(1)若四块矩形花圃的面积相等,求证:
AE=3BE;
证明:
∵矩形MEFN与矩形EBCF的面积相等,∴ME=BE.
∵四块矩形花圃的面积相等,
∴S矩形AMND=2S矩形MEFN,
∴AM=2ME.∴AE=3BE.
(2)在
(1)的条件下,设BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围.
解:
∵篱笆总长为100m,∴2AB+GH+3BC=100,
即2AB+
AB+3BC=100.∴AB=40-
BC.
∵BC的长度为xm,矩形区域ABCD的面积为ym2,
∴y=BC·AB=x
=-
x2+40x,
∵AB=40-
BC,∴BE=10-
x>0,解得x<
.
∴y=-
x2+40x
.
12.手工课上,小明准备做一个菱形的风筝,这个菱形的两条对角线长度之和恰好为60cm,菱形的面积S(单位:
cm2)随其中一条对角线的长x(单位:
cm)的变化而变化.
(1)请直接写出S与x之间的函数关系式.
(2)当x为多少时,菱形风筝的面积S最大?
最大面积是多少?
(3)请说明
(2)中的函数S随x的变化情况.
解:
(1)S=
x2+30x.
(2)由
(1)得S=-
(x-30)2+450,故当x为30cm时,菱形风筝的面积S最大,最大面积是450cm2.
(3)当013.某社区决定把一块长50m、宽30m的矩形空地建成居民健身广场,设计方案如图,阴影区域为绿化区(四块绿化区为大小、形状都相同的矩形),空白区域为活动区,且四周的4个出口宽度相同,其宽度不小于14m,不大于26m,设绿化区较长边为xm,活动区的面积为ym2.
(1)求y与x的函数关系式,并直接写出自变量x的取值范围;
(2)求活动区的最大面积.
解:
(1)根据题意,绿化区的宽为
[30-(50-2x)]=x-10,
∴y=50×30-4x(x-10)=-4x2+40x+1500.
由题知14≤50-2x≤26,解得12≤x≤18,
∴y=-4x2+40x+1500(12≤x≤18).
(2)由
(1)知y=-4x2+40x+1500=-4(x-5)2+1600.
∵a=-4<0,抛物线的开口向下,当12≤x≤18时,y随x的增大而减小,
∴当x=12时,y最大=1404.
答:
活动区的最大面积为1404m2.
14.如图,在等腰Rt△ABC中,∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,点D,E分别在AC,BC边上运动,且始终保持DF⊥EF,求△CDE面积的最大值.
解:
连接CF.
在等腰Rt△ABC中,∵∠C=90°,AB=10,F是AB的中点,
∴CF=AF,∠A=∠FCE,AC=BC=5
.
易得∠AFD=∠CFE,∴△ADF≌△CEF(ASA).
设AD=x(0),△CDE的面积为y,
∴CE=x,CD=5
-x,
∴y=
∴△CDE面积的最大值为
.
15.工人师傅用一块长为10dm、宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器,需要将四角各裁掉一个小正方形.(厚度不计)
(1)在图中画出裁剪示意图,用实线表示裁剪线,虚线表示折痕,并求长方体底面积为12dm2时,裁掉的正方形边长为多少?
(2)要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍,并将容器进行防锈处理(内、外两面都要处理).若侧面每平方分米的费用为0.25元,底面每平方分米的费用为2元,则裁掉的正方形边长为多少时,防锈处理的总费用最低?
最低总费用为多少?
解:
(1)如图所示,设裁掉的正方形的边长为xdm,
由题意可得(10-2x)(6-2x)=12,
即x2-8x+12=0,
解得x=2或x=6(舍去),
答:
裁掉的正方形的边长为2dm.
(2)因为长不大于宽的五倍,所以10-2x≤5(6-2x),解得0设总费用为w元,由题意可知w=0.25×4x(16-4x)+2(10-2x)(6-2x)=4x2-48x+120=4(x-6)2-24,
因为对称轴为x=6,开口向上,所以当0答:
当裁掉边长为2.5dm的正方形时,防锈处理的总费用最低,最低总费用为25元.
16.如图,某住宅小区有一块矩形场地ABCD,AB=16m,BC=12m,开发商准备对这块地进行绿化,分别设计了①②③④⑤五块地,其中①③为两块形状大小相同的正方形地用来种花,②④为两块形状大小相同的矩形地用来种植草坪,⑤为矩形地用来养殖观赏鱼.
(1)设矩形观赏鱼用地LJHF的面积为ym2,AG长为xm,求y与x之间的函数关系式;
(2)求矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值.
解:
(1)在矩形ABCD中,CD=AB=16,AD=BC=12,
∵正方形AEFG和正方形JKCI形状大小相同,矩形GHID和矩形EBKL形状大小相同,AG=x,
∴LE=DG=12-x,FL=EF-LE=x-(12-x)=2x-12,
LK=BE=16-x,LJ=LK-JK=(16-x)-x=16-2x.
∵S矩形LJHF=FL·LJ,
∴y=(2x-12)(16-2x)=-4x2+56x-192.
(2)由
(1)得y=-4x2+56x-192=-4(x-7)2+4.
∵FL=2x-12>0,LJ=16-2x>0,∴6∵a=-4<0,∴当x=7时,y有最大值,最大值为4.
答:
矩形观赏鱼用地LJHF面积的最大值为4m2.