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数字推理讲义完整篇
数字推理讲义
（作者：
天字1号－徐克猛）
版权所有，未经作者本人同意严禁转载和用作商业用途！
一、规律的基本认识
1、数字推理是什么，实则就是寻找规律的一种形式，这就划分为2个问题就研究
（1）.什么才是规律？
（2）.怎么找出来？
数字推理题主要用来测查应试者对数量关系的理解和判断推理的能力。
该类题通常给出一个数列，但其中缺少一项，要求考生仔细观察这个数列各数字之间的关系，找出其中的排列规律，然后从四个供选择的答案中选出自己认为最合理的一个，来填补空缺项，使之符合原数列的排列规律。
规律的形式多种多样，千奇百怪，每个人心目中对规律的判断尺度也是不尽相同，这就导致我们在学习数字推理的过程中有些迷茫：
为什么有时候国家这等权威机构出的数推会有2种答案呢？
究竟哪个才是得分点呢？
对此就要大家对规律有一个相对客正确的认识和理解。
规律从宏观角度来说，是一种多种相同性质的形式周期性重复出现的表现。
如：
1，11，6，7，8，1，11，6，7，8，1，11，6，7，8......
2、数字推理的规律的基本特点要求：
（1）.已给数推的项至少要构成3项或者3项以上的表现形式，除复杂的多项混合运算的除外。
例1：
11，13，16，21，28，（）
A.37B.39C.40D.41
【解答】一级差值：
2，3，5，7，（11）一目了然为质数序列。
例2：
2，3，13，175，（）
A.30625B.30651C.30759D.30952
【解答】要结合选项来看，选项如此之大，且均为5位数，运算形式不是乘积就是次方、阶乘构成。
乘积上看13×175的结果远远不能达到其选项范围，而阶乘的形式：
1，2，6，24，120，720.....跟项序列所表现的数字有差距，因此重点先考虑含次方。
在这个条件下，我们发现175^2=30625接近选项。
故而考虑后者项的平方数。
用小数字验证，即2和3的平方如何得到13呢？
2×2+3^2＝13，3×2+13^2=175.故而总结出规律表达式为A^2+B^2=C.
从上述2个例子当中可以看出，例题1是较为规范的规律形式表现，通过给出的最直接的四个规律数字2，3，5，7可以推断11，规律直接项越多，所表现的规律形式就会越少，其结果的唯一性就会增大。
例题2所表现的是“2推3”的形式，即通过2^2+3^2=13，3^2+13^2=175，这2次规律形式推断第三次也是满足如此情况，按道理来说规律形式的表现应该是具备3次或者3次以上去推断下一次。
2推3情况就是我们所说的复杂的运算情况，这也是可以满足的。
因为从选项来看他也具备唯一性。
总结：
规律没有非常严格的要求，如果是在答案唯一的情况下，规律的要求可以适当放松。
如果在规律产生多种答案的情况下，应当遵循先满足“3推4”及以上的情况，而这种“2推3”的情况应当慎用，一般碰到这种“2推3”的情况基本属于选项明显区别于所给题干的数字。
可以如例题2这样的分析去倒推答案。
（2）.数字推理规律是一种比较性规律，如果当你发现一个题目里面有2种或者2种以上规律形式且导致结果不尽相同的情况，请注意按照规律我们下面将要为大家讲解的规律的基本形式的优先级顺序来判定。
例3：
-2，-8，0，64，（）
A．–64B．128C．156D．250
【解答】首先我们可以利用因式分解形式来观察所给四项所隐藏的因子序列。
如此题前四项分别是1，2，3，4的倍数，可知括号中所填数字必为5的倍数，故而选D。
从负号的角度来看项值0的前2项是负数，因此从因式分解的角度上来看可以考虑前2者是从－2，－1，开始的因子序列。
故：
－2＝－2×1，－8＝－1×8，0＝0×？
，64＝1×64
这样很容易发现，1，8，（27），64，（125）构成一个立方序列。
这样答案就出来了，2×125＝250.
