小学奥数必须掌握的30个知识资料讲解.docx
《小学奥数必须掌握的30个知识资料讲解.docx》由会员分享,可在线阅读,更多相关《小学奥数必须掌握的30个知识资料讲解.docx(22页珍藏版)》请在冰豆网上搜索。
小学奥数必须掌握的30个知识资料讲解
小学奥数必须掌握的30个知识
小学奥数必须掌握的30个知识
1.和差倍问题
和差问题和倍问题差倍问题
已知条件几个数的和与差几个数的和与倍数几个数的差与倍数
公式适用范围已知两个数的和,差,倍数关系
公式①
(和-差)÷2=较小数[(a+b)-(a-b)]÷2=b
较小数+差=较大数b+(a-b)=a
和-较小数=较大数(a+b)-b=a
②(和+差)÷2=较大数[(a+b)+(a-b)]÷2=a
较大数-差=较小数a-(a-b)=b
和-较大数=较小数(a+b)-a=b
和÷(倍数+1)=小数(a+b)/(a/b+1)=b
小数×倍数=大数b*(a/b)=a
和-小数=大数(a+b)-b=a
差÷(倍数-1)=小数(a-b)/(a/b-1)=b
小数×倍数=大数b*(a/b)=a
小数+差=大数b+(a-b)=a
关键点:
求出同一条件下的和与差和与倍数差与倍数
2.年龄问题的三个基本特征:
①两个人的年龄差是不变的;
(a+n)-(b+n)=a-b
②两个人的年龄是同时增加或者同时减少的;
(a+n)-(b+n)=a-b
③两个人的年龄的倍数是发生变化的;
(a+n)/(b+n)不一定等于a/b
3.归一问题的基本特点:
问题中有一个不变的量,一般是那个“单一量”,题目一般用“照这样的速度”……等词语来表示。
关键点:
根据题目中的条件确定并求出单一量;
例如:
“一辆汽车4小时行120千米,照这样计算,行180千米要用几小时?
”先求平均1小时行多少千米,再求行180千米要几小时.
这个题的单一量就是速度=路程÷时间=120千米/4小时=30km/h
=30*1000米÷60*60秒=25/3(m/s)读作3分之25米每秒
解题算式=180÷(120÷4)=180×4÷120=6(h)
=180/(120/4)=180/30=6(h)
注意分子式的运算
4.植树问题
基本类型在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都植树在直线或者不封闭的曲线上植树,两端都不植树在直线或者不封闭的曲线上植树,只有一端植树封闭曲线上植树
基本公式
a.棵数=段数+1
在一条长为50米的路上,每隔2米种一棵树,开始结尾都要种,总共要种多少棵树。
段数=50/2=25段
棵树=段数+1=25+1=26棵
b.棵距×段数=总长棵数=段数-1
两棵树相距50米,每隔2米种插一杆彩旗,总共要插多少彩旗。
段数=50/2=25段
杆数=25-1=24杆
c.棵距×段数=总长棵数=段数
学校运动会进行50米跑的准备,老师在起点插了一面彩旗,叫同学们每隔2米插一杆彩旗,问同学们总共要插多少彩旗。
段数=50/2=25段
杆数=段数=25杆
关键点:
确定所属类型,从而确定棵数与段数的关系
5.鸡兔同笼问题
基本概念:
鸡兔同笼问题又称为置换问题、假设问题,就是把假设错的那部分置换出来;
基本思路:
①假设,即假设某种现象存在(甲和乙一样或者乙和甲一样):
②假设后,发生了和题目条件不同的差,找出这个差是多少;
③每个事物造成的差是固定的,从而找出出现这个差的原因;
④再根据这两个差作适当的调整,消去出现的差。
基本公式:
①把所有鸡假设成兔子:
鸡数=(兔脚数×总头数-总脚数)÷(兔脚数-鸡脚数)
②把所有兔子假设成鸡:
兔数=(总脚数一鸡脚数×总头数)÷(兔脚数一鸡脚数)
关键点:
找出总量的差与单位量的差。
例:
有兔和鸡在一个笼子里,从上面数有头50个,从下面数有脚158只,问鸡兔各多少只:
鸡=(4*50-158)/(4-2)=21
兔=(158-2*50)/(4-2)=29
用方程解:
设鸡为X只,兔就是50-X只
2*X+(50-X)*4=158
2X+200-4X=158
2X=42
X=21
50-X=29
6.盈亏问题
基本概念:
一定量的对象,按照某种标准分组,产生一种结果:
按照另一种标准分组,又产生一种结果,由于分组的标准不同,造成结果的差异,由它们的关系求对象分组的组数或对象的总量.
