版第2章213分层抽样214数据的收集.docx

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版第2章213分层抽样214数据的收集

2.1.3　分层抽样

2.1.4　数据的收集

1.理解并掌握分层抽样，会用分层抽样从总体中抽取样本.（重点）

2.了解三种抽样方法的联系和区别.（易混点）

3.掌握收集数据的方法.（重点）

4.利用分层抽样的方法解决实际问题.（难点）

[基础·初探]

教材整理1　分层抽样的概念

阅读教材P53，完成下列问题.

当总体由有明显差别的几部分组成时，为了使抽取的样本更好地反映总体的情况，常将总体中各个个体按某种特征分成若干个互不重叠的几部分，每一部分叫做层，在各层中按层在总体中所占比例进行简单随机抽样或系统抽样，这种抽样方法叫做分层抽样.

1.判断（正确的打“√”，错误的打“×”）

（1）分层抽样实际上是按比例抽样.（　　）

（2）分层抽样中每个个体被抽到的可能性不一样.（　　）

（3）分层抽样中不能用简单随机抽样和系统抽样.（　　）

【答案】　

（1）√　

（2）×　（3）×

2.某社区有500户家庭，其中高收入家庭125户，中等收入家庭280户，低收入家庭95户.为了调查社会购买力的某项指标，要从中抽取一个容量为100的样本，记作①；某学校高一年级有18名女排运动员，要从中选出4人调查学习负担情况，记作②.那么完成上述两项调查应采用的抽样方法是（　　）

A.①用简单随机抽样法，②用系统抽样法

B.①用分层抽样法，②用简单随机抽样法

C.①用系统抽样法，②用分层抽样法

D.①用分层抽样法，②用系统抽样法

【解析】　①因家庭收入不同其社会购买力也不同，宜用分层抽样的方法.②因总体个数较小，宜用简单随机抽样法.

【答案】　B

教材整理2　数据的收集

阅读教材P54～P56，完成下列问题.

数据收集的常用方式

下列问题符合调查问卷要求的是（　　）

A.你所购买的名牌产品，您认为该产品的知名度

□很好　□一般　□很低

B.你认为数学学习

□较容易　□较困难

C.你们班有几位大个子同学？

________

D.你对我们厂生产的电视机

□满意　□不满意

【解析】　问卷调查的题目要避免一般性或不具体的问题，标准要明确，故A、C、D不符合.

【答案】　B

[小组合作型]

分层抽样的概念

（1）下列问题中，最适合用分层抽样抽取样本的是（　　）

A.从10名同学中抽取3人参加座谈会

B.一次数学竞赛中，某班有10人在110分以上，40人在90～100分，12人低于90分，现从中抽取12人了解有关情况

C.从1000名工人中，抽取100名调查上班途中所用时间

D.从生产流水线上，抽取样本检查产品质量

（2）分层抽样又称类型抽样，即将相似的个体归入一类（层），然后每类抽取若干个个体构成样本，所以分层抽样为保证每个个体等可能抽样，必须进行（　　）

A.每层等可能抽样

B.每层可以不等可能抽样

C.所有层按同一抽样比等可能抽样

D.所有层抽取的个体数量相同

【精彩点拨】　当总体由差异明显的几部分组成时，该样本的抽取适合用分层抽样，结合

（1）中的四个选项及分层抽样的特点可对

（1）

（2）作出判断.

【尝试解答】　

（1）A中总体个体无明显差异且个数较少，适合用简单随机抽样；C和D中总体个体无明显差异且个数较多，适合用系统抽样；B中总体个体差异明显，适合用分层抽样.

（2）保证每个个体等可能的被抽取是三种基本抽样方式的共同特征，为了保证这一点，分层抽样时必须在所有层都按同一抽样比等可能抽取.

【答案】　

（1）B　

（2）C

1.使用分层抽样的前提：

分层抽样的适用前提条件是总体可以分层、层与层之间有明显区别，而层内个体间差异较小.