当然也有规律是这样的：
（-2）^3-（-8）=0，（-8）^2-0=64，0^1-64=-64这就是典型的“2推3”形式，产生了2个不同的答案，在比较和和衡量之下我们应当以250为答案而非－64.究其因有二，其一：
“2推3”相对比较勉强，不符合一般规律要求的充分性，其二：
2种不同结果的规律比较，应当择优而选。
看谁具有说服力。
例4：
8，16，25，35，47，（）
A.58B.61C.65D.81
【解答】此题从数字的变化幅度上来看，幅度不大，因此应当从数字的基本规律差值规律或数字性质入手，先做差值看一下：
8，9，10，12，（14）这是合数序列的表现形式。
故而答案为47+14＝61，选B。
而从中公的解析当中我们就发现犯有这样的错误，不了解关于公考数字推理的优先级或者说什么才是常考规律。
有人说此题可以选A。
根据首尾法：
8+（58）＝66；16+47＝63；25+35＝60；这样66，63，60构成等差数列。
（3）.规律运算的种类一般不超过2种。
具体来说一道数字推理有几种规律形式杂糅构成，一般情况不会出现2种以上的规律形式，如这样一个题目。
-1，-1，3，22，（）A.88B.91C.118D.121
1！
+2－4＝－1；2！
+3－6＝－1；3！
+5－8＝3；4！
+7－9＝22；5！
+11－10＝121
这种规律形式结合了
（1）阶乘
（2）质数（3）合数（4）加减混合根本不属于我们考试所采用的形式。
大家一定要记住考试的目的是为了考出你的能力，而不是为了考倒你。
如果绝大部分考生都不会做，那么这个题目就失去了考察的本意。
（4）.考试题目绝大部分题目都会留下题眼。
在设计题目的时候，往往会通过数字的局部特点；项具有的基本数理性质；题目的选项特殊性；题目的幅度变化；一些规律的形式上的明显特征留给大家破题的切入点。
例5：
2，3，7，16，65，321，（）【2010年国考】
A.4546 B.4548C.4542D.4544
【解答】此题的题眼就在于选项，我们发现选项均为4500多。
从规律的构成项来看，65，321如何得到4500多呢，这里就很明显，非乘积必然是次方。
乘积来看大了很多。
次方来看我们发现65^2=4225比较接近4500，且4225+321＝4546刚好有一个选项满足，因此可以用前面的数字来验证这个规律。
2^2+3=7，3^2+7=16满足。
故而选A。
例6：
153，179，227，321，533，（）【2009年国家】
A.789B.919C.1079D.1229
【解答】此题的题眼就是数字的局部特征，如个位数3，9，7，1，3；这就可以根据我们的知识的储备发现这是一个3的n次方的序列的尾数序列：
1，3，9，27，81，243.....
看出这个特点就可以将其拆分构成：
153＝150+3^1；179＝170+3^2；227＝200+3^3；321＝240+3^4；533＝290+3^5；
据此我们看另外一半就发现是150，170，200，240，290，是2级等差数列。
答案就出来了350（290+60）+3^6=1079故而选C.
