正交实验设计的优点与不足及发展现状的研究.docx
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正交实验设计的优点与不足及发展现状的研究
正交实验设计的优点与不足及发展现状的研究
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正交实验设计的优点与不足及发展现状的研究
摘要正交试验设计是一种研究多因素试验的重要数理方法，也是对试验因素作合理的、有效的安排，最大限度地减少试验误差，使之达到高效、快速、经济的目的。
此法是利用一套规格的表格，对多因素、多指标、多因素间存在交互作用而具有随机误差的试验，并利用普通的统计分析方法来分析实验结果。
因此,正交试验设计在实际工作中有它的特殊意义。
关键词:
正交实验设计，因素，水平,试验指标，优缺点，发展现状
1绪论
在化工生产中，同样在生产同规格的产品,为什么有些厂商的良品率就是比较高?
同样是在生产同类型的产品，为什么有些人的产品性能以及寿命就是比较好，而成本又比较低呢?
原因即在于生产工艺的条件对于产品性能以及成本等各个方面具有决定性的作用.因此采取一定的方法优化化工生产工艺，对于生产的经济性存在积极的意义。
正交设计法在我国已经使用多年，具有一定的应用基础。
正交试验设计是分式析因设计的主要方法，是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格,称为正交表。
正交实验的出现，为科研工作者提供了一种简洁、直观、快速的科研设计方法和数据分析方法，极大促进了科学研究的发展.
正交试验设计法以其方法科学、操作简便、费用节省、效果显著等特点，适合用于化工生产与国民生产的各个领域.然而,正交试验设计方法也存在许多的不足［1]，制约了其更为广泛的应用，例如试验次数至少是试验水平数的平方,比较适合水平数不高的实验安排。
在条件范围不确定以及因素水平数目过大时操作成本较高等等。
许多科学家致力于进行正交实验的优化与改良,使这一经典的实验设计方法得到了进一步完善与改进。
正交实验目前广泛应用于化工生产与药剂学领域，尤其在化工生产配方及合成工艺的选择方面,更是研究手段的不二选择。
在工业废水处理，高分子材料合成，药剂选择，中药的提纯与精制等各个方面都得到了广泛的应用.
本文的主要内容在于正交实验设计方法的简介及其优缺点的分析，以及正交实验设计法的发展现状的研究。
2正交实验方法简介
2.1实验设计方法简介
配方优化问题是材料领域中的一个重要研究内容.为了获得性能优异、能满足使用要求的配方，需根据产品的性能要求和工艺条件，通过试验、优化、鉴定，合理地选用原材料，确定各种原材料的用量配比关系。
对于这样一个复杂的多目标配方体系，试验方法的设计就显得尤为重要。
近年来对配方优化设计的应用研究十分活跃，新的试验方法不断出现，旧的方法不断改进，文献报道较多。
以下是本文针对近年来各种实验方法的简介，介绍其优缺点并对其应用范围进行综合分析。
2.1。
1单因素实验设计法
单因素实验设计是将影响试验结果的所有因素都列出,仅仅改变要考察的因素的数值，保持其他所有因素的数值不变的一种试验设计方法.其优点在于直观性好，明确表明了该因素对于指标变量的影响，但仍然存在不足之处：
首先是实验次数较多,成本较高，其次在于试验并未考虑因素之间的相互影响，而是默认为无相关性,在许多场合下将产生系统性的错误。
2。
1。
2回归设计
回归试验设计自上世纪50年代初产生以来，内容不断丰富，有回归的正交设计、回归的旋转设计等.为在性能预报和寻找最优配方的过程中排除误差干扰，推荐在一次方程回归时用正交设计,二次方程回归时用旋转设计。
这些具有旋转性,能使在与中心点距离相等的点上，预测值的方差相等[2］。
在试验设计时，首先必须根据实践经验和初步预想，确定各因素的变量范围，然后进行线性变换，按设计表安排试验。
还必须在中心点做一些重复试验，以便确定回归方程拟合好坏的F检验。
回归设计的优势有以下两点：
1）回归的正交设计法一方面利用正交表的正交性、均衡搭配和综合可比的原理，可以有计划、合理的在正交表上安排少的试验次数；另一方面可以通过试验实践，利用回归分析中最小二乘法原理，使变量之间建立起经验公式，并把两者的优点有机结合起来。
2）回归的旋转设计即要求离中心点距离相等的点的预测值方差相等,这将便于寻找最优条件。
2。
1。
3均匀设计
正交实验设计是进行多因素实验方案设计和结果分析的常用方法,其特点是将实验点在使用范围内安排得“均衡分散、整齐可比"，缺点是实验次数随着水平数呈二次指数增加。
在实验费用昂贵或者为破坏性实验时，人们希望尽量减少实验次数。
20世纪70年代末，我国数学家方开泰利用数论方法发明了均匀实验设计法，较好地解决了这一问题。
与以前的实验设计法相比,均匀设计法有以下特点：
1）实验点在实验范围内分布得更均匀，具有很强的代表性.