2.使用分层抽样应遵循的原则：

（1）将相似的个体归入一类，即为一层，分层要求每层的各个个体互不交叉，即遵循不重复、不遗漏的原则；

（2）分层抽样为保证每个个体等可能入样，需遵循在各层中进行简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比等于抽样比.

[再练一题]

1.某学校有男、女学生各500名，为了解男、女学生在学习兴趣与业余爱好方面是否存在显著差异，拟从全体学生中抽取100名学生进行调查，则宜采用的抽样方法是（　　）

A.抽签法B.随机数表法

C.系统抽样法D.分层抽样法

【解析】　由于被抽取的个体属性有明显的差异，因此宜采用分层抽样法.

【答案】　D

分层抽样的方案设计

　某政府机关有在编人员100人，其中副处级以上干部10人，一般干部70人，工人20人.上级机关为了了解政府机构改革的意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，请具体实施操作.

【导学号：

00732048】

【精彩点拨】　→→→→→

【尝试解答】　因机构改革关系到每个人的不同利益，故采用分层抽样方法较妥.

∵＝5，

∴＝2，＝14，＝4.

∴从副处级以上干部中抽取2人，从一般干部中抽取14人，从工人中抽取4人.

因副处级以上干部与工人数都较少，他们分别按1～10编号和1～20编号，然后采用抽签法分别抽取2人和4人；对一般干部70人进行00,01，…，69编号，然后用随机数表法抽取14人.这样便得到了一个容量为20的样本.

1.在分层抽样的过程中，为了保证每个个体被抽到的可能性是相同的，这就要求各层所抽取的个体数与该层所包含的个体数之比等于样本容量与总体的个体数之比，即ni∶Ni＝n∶N.

2.分层后，各层的个体较多时，可采用系统抽样或简单随机抽样取出各层中的个体，一定要注意按比例抽取.

[再练一题]

2.某公司生产三种型号的轿车，产量分别是1200辆，6000辆和2000辆，为检验该公司的产品质量，现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验，这三种型号的轿车依次应抽取________辆、________辆、________辆.

【解析】　三种型号的轿车共9200辆，抽取样本为46辆，则按＝的比例抽样，所以依次应抽取1200×＝6（辆），6000×＝30（辆），2000×＝10（辆）.

【答案】　6　30　10

数据的收集

　请设计一个测量某单位职工身高的试验.

【精彩点拨】　

（1）做好试验前准备工作；

（2）组织好测量；（3）整理数据.

【尝试解答】　试验前准备工作：

①准备好试验器材，如：

测量仪、记录数据的表格（附表）.

②测量人员安排，为了使试验数据较准确，需多次测量求其平均值，比如安排三个小组测量.

③组织好观测对象——某单位全体职工，可先分成几个小组（如3个小组），每组安排一个组长负责具体组织协调.

试验操作步骤如下：

S1　布置身高测量仪三架；

S2　安排负责仪器的人两个，一个测量，一个记录；

S3　组织职工按预先分成的小组排队依次测量，在一个机器前测量完后，换另一架机器，每人测量三次，将所测数据填入附表；

S4　整理数据，用求平均值的方法算出每位职工身高.

附表：

职工姓名

测得数据

身高的

平均值

仪器1

仪器2

仪器3

1.收集数据时的注意点：

（1）必须清楚地知道要收集的数据是什么；

（2）抽样的目的是为了了解总体的情况；

（3）高质量的样本数据来自“搅拌均匀”的总体.

2.收集数据的方式有：

做试验、查阅资料、设计调查问卷等.

[再练一题]

3.请设计一份问卷（包括阅读时间，书的类型、来源和阅读课外书和学习的关系）调查你们班同学阅读课外书的情况.