基本思路:
先将两种分配方案进行比较,分析由于标准的差异造成结果的变化,根据这个关系求出参加分配的总份数,然后根据题意求出对象的总量.
基本题型:
①一次有余数,另一次不足;
基本公式:
总份数=(余数+不足数)÷两次每份数的差
②当两次都有余数;
基本公式:
总份数=(较大余数一较小余数)÷两次每份数的差
③当两次都不足;
基本公式:
总份数=(较大不足数一较小不足数)÷两次每份数的差
基本特点:
对象总量和总的组数是不变的。
关键点:
确定对象总量和总的组数。
例:
少先队员去植树,如果每人挖5个树坑,还有3个树坑没人挖;如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑。
请问,共有多少名少先队员?
共挖了多少树坑?
分析:
这是一个典型的盈亏问题,关键在于要将第二句话“如果其中两人各挖4个树坑,其余每人挖6个树坑,就恰好挖完所有的树坑”统一一下。
即:
应该统一成每人挖6个树坑,形成统一的标准。
那么它就相当于每人挖6个树坑,就要差(6-4)*2=4个树坑。
这样,盈亏总数就是3+4=7,所以,有少先队员7/(6-5)=7名,共挖了5*7+3=38个坑。
解答:
盈亏总数等于3+(6-4)*2=7,少先队员有7/(6-5)=7名,共挖了5*7+3=38个树坑。
设总人数为X
X*5+3=2*4+(X-2)*6
5X+3=8+6X-12
X=7X*5+3=38
7.牛吃草问题
基本思路:
假设每头牛吃草的速度为“1”份,根据两次不同的吃法,求出其中的总草量的差;再找出造成这种差异的原因,即可确定草的生长速度和总草量。
基本特点:
原草量和新草生长速度是不变的;
关键点:
确定两个不变的量。
基本公式:
生长量=(较长时间×长时间牛头数-较短时间×短时间牛头数)÷(长时间-短时间);
原草量=较长时间×长时间牛头数-较长时间×生长量;
例:
一个牧场长满青草,牛在吃草而草又不断匀速生长,27头牛6天可以把牧场上的草全部吃完;23头牛吃完牧场全部的草则要9天,若21头牛来吃,几天吃完?
草每天生长量=(9*23-6*27)/(9-6)=45/3=15
原草量=(9*23)-(9*15)=72或根据:
路程差=速度差×追及时间
原草量=(27-15)*6=72或(23-15)*9=72
21天可吃天数=72/(21-15)=12天
牛吃草也是速度追及问题
草生长量是一个速度,牛吃草是一个速度,
吃多少天就是追及时间=路程差÷速度差
8.周期循环与数表规律
周期现象:
事物在运动变化的过程中,某些特征有规律循环出现。
周期:
我们把连续两次出现所经过的时间叫周期。
关键问题:
确定循环周期。
闰年:
一年有366天;
①年份能被4整除;
②如果年份能被100整除,则年份必须能被400整除;
平年:
一年有365天。
①年份不能被4整除;
②如果年份能被100整除,但不能被400整除;
例一:
有8名队员按顺时针围成一圈做传球游戏,从1号开始按顺时针传球,传球的同时开始报数,当报到76时球那在几号队员手上?
例二:
某年2月有5个星期天,问这年6月一日是星期几?
9.平均数
基本公式:
①平均数=总数量÷总份数
总数量=平均数×总份数
总份数=总数量÷平均数
②平均数=基准数+每一个数与基准数差的和÷总份数
基本算法:
①求出总数量以及总份数,利用基本公式①进行计算.