2）可以保证在反映事物间主要规律的前提下得到最少试验次数，最适宜多因子多水平的实验优化,而且参与实验的因素和水平越多，均匀设计能最大限度地减少实验次数的优越性越突出.
3）可应用多种数学模型进行数据处理-—如回归分析、遗传算法、神经网络等。
2。
1.4全因素全水平搭配法
该方法将影响实验指标的所有因素所有水平都列出并加以组合，将所有实验情况均列为考察对象进行试验设计，例如一个三因素影响指标的设计（因素A，B，C）,每个因素取三水平考虑的话（水平1，2，3），将要进行27次实验：
图2。
1全因素全水平搭配法实验设计图
可见该实验设计法的确将所有的因素水平搭配情况都考虑到,准确性比较高；但是其主要缺点在于实验次数过多过于冗繁。
限制了其广泛应用。
2.1。
5正交试验设计法
正交试验设计是一种研究多因素试验的重要数理方法,也是对试验因素作合理的,有效的安排，最大限度地减少试验误差，使之达到高效、快速、经济的目的。
此法是利用一套规格的表格，对多因素、多指标、多因素间存在交互作用而具有随机误差的试验，并利用普通的统计分析方法来分析实验结果。
因此，正交试验设计在实际工作中有它的特殊意义.
2。
2实验设计方法分类
试验设计可分为单因素变量的试验设计和多因素变量的试验设计，根据目标优化选择分为单目标最优化问题和多目标最优化问题。
2。
2.1单因素变量试验方法
单因素变量法比较简单，特别是用来鉴定新材料，或生产中原材料变动时，只做较少的试验，就可做出判断，见效快，试验数据易于处理，通过图表直观比较即可得出结论。
正因为如此，这种方法在配方试验中仍然有一定的价值。
实验方法如：
黄金分割法、平分法（对
分法）、分批试验法（均匀分批试验法、比例分割分批试验法）、分数法（裴波那契法）、爬山法、抛物线法等［3］.
2。
2。
2多因素试验设计方法
在大多数的配方研究中,需要同时考虑两个或两个以上的变量因子对性能的影响规律，这即是多因素配方试验设计的问题。
与单因素配方设计不同的是，在基本配方拟定中选择了两个或两个以上的不同组份因素，然后考察这些因素对配方性能的影响规律，这无疑使研究问题变得复杂化，试验次数也将增多。
而借助于统计数学的数理统计方法，可以改变传统试验设计法中试验点分布不合理、试验次数多、不能反映因子间交互作用等诸多缺点。
应用于多因素试验设计的方法很多，有等高线图形法、正交试验设计法、正交回归实验设计、组合试验设计法、中心复合试验设计法、均匀设计法等。
2.3正交实验设计的方法
正交试验设计（Orthogonalexperimentaldesign）是研究多因素多水平的又一种设计方法，它是根据正交性从全面试验中挑选出部分有代表性的点进行试验，这些有代表性的点具备了“均匀分散，齐整可比”的特点，正交试验设计是分式析因设计的主要方法。
是一种高效率、快速、经济的实验设计方法。
日本著名的统计学家田口玄一将正交试验选择的水平组合列成表格,称为正交表。
例如作一个三因素三水平的实验，按全面实验要求，须进行33=27种组合的实验,且尚未考虑每一组合的重复数。
若按L9（3）3正交表按排实验，只需作9次，按L18（3）7正交表进行18次实验，显然大大减少了工作量.因而正交实验设计在很多领域的研究中已经得到广泛应用。
2。
3。
1对正交表的认识
正交表是已经制作好的规格化表格，是进行数据统计分析的主要工具。
正交表可分为同水平的和混水平的两大类.常用的同水平正交表有2n，3n，4n，5n四型,它们是L4（23）,L9（34），L16（45）等，混水平的有L8（41×24）、L16（48×23）等。
通常每张正交表的表头都有一组符号表示，一般的写法是LR（mj），其中L代表正交表，L下面的R表示无重的试验次数，括号内的m表示各因素的水平数，指数j表示因素及其效应数（包括误差项），正如正交表L（34）表示作9次试验，试验最多可安排四个因素，每个因素取三个水平；此外，混水平的正交表可安排水平数不等的试验。
从表2。
1的正表中可以看出，每列中不同数字出现的次数相等，直列中1、2、3各出现3次,任意两列同一横行的两数字1.1，1。