【解】　调查问卷设计如下：

姓名：

________，所在班级：

________.

请回答下列问题：

1.你一般在什么时间阅读课外书？

（　　）

A.每天课间

B.每天放学回家后

C.周末或假期

D.老师安排的阅读课上

2.你喜欢读的课外书有（　　）

A.散文B.报告文学　C.小说　D.所学功课的辅导资料　E.其他

3.你的课外书的来源是（　　）

A.同学介绍的

B.老师推荐的

C.在书店中偶然发现的

D.家长推荐的

E.在宣传资料上看到的

4.你认为课外阅读和学习的关系是（　　）

A.能促进学习

B.与学习没多大关系

C.妨碍学习

[探究共研型]

分层抽样的特点

探究1　分层抽样的特点有哪些？

【提示】　

（1）分层抽样适用于已知总体是由差异明显的几部分组成的；

（2）分成的各层互不交叉；

（3）各层抽取的比例都等于样本容量在总体中的比例，即，其中n为样本容量，N为总体容量.

探究2　计算各层所抽取个体的个数时，若Ni·的值不是整数怎么办？

【提示】　为获取各层的入样数目，需先正确计算出抽样比，若Ni·的值不是整数，可四舍五入取整，也可先将该层等可能地剔除多余的个体.

探究3　分层抽样公平吗？

【提示】　分层抽样中，每个个体被抽到的可能性是相同的，与层数、分层无关.

如果总体的个数为N，样本容量为n，Ni为第i层的个体数，则第i层抽取的个体数ni＝n·，每个个体被抽到的可能性是＝·n·＝.

三种抽样方法的特点和适用范围

探究4　简单随机抽样、系统抽样、分层抽样的各自特点及适用范围有什么异同？

【提示】　简单随机抽样是最基本的抽样方法，应用于系统抽样和分层抽样中.简单随机抽样所得样本的代表性与个体编号无关.

系统抽样容易实施，可节约抽样成本.系统抽样所得样本的代表性与个体编号有关，如果个体随编号呈现某种特征，所得样本代表性很差.

分层抽样应用最广泛，它充分利用总体信息，得到的样本比前两种抽样方法都具有代表性.

三种抽样方法的特点及其适用范围如下表：

类别

简单随机抽样

系统抽样

分层抽样

各自

特点

从总体中逐个抽取

将总体均分成几个部分，按事先确定的规则在各部分抽取

将总体分成几层，分层进行抽取

相互

联系

在起始部分采用简单随机抽样

在各层抽样时采用简单随机抽样或系统抽样

适用

范围

总体中的个体数较少

总体中的个体数较多

总体由存在明显差异的几部分组成

共同点

①抽样过程中每个个体被抽到的可能性相等；

②每次抽出个体后不再放回，即不放回抽样

　选择合适的抽样方法抽样，写出抽样过程.

（1）有甲厂生产的30个篮球，其中一箱21个，另一箱9个，抽取3个；

（2）有30个篮球，其中甲厂生产的有21个，乙厂生产的有9个，抽取10个；

（3）有甲厂生产的300个篮球，抽取10个；

（4）有甲厂生产的300个篮球，抽取30个.

【精彩点拨】　应结合三种抽样方法的使用范围和实际情况灵活使用各种抽样方法解决问题.

【尝试解答】　

（1）总体容量较小，用抽签法.

①将30个篮球编号，编号为00,01，…，29；

②将以上30个编号分别写在完全一样的小纸条上，揉成小球，制成号签；

③把号签放入一个不透明的袋子中，充分搅拌；

④从袋子中逐个抽取3个号签，并记录上面的号码；

⑤找出和所得号码对应的篮球即可得到样本.

（2）总体由差异明显的两个层次组成，需选用分层抽样.

①确定抽取个数.因为＝3，所以甲厂生产的应抽取＝7（个），乙厂生产的应抽取＝3（个）；

②用抽签法分别抽取甲厂生产的篮球7个，乙厂生产的篮球3个，这些篮球便组成了我们要抽取的样本.

（3）总体容量较大，样本容量较小，宜用随机数表法.

①将300个篮球用随机方式编号，编号为001,002，…，300；

②在随机数表中随机地确定一个数作为开始，如第8行第29列的数“9”开始.任选一个方向作为读数方向，比如向右读；

③从数“9”开始向右读，每次读三位，凡不在001～300中的数跳过去不读，遇到已经读过的数也跳过去不读，依次得到10个号码，这就是所要抽取的10个样本个体的号码.