②基准数法:
根据给出的数之间的关系,确定一个基准数;一般选与所有数比较接近的数或者中间数为基准数;以基准数为标准,求所有给出数与基准数的差;再求出所有差的和;再求出这些差的平均数;最后求这个差的平均数和基准数的和,就是所求的平均数,具体关系见基本公式②。
10.抽屉原理
抽屉原则一:
如果把(n+1)个物体放在n个抽屉里,那么必有一个抽屉中至少放有2个物体。
例:
把4个物体放在3个抽屉里,也就是把4分解成三个整数的和,那么就有以下四种情况:
①4=4+0+0②4=3+1+0③4=2+2+0④4=2+1+1
观察上面四种放物体的方式,我们会发现一个共同特点:
总有那么一个抽屉里有2个或多于2个物体,也就是说必有一个抽屉中至少放有2个物体。
抽屉原则二:
如果把n个物体放在m个抽屉里,其中n>m,那么必有一个抽屉至少有:
①k=[n/m]+1个物体:
当n不能被m整除时。
②k=n/m个物体:
当n能被m整除时。
理解知识点:
[X]表示不超过X的最大整数。
例[4.351]=4;[0.321]=0;[2.9999]=2;
关键问题:
构造物体和抽屉。
也就是找到代表物体和抽屉的量,而后依据抽屉原则进行运算。
11.定义新运算
基本概念:
定义一种新的运算符号,这个新的运算符号包含有多种基本(混合)运算。
基本思路:
严格按照新定义的运算规则,把已知的数代入,转化为加减乘除的运算,然后按照基本运算过程、规律进行运算。
关键问题:
正确理解定义的运算符号的意义。
注意事项:
①新的运算不一定符合运算规律,特别注意运算顺序。
②每个新定义的运算符号只能在本题中使用。
12.数列求和
等差数列:
在一列数中,任意相邻两个数的差是一定的,这样的一列数,就叫做等差数列。
基本概念:
首项:
等差数列的第一个数,一般用a1表示;
项数:
等差数列的所有数的个数,一般用n表示;
公差:
数列中任意相邻两个数的差,一般用d表示;
通项:
表示数列中每一个数的公式,一般用an表示;
数列的和:
这一数列全部数字的和,一般用Sn表示.
基本思路:
等差数列中涉及五个量:
a1,an,d,n,sn,,通项公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可求出第四个;求和公式中涉及四个量,如果己知其中三个,就可以求这第四个。
基本公式:
通项公式:
an=a1+(n-1)d;
通项=首项+(项数一1)×公差;
数列和公式:
sn,=(a1+an)×n÷2;
数列和=(首项+末项)×项数÷2;
项数公式:
n=(an+a1)÷d+1;
项数=(末项-首项)÷公差+1;
公差公式:
d=(an-a1))÷(n-1);
公差=(末项-首项)÷(项数-1);
关键问题:
确定已知量和未知量,确定使用的公式;
13.二进制及其应用
十进制:
用0~9十个数字表示,逢10进1;不同数位上的数字表示不同的含义,十位上的2表示20,百位上的2表示200。
所以234=200+30+4=2×102+3×10+4。
=An×10n-1+An-1×10n-2+An-2×10n-3+An-3×10n-4+An-4×10n-5+An-6×10n-7+……+A3×102+A2×101+A1×100
注意:
N0=1;N1=N(其中N是任意自然数)
二进制:
用0~1两个数字表示,逢2进1;不同数位上的数字表示不同的含义。
(2)=An×2n-1+An-1×2n-2+An-2×2n-3+An-3×2n-4+An-4×2n-5+An-6×2n-7
+……+A3×22+A2×21+A1×20
注意:
An不是0就是1。
十进制化成二进制:
①根据二进制满2进1的特点,用2连续去除这个数,直到商为0,然后把每次所得的余数按自下而上依次写出即可。
②先找出不大于该数的2的n次方,再求它们的差,再找不大于这个差的2的n次方,依此方法一直找到差为0,按照二进制展开式特点即可写出。
14.加法乘法原理和几何计数
加法原理:
如果完成一件任务有n类方法,在第一类方法中有m1种不同方法,在第二类方法中有m2种不同方法……,在第n类方法中有mn种不同方法,那么完成这件任务共有:
m1+m2.......+mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的分类方法。
基本特征:
每一种方法都可完成任务。
乘法原理:
如果完成一件任务需要分成n个步骤进行,做第1步有m1种方法,不管第1步用哪一种方法,第2步总有m2种方法……不管前面n-1步用哪种方法,第n步总有mn种方法,那么完成这件任务共有:
m1×m2.......×mn种不同的方法。
关键问题:
确定工作的完成步骤。
基本特征:
每一步只能完成任务的一部分。
直线:
一点在直线或空间沿一定方向或相反方向运动,形成的轨迹。
直线特点:
没有端点,没有长度。
线段:
直线上任意两点间的距离。
这两点叫端点。
线段特点:
有两个端点,有长度。
射线:
把直线的一端无限延长。
射线特点:
只有一个端点;没有长度。
①数线段规律:
总数=1+2+3+…+(点数一1);
②数角规律=1+2+3+…+(射线数一1);
③数长方形规律:
个数=长的线段数×宽的线段数:
④数长方形规律:
个数=1×1+2×2+3×3+…+行数×列数
15.质数与合数
质数:
一个数除了1和它本身之外,没有别的约数,这个数叫做质数,也叫做素数。
合数:
一个数除了1和它本身之外,还有别的约数,这个数叫做合数。
质因数:
如果某个质数是某个数的约数,那么这个质数叫做这个数的质因数。
分解质因数:
把一个数用质数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。
通常用短除法分解质因数。
任何一个合数分解质因数的结果是唯一的。
分解质因数的标准表示形式:
N=,其中a1、a2、a3……an都是合数N的质因数,且a1<……
求约数个数的公式:
P=(r1+1)×(r2+1)×(r3+1)×……×(rn+1)
互质数:
如果两个数的最大公约数是1,这两个数叫做互质数。
16.约数与倍数
约数和倍数:
若整数a能够被b整除,a叫做b的倍数,b就叫做a的约数。
公约数:
几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。
最大公约数的性质:
1、几个数都除以它们的最大公约数,所得的几个商是互质数。
2、几个数的最大公约数都是这几个数的约数。
3、几个数的公约数,都是这几个数的最大公约数的约数。
4、几个数都乘以一个自然数m,所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以m。
例如:
12的约数有1、2、3、4、6、12;
18的约数有:
1、2、3、6、9、18;
那么12和18的公约数有:
1、2、3、6;
那么12和18最大的公约数是:
6,记作(12,18)=6;
求最大公约数基本方法:
1、分解质因数法:
先分解质因数,然后把相同的因数连乘起来。
2、短除法:
先找公有的约数,然后相乘。
3、辗转相除法:
每一次都用除数和余数相除,能够整除的那个余数,就是所求的最大公约数。
公倍数:
几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。
12的倍数有:
12、24、36、48……;
18的倍数有:
18、36、54、72……;
那么12和18的公倍数有:
36、72、108……;
那么12和18最小的公倍数是36,记作[12,18]=36;
最小公倍数的性质:
1、两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数。
2、两个数最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积。
求最小公倍数基本方法:
1、短除法求最小公倍数;2、分解质因数的方法
17.数的整除
一、基本概念和符号:
1、整除:
如果一个整数a,除以一个自然数b,得到一个整数商c,而且没有余数,那么叫做a能被b整除或b能整除a,记作b|a。
2、常用符号:
整除符号“|”,不能整除符号“”;因为符号“∵”,所以的符号“∴”;
二、整除判断方法:
1.能被2、5整除:
末位上的数字能被2、5整除。
2.能被4、25整除:
末两位的数字所组成的数能被4、25整除。
3.能被8、125整除:
末三位的数字所组成的数能被8、125整除。
4.能被3、9整除:
各个数位上数字的和能被3、9整除。
5.能被7整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成数之差能被7整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的2倍后能被7整除。
6.能被11整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被11整除。
②奇数位上的数字和与偶数位数的数字和的差能被11整除。
③逐次去掉最后一位数字并减去末位数字后能被11整除。
7.能被13整除:
①末三位上数字所组成的数与末三位以前的数字所组成的数之差能被13整除。
②逐次去掉最后一位数字并减去末位数字的9倍后能被13整除。
三、整除的性质:
1.如果a、b能被c整除,那么(a+b)与(a-b)也能被c整除。
2.如果a能被b整除,c是整数,那么a乘以c也能被b整除。
3.如果a能被b整除,b又能被c整除,那么a也能被c整除。
4.如果a能被b、c整除,那么a也能被b和c的最小公倍数整除。
18.余数及其应用
基本概念:
对任意自然数a、b、q、r,如果使得a÷b=q……r,且0
余数的性质:
①余数小于除数。
②若a、b除以c的余数相同,则c|a-b或c|b-a。
③a与b的和除以c的余数等于a除以c的余数加上b除以c的余数的和除以c的余数。
④a与b的积除以c的余数等于a除以c的余数与b除以c的余数的积除以c的余数。
19.余数、同余与周期