2，1。
3，2。
3，2.1,3。
2,3。
1，3.2，3.3出现的次数相同,都是一次，即任意两列的数字1。
2.3间的搭配是均衡的，它们都具有搭配均衡的特性。
它的均衡分散性和整齐可比性，在数学上称为正交性，也就是正交表的正交性含义。
表2.1正交表L（3）
2。
3。
2正交实验的表头设计
表头设计是正交设计的关键,它承担着将各因素及交互作用合理安排到正交表的各列中的重要任务，因此一个表头设计就是一个设计方案。
表头设计的主要步骤如下：
1）确定列数
根据试验目的，选择处理因素与不可忽略的交互作用,明确其共有多少个数，如果对研究中的某些问题尚不太了解，列可多一些,但一般不宜过多。
当每个试验号无重复，只有1个试验数据时,可设2个或多个空白列，作为计算误差项之用。
2）确定各因素的水平数
根据研究目的，一般二水平（有、无）可作因素筛选用；也可适用于试验次数少、分批进行的研究。
三水平可观察变化趋势，选择最佳搭配；多水平能以一次满足试验要求。
3）选定正交表
根据确定的列数（c）与水平数（t）选择相应的正交表.例如观察5个因素8个一级交互作用，留两个空白列，且每个因素取2水平，则适宜选L16（215）表。
由于同水平的正交表有多个,如L8（27）、L12（211）、L16（215），一般只要表中列数比考虑需要观察的个数稍多一点即可，这样省工省时。
4）表头安排
应优先考虑交互作用不可忽略的处理因素，按照不可混杂的原则，将它们及交互作用首先在表头排妥，而后再将剩余各因素任意安排在各列上。
例如某项目考察4个因素A、B、C、D及A×B交互作用，各因素均为2水平，现选取L8（27）表，由于AB两因素需要观察其交互作用，故将二者优先安排在第1、2列，根据交互作用表查得A×B应排在第3列，于是C排在第4列，由于A×C交互在第5列,B×C交互作用在第6列，虽然未考查A×C与B×C,为避免混杂之嫌,D就排在第7列。
5）组织实施方案
根据选定正交表中各因素占有列的水平数列，构成实施方案表，按实验号依次进行，共作n次实验,每次实验按表中横行的各水平组合进行。
例如L9（34）表,若安排四个因素，第一次实验A、B、C、D四因素均取1水平,第二次实验A因素1水平,B、C、D取2水平，……第九次实验A、B因素取3水平，C因素取2水平,D因素取1水平。
实验结果数据记录在该行的末尾.因此整个设计过程我们可用一句话归纳为:
“因素顺序上列、水平对号入座,实验横着作”。
2.4正交实验设计举例
现以城市绿化系统经济效益试验和调查的资料为例说明正交设计的分析过程和原理［4］。
正交设计中常用的术语有：
指标、因子和水平.正交设计把试验设计要考虑的结果和评价准则称为指标，一般以yi表示第i次试验的指标值，y表示总平均指标;把对试验结果和对评价指标可能产生影响且在试验中明确了条件加以对比的因素称为因子，一般以大写字母表示；把每个因子在试验中的具体条件称为因子的水平，简称水平,一般以表示因子的大写字母加上脚标来表示。
如在研究城市绿化系统经济效益的时候，需要确定最佳城防林营造方案。
据资料分析，影响城防林经济效益的因素有
（1）树高；
（2）林带宽；（3）树种组成。
现需通过调查或试验确定该三个因素是否都对城防林经济效益有显著影响,它们怎样组合才能使所营造的城防林经济效益最佳。
选择的试验或调查条件为：
树高：
10m、15m、20m；林带宽：
5m、10m、15m；树种组成：
纯阔叶林、纯针叶林、针阔混交林.在这种情况下，城防林经济效益的大小就是指标；树高、林带宽、树种组成为因子；树高的三个条件：
10m、15m、20m为该因子的三个水平；林带宽的试验条件:
5m、10m、15m为该因子的三个水平；树种组成的三种情况：
纯阔叶林、纯针叶林、针阔混交林为该因子的三个水平。
2.4。
1 因子最佳水平的确定
因子最佳水平是指每个因子的各水平中使指标达最佳的水平.为确定因子的最佳水平，必须确定该因子各水平对指标的影响。
为了排除其他因子的影响，采用分类的方法。