例7：
-344，17，-2，5，（），65【浙江2010】
A．86B．124C．162D．227
【解答】此题的题眼就在于我们对数字最基本性质的了解和把握，从项上的幅度变化来看绝对是次方的变化，再看－344，我们所知道的3次方－7^3=-343最为接近。
因此可摸索出来，-7^3-1=-344，-4^2+1=17，-1^3-1=-2，2^2+1=5，5^3-1=124，8^2+1=65。
例8：
5、3、7/3、2、9/5、5/3、（）【浙江2010】
A．13/8B．11/7C．7/5D．1
【解答】此题题眼就在于第三项和第五项的分子上，分别是7和9，这不得不让我们考虑7，8，9，10的连续自然数，同时我们看到7，9之间的是2，是8的因子，可以变成8，9后面分子是5，可以变成10，因此进一步证明我们的想法是可靠的。
故而直接选分子是11的。
即选B。
如果不放心而已进一步验证。
7/3，8/4，9/5，10/6，11/7符合。
二、数字推理的基本类型
1、数字推理的基础规律形式
（1）等差、间隔等差，多级等差/移动求和，间隔求和
等差数列：
在等差这类题目中，从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数。
在考试中，往往还会出现等差数列的变式，如多级等差、间隔等差等差等多种形式。
应多加注意！
例9：
【09国家】5，12，21，34，53，80，（）
A．115B．117C．119D．121
【解答】首先看是否满足幅度大小平稳发展，不具有跳跃性的变化，那么我们都可以考虑等差的情况，
一级等差：
7，9，13，19，27，（？
）
二级等差：
2，4，6，8，（10）
这样就一目了然：
答案为80+27+10＝117
例10：
【10江苏】8，11，18，34，66，（）
A．89B．97C．123D．154
【解答】幅度变化平稳，不妨考虑先等差
一级等差：
3，7，16，32
二级等差：
4，9，16，（25）
从二级等差上可以看出属于平方数序列，因为答案是66+32+25＝123
例11：
【10国家】3，2，11，14，（），34
A.18B.21C.24D.27
【解答】还是先观察幅度的变化，变化不具有跳跃性，因此可以考虑等差一类。
等差形式不仅仅考虑直接等差，例如间隔等差也是一种基本形式。
11－3＝8；14－2＝12；？
－11＝？
；34－14＝20
8，12，？
，20很容易判断出？
＝16，为等差数列。
如三个数A，B，C（B＋C）－（A＋B）＝C－A。
我们把上述做法通过表达式表现出来。
发现其实这种方式就是间隔差。
回头再来做一下：
8－7＝1；10－8＝2；11－8＝3；（14）－10＝4
相信这样的方式应该快捷很多了。
2007年国考推理第44题考察的是关于次方的数推题目。
例12：
【07国家】0，4，16，40，80，（）
A．160B．128C．136D．140
【解答】16－0＝4^2，40－4＝6^2，80－16＝8^2，（140）－40＝10^2
例13：
67，54，46，35，29，（）
A．13B.15C.18D.20
【解答】此题属于移动求和构成规律，这种形式是相对于求差的一种姐妹类型
67+54＝121＝11^2，54+46＝100＝10^2，46+35＝81＝9^2，35+29=64=8^2，29+（20）=7^2
当然对于这种移动求和的题目我们可以转化为间隔差
67－46＝21；54－35＝19；46－29＝17；35－（20）＝15
例14：
0，1，0，3，6，7，（）
A.10B.11C.12D.13
【解答】此题属于多项移动求和构成规律，是在一般移动求和的情况下发展起来的，
0+1+0=1^2；1+0+3＝2^2；0+3+6＝3^2；3+6+7＝4^2；6+7+（12）＝5^2；
这种形式的题目就要求大家在例13的熟练掌握的基础上有一定的敏感性，另外，既然例题13可以采用间隔差值，那么此题呢？
此题也同样可以，但不是间隔1位，而是间隔2位：
3－0＝3；6－1＝5；7－0＝7；（12）－3＝9
总结：
差－和规律是我们所有规律形式当中最为基础的规律，几乎所有规律的演变都于此相关。
因此熟悉差规律的各种形式以及内在特点极为重要。
差和规律首先判断的基本应用条件必须是整体变化幅度不大，没有跳跃性变化。