一、同余的定义:
①若两个整数a、b除以m的余数相同,则称a、b对于模m同余。
②已知三个整数a、b、m,如果m|a-b,就称a、b对于模m同余,记作a≡b(modm),读作a同余于b模m。
二、同余的性质:
①自身性:
a≡a(modm);
②对称性:
若a≡b(modm),则b≡a(modm);
③传递性:
若a≡b(modm),b≡c(modm),则a≡c(modm);
④和差性:
若a≡b(modm),c≡d(modm),则a+c≡b+d(modm),a-c≡b-d(modm);
⑤相乘性:
若a≡b(modm),c≡d(modm),则a×c≡b×d(modm);
⑥乘方性:
若a≡b(modm),则an≡bn(modm);
⑦同倍性:
若a≡b(modm),整数c,则a×c≡b×c(modm×c);
三、关于乘方的预备知识:
①若A=a×b,则MA=Ma×b=(Ma)b
②若B=c+d则MB=Mc+d=Mc×Md
四、被3、9、11除后的余数特征:
①一个自然数M,n表示M的各个数位上数字的和,则M≡n(mod9)或(mod3);
②一个自然数M,X表示M的各个奇数位上数字的和,Y表示M的各个偶数数位上数字的和,则M≡Y-X或M≡11-(X-Y)(mod11);
五、费尔马小定理:
如果p是质数(素数),a是自然数,且a不能被p整除,则ap-1≡1(modp)。
20.分数与百分数的应用
基本概念与性质:
分数:
把单位“1”平均分成几份,表示这样的一份或几份的数。
分数的性质:
分数的分子和分母同时乘以或除以相同的数(0除外),分数的大小不变。
分数单位:
把单位“1”平均分成几份,表示这样一份的数。
百分数:
表示一个数是另一个数百分之几的数。
常用方法:
①逆向思维方法:
从题目提供条件的反方向(或结果)进行思考。
②对应思维方法:
找出题目中具体的量与它所占的率的直接对应关系。
③转化思维方法:
把一类应用题转化成另一类应用题进行解答。
最常见的是转换成比例和转换成倍数关系;把不同的标准(在分数中一般指的是一倍量)下的分率转化成同一条件下的分率。
常见的处理方法是确定不同的标准为一倍量。
④假设思维方法:
为了解题的方便,可以把题目中不相等的量假设成相等或者假设某种情况成立,计算出相应的结果,然后再进行调整,求出最后结果。
⑤量不变思维方法:
在变化的各个量当中,总有一个量是不变的,不论其他量如何变化,而这个量是始终固定不变的。
有以下三种情况:
A、分量发生变化,总量不变。
B、总量发生变化,但其中有的分量不变。
C、总量和分量都发生变化,但分量之间的差量不变化。
⑥替换思维方法:
用一种量代替另一种量,从而使数量关系单一化、量率关系明朗化。
⑦同倍率法:
总量和分量之间按照同分率变化的规律进行处理。
⑧浓度配比法:
一般应用于总量和分量都发生变化的状况。
21.分数大小的比较
基本方法:
①通分分子法:
使所有分数的分子相同,根据同分子分数大小和分母的关系比较。
②通分分母法:
使所有分数的分母相同,根据同分母分数大小和分子的关系比较。
③基准数法:
确定一个标准,使所有的分数都和它进行比较。
④分子和分母大小比较法:
当分子和分母的差一定时,分子或分母越大的分数值越大。
⑤倍率比较法:
当比较两个分子或分母同时变化时分数的大小,除了运用以上方法外,可以用同倍率的变化关系比较分数的大小。
(具体运用见同倍率变化规律)
⑥转化比较方法:
把所有分数转化成小数(求出分数的值)后进行比较。
⑦倍数比较法:
用一个数除以另一个数,结果得数和1进行比较。
⑧大小比较法:
用一个分数减去另一个分数,得出的数和0比较。
⑨倒数比较法:
利用倒数比较大小,然后确定原数的大小。
⑩基准数比较法:
确定一个基准数,每一个数与基准数比较。
22.分数拆分
一、将一个分数单位分解成两个分数之和的公式:
①=+;
②=+(d为自然数);
23.完全平方数
完全平方数特征:
1.末位数字只能是:
0、1、4、5、6、9;反之不成立。
2.除以3余0或余1;反之不成立。
3.除以4余0或余1;反之不成立。
4.约数个数为奇数;反之成立。
5.奇数的平方的十位数字为偶数;反之不成立。
6.奇数平方个位数字是奇数;偶数平方个位数字是偶数。
7.两个相临整数的平方之间不可能再有平方数。
平方差公式:
X2-Y2=(X-Y)(X+Y)
完全平方和公式:
(X+Y)2=X2+2XY+Y2
完全平方差公式:
(X-Y)2=X2-2XY+Y2
24.比和比例
比:
两个数相除又叫两个数的比。
比号前面的数叫比的前项,比号后面的数叫比的后项。
比值:
比的前项除以后项的商,叫做比值。
比的性质:
比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(零除外),比值不变。
比例:
表示两个比相等的式子叫做比例。
a:
b=c:
d或
比例的性质:
两个外项积等于两个内项积(交叉相乘),ad=bc。
正比例:
若A扩大或缩小几倍,B也扩大或缩小几倍(AB的商不变时),则A与B成正比。
反