如确定树高因子的最佳水平，可将九次试验分为三组,分组情况见表2.2。
表2.2树高因子（A）对指标的影响
因素
试验号
A
B
C
效益平均值
1、2、3
全为A1（10m）
B1、B2、B3各一次
C1、C2、C3各一次
1。
78
4、5、6
全为A2（15m）
B1、B2、B3各一次
C1、C2、C3各一次
1。
91
7、8、9
全为A3（20m）
B1、B2、B3各一次
C1、C2、C3各一次
1.69
由表可见，这三组试验数据体现了树高因子（A）对指标的影响,而排除了林带宽和树种组成的影响，这是由于林带宽和树种组成对树高各种水平的影响均相等的缘故。
设第i次试验的指标值为Yi，第k因子第J水平的指标平均值为Yjk，第k因子的水平数为Wk，则：
ΣYi=Mjkj=1，2，……，wk（式2-1）
式中：
Mjk为k因子j水平的指标合计值，Mjk=YjkWk 。
表2.3各因子各水平的指标平均值
因素水平平均值
平均值
A
B
C
D
M1
MA1=1。
78
MB1=1。
743
MC1=1.764
MD1=1。
787
M2
MA2=1。
91
MB2=1.75
MC2=1。
850
MD2=1.797
M3
MA3=1.667
MB3=1。
863
MC3=1。
740
MD3=1.773
由表可见，表中每列的最大值即是对应最佳水平的指标平均值。
2.4。
2 因子重要性分析
各因子对指标的影响是不同的，其重要性也各不相同.为了评价各因子的重要性，需拟定一评价指标。
通常采用离差平方S和或极差R作为评价指标.
由表2.3中每列的数字可见，各数据间的差距越大，说明该因子各水平相差悬殊,对指标的影响大,反之则小。
因此以离差平方和或极差可粗略的揭示出各因子的重要性。
计算k因子离差平方和时需考虑其水平数，其计算公式为:
Sk=Mjk Wk（k=1，2，…） （式2—2）
其中：
Sk——k因子的离差平方和;
Wk-—因子的水平数；
k因子的极差按下式计算:
Rk=max｛Mjk｝-min{Mjk} （式2-3）
式中Mjk为k因子j水平的指标合计值；
Mjk=YjkWk
本例中Sk和Rk的计算结果如表2。
4。
表2。
4Sk和Rk的计算结果
因子
Rk、Sk
A
B
C
D
Rk
0.73
0.36
0.33
0。
07
Sk
0。
08896
0。
02729
0。
01976
0。
00082
由表可见SA>SB〉SC〉SD，故树高最重要，林带宽次之，树种组成再次。
正交表的第四列同样可计算出离差平方和和极差平均值。
该例的作用相当于我们把未考虑的因子列于第四列,如果该列的离差平方和很大，说明在分析影响指标的因子时，忽略了有更大影响的因子.由此可见，正交设计考虑了我们所未考虑到的事情，可为我们提供更重要的信息。
如果该列离差平方和很小，则可认为是随机误差平方和.
2.4.3 因子显著性的检验
因子的重要性只说明该因子相对其他因子的重要程度，而未说明该因子对指标影响的显著程度.如果某因子对指标的作用不显著,则可排除该因子而使决策简化。
应用正交表进行显著性检验比较容易。
因为试验的总离差平方和可分解为因子的离差平方和和随机误差平方和，每个因子均有r个水平，故自由度为r—1.
设Sk相对独立，则当因子作用不显著时，当计算出的F值大于临界值时，k因子在α水平下作用显著，否则作用不显著。
S误为误差的离差平方和，在正交表中未列入因子的列的S值在相对小的情况下均可认为是S误,另外,正交表中已列入因子的列中S值小于误差列的S时，也应当作误差处理。
将其与临界值相比较即可确定各因子的显著性。
上例显著性的F检验如表2.5。
表2。
5显著性的F检验
Sk
fk
F
显著性
S1
0。
08896
2
108.49
*＊
S2
0.02729
2
33.28
*
S3
0.01976
2
24.10
＊
S4
0.00082
2
—
F0。
95（2，2）=19 F0.90（2，2）=91.01
由表可见，A、B、C三因子都显著地影响城防林的经济效益,其中A因子有极显著的影响.