（4）总体容量较大，样本容量也较大，宜用系统抽样.

①将300个篮球用随机方式编号，编号为000,001,002，…，299，并分成30段，其中每一段包含＝10（个）个体；

②在第一段000,001,002，…，009这十个编号中用简单随机抽样抽出一个（如002）作为起始号码；

③将编号为002,012,022，…，292的个体抽出，即可组成所要求的样本.

抽样方法的选取：

1若总体由差异明显的几个层次组成，则选用分层抽样；

2若总体没有差异明显的层次，则考虑采用简单随机抽样或系统抽样.

当总体容量较小时宜用抽签法；当总体容量较大，样本容量较小时宜用随机数表法；当总体容量较大，样本容量也较大时宜用系统抽样；

3采用系统抽样时，当总体容量N能被样本容量n整除时，抽样间隔为k＝；当总体容量不能被样本容量整除时，先用简单随机抽样剔除多余个体，抽样间隔为k＝.

[再练一题]

4.下列问题中，采用怎样的抽样方法较为合理？

（1）从10台电冰箱中抽取3台进行质量检查；

（2）某学校有160名教职工，其中教师120名，行政人员16名，后勤人员24名，为了了解教职工对学校在校务公开方面的意见，拟抽取一个容量为20的样本；

（3）体育彩票000001～100000编号中，凡彩票号码最后三位数为345的中一等奖.

【解】　

题号

判断

原因分析

（1）

抽签法

总体容量较小，宜用抽签法

（2）

分层抽样

由于学校各类人员对这一问题的看法可能差异较大，用分层抽样

（3）

系统抽样

总体容量大，样本容量较大，等距抽取，用系统抽样

1.下列实验中最适合用分层抽样法抽样的是（　　）

A.从一箱3000个零件中抽取5个入样

B.从一箱3000个零件中抽取600个入样

C.从一箱30个零件中抽取5个入样

D.从甲厂生产的100个零件和乙厂生产的200个零件中抽取6个入样

【解析】　D中总体有明显差异，故用分层抽样.

【答案】　D

2.当前，国家正分批修建经济适用房以解决低收入家庭住房紧张的问题.已知甲、乙、丙三个社区现分别有低收入家庭360户，270户，180户，若第一批经济适用房中有90套住房用于解决这三个社区中90户低收入家庭的住房问题，先采用分层抽样的方法决定各社区户数，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为（　　）

【导学号：

00732049】

A.40　B.30

C.20D.36

【解析】　抽样比为＝，则应从甲社区中抽取低收入家庭的户数为360×＝40，故选A.

【答案】　A

3.某单位有职工100人，不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，剩下的为50岁以上（包括50岁）的人，用分层抽样的方法从中抽20人，各年龄段分别抽取的人数为（　　）

A.7,5,8B.9,5,6

C.7,5,9　D.8,5,7

【解析】　由于样本容量与总体个体数之比为＝，故各年龄段抽取的人数依次为45×＝9（人），25×＝5（人），20－9－5＝6（人）.

【答案】　B

4.某企业三月中旬生产A，B，C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：

产品类型

A

B

C

产品数量（件）

1300

样本容量

130

由于不小心，表格中A、C两种产品的有关数据已被污染看不清楚了，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，根据以上信息，可得C产品的数量是________件.

【解析】　抽样比为130∶1300＝1∶10，即每10个产品中抽取1个个体，又A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，故C产品的数量是[（3000－1300）－100]×＝800（件）.

【答案】　800

5.请设计一份关于中学生的课余活动情况的调查问卷.

【解】　调查问卷设计如下：

姓名：

________　班级：

________

年龄：

________　性别：

________

（1）你每天的课余时间约为（　　）

A.2小时

B.3小时

C.3小时以上

（2）你们的课余时间安排是（　　）

A.自由活动

B.组织安排

（3）你的主要娱乐方式是（　　）

A.踢足球

B.打篮球

C.打羽毛球

D.上网

E.其他

（4）你觉得课余活动时间（　　）

A.太少

B.适中

C.太多