2.4.4 确定最佳方案
经显著性检验之后，可确定对指标有显著影响的因子、排除对指标影响不显著的因子.在此基础之上可选择与确定最佳方案。
最佳方案的确定方法是选择对指标有显著影响的因子中的最佳水平，对于对指标无显著影响的因子可不考虑，或根据实际情况决定。
如上例中的三个因子均对经济效益有显著影响，故其最佳组合方案为树高15m（水平）、林带宽15m（水平）、树种组成为针叶林的城防林。
故在条件可能的条件下，应尽可能营造这种类型的城防林，会收到较高的经济效益。
从上例中得到的最佳方案可见，该方案是未进行试验的方案。
这说明，正交设计试验方法不仅能确定所试验方案的情况，而且还可通过试验数据的分析，推断出各因子水平组合中的最佳方案。
本例中就是通过对九个方案试验数据的分析，推断出未进行试验的最佳方案，这正体现出正交试验的优越性。
2。
5正交实验设计的优缺点
正交试验设计法是安排和分析多因子试验的数学方法。
正交试验设计是通过一套精心设计的表来进行试验设计的。
因为正交表具有正交性、均衡分散和整齐可比的特点，所以每一号试验都有很强的代表性，只要做完正交表规定的试验就能够比较全面的反映出试验的情况，然后对正交试验设计法的配方进行结果分析，一种是直观分析，另一种是方差分析。
通过对试验结果（数据）的分析，能够确定以下内容：
①对指标影响显著的因子和对指标无关紧要的因子；②对指标最为有利的水平搭配；③在最优水平组合下指标大致的变化范围；④进一步试验的方向。
正交试验法具有试验次数少、试验点代表性好的特点，既能用直观分析法又能用方差分析法对结果进行分析，得出因子的显著性和最佳水平组合[5］。
在一个课题研究中，如涉及到四个因素,三个水平的所有搭配都做试验的话，那么就要做34=81次无重复试验。
这样确能找到最佳的搭配条件，但试验次数太多,一般不易做到。
如果是六个因素，五个水平的无重复试验,那就要做56=15625次,这事实上已是不可能了。
利用正交表安排试验，由于相互搭配均匀,不仅能把每个因素的作用分清楚,找出最佳的水平搭配，而且可大大地减少试验次数,假如对五个因素,四个水平的无重复试验只需要做16个。
正交实验的主要优点与特色在于[6］：
1）对因素的个数（NF）没有严格的限制;
2）因素之间有无交互作用时，均可利用此设计；
3）可通过正交表进行试验比较得出初步结论,也可通过方差分析得出具体结论，并可获得最佳试验条件；
4）根据正交表和试验结果，可估计出任何一种水平组合下试验结果的理论值;
5）利用正交表于多种水平组合中，可挑出具有代表性的试验点进行试验，不仅以全面试验大大减少试验次数，而且通过试验分析可把好的试验点（即使不包括在正交表中）找出来.
但是，正交试验设计因试验次数至少是试验水平数的平方，比较适合水平数不高的实验安排。
同时,其设计实验次数并非最精简，较之平行实验仍显得实验次数较多。
2.6正交试验设计的注意点
2。
6。
1因素设计的注意点
所谓因素即是影响试验结果的某种原因或要素,在正交试验时，没有必要对每种因素都要加以考察。
1）在正交试验时,如果漏掉主要因素，就可能大大地降低试验效果;
2）正交表是安排多因素试验的有力工具。
在试验时，不怕因素多，有时增加一到二个因素，亦并不增加试验次数.
因此，在一般情况下，试验时可多考虑一些因素，凡是可能起作用的或情况不够，意见有分岐的因素都值得考虑；另外，有时将区组因素加以考虑可提高试验的精度。
2.6.2关于水平/数量因素
水平数通常取二或三个水平.只是在有特殊要求的场合，才考虑取四个以上的水平。
而对质量因素要选入的水平数常是早就定下来的。
因素水平的幅度如过窄，其结果可能得不到有用的信息;如过宽时，会出现使试验无法进行下去的现象。
作者认为，只要在技术上可能,试验开始时就尽可能的把水平幅度取得宽些,随着试验的反复进行，试验数据的积累，再把水平幅度逐渐缩小。
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