（2）等比、比值序列，间隔比。
等比数列：
是数列项与项之间的比值是一个常数，我们称这样性质的数列为等比数列。
在公考试题当中，等比数列不可能赤裸裸的用来考查应试者，一般都是进行“伪装”，如：
结合等差数列，使其差值之后看出是等比数列；或者比值不是常数，其项与项之间的比值构成一个新的等比数列。
我们称其为多级等比数列。
诸如此类的变型在下列例题中会出现，不过总的来说，其特点还是比较鲜明的，那就是变化幅度是呈现规律变化的，且较等差数列的幅度要大。
例15：
【例题】2，6，18，54，（）
A．112B．142C．162D．188
【解答】答案为C。
这就是一道非常典型的等比数列模型，其相邻两项之间的比值为3，
6÷2＝3，18÷6＝3，54÷18＝3，（162）÷54＝3。
例16：
【09江苏】4，10，30，105，420，（）
A．956B．1258C．1684D．1890
【解答】答案为D。
此题的倍数幅度变化较为均衡。
可以尝试先去看看倍数。
10÷4＝2.5，30÷10＝3，105÷30＝3.5，420÷105＝4，（）÷420＝？
。
那么我们再观察比值构成的新数列：
2.5，3，3.5，4，（4.5）。
是公差为0.5的等差数列。
因此得到（1890）÷420＝4.5。
例17：
【10江苏】-1/3，1，5，17，53，（）
A．157B．153C．164D．161
【解答】此题我们看到起始数是分数形式，后面都是整数，首先考虑的就应该是倍数关系，从整体看应该是在3倍左右的恒定倍数关系，在此基础上的一个修正。
-1/3×3+2＝1；1×3+2＝5；5×3+2＝17；17×3+2＝53；53×3+2＝161
这种形式即为等比数列的扩充形式，在传统等比数列的基础上进行修正。
但有一点是不可能改变的，那就是其变化幅度还是相对有迹可循。
例18：
3，21，9，9，63，（），27
A.45B.36C.27D.21
【解答】此题就属于间隔比值规律，这跟间隔差值规律一样，我们需要对整体有一个把握，间隔2项比值均为3，3：
9＝21：
63＝9：
？
＝9：
27故而答案为27.
例19：
【09江苏】100，10，12
，16
，25，（）
A．25B．30C．40D．50
【解答】答案为D。
此题就是等比数列的一道变型题目，其比值构成了一个新的数列，而这个比值是以第一个数100为参照的，新数列为等差数列。
100÷10＝10，100÷12
＝8，100÷16
＝6，100÷25＝4，100÷（50）＝2；看比值构成的新数列：
10，8，6，4，
（2）。
是一个公差为2的等差数列。
因此我们就得到了100÷（50）＝2。
这一种就属于比值数列当中的参照数比值。
它不是相邻2项之间的规律特征，而是有一个参照数的规律特征。
而在数字推理过程当中一般是选一个隐藏恒定的比值，如：
2，3，5之类，还有一种是以现有项的第一项为参照比值关系的一种数列。
例题19就是这样一种题型。
（3）递推组合运算规律（运算方式的组合，运算方式的间隔交替）
递推，顾名思义就是多项（三项及以上）之间发生的关系构成了一个规律公式。
例如我们知道最经典的递推公式就是斐波那契数列（移动求和）。
1，1，2，3，5，8，13……，其规律特征就是前两项之和＝接下来的一项。
An＝A（n-2）+A（n-1），这就是递推数列的表现形式。
递推数列除了移动加法运算，还包括减法、乘法、除法以及混合运算等多种形式。
从三项构建关系有时候扩展到四项，如An＝A（n-3）+A（n-2）+A（n-1），或者是跨项An＝A（n-3）+A（n-2）。
解决此类递推以及变型的数列。
不仅仅需要从思维上突破传统的规律想法。
还需要学会善于抓住2，3个数字先行建立一种规律，以此来验证，逐步排除，从而得到正确的答案。
例19：
【09江苏】－3，10，7，17，（），41
A．18B．21C.24D．31
【解答】答案为C。
这是一道简单的移动求和递推数列。
其满足的运算公式：
An＝A（n-2）+A（n-1）。
－3＋10＝7，10＋7＝17，7＋17＝（24），17＋（24）＝41。
例20：
【09江苏】22，36，40，56，68，（）
A．84B．86C．90D．92
【解答】答案为C。
这是典型的混合运算递推规律。
规律表达式：
An=A（n-2）+A（n-1）÷2。
具体解法：
22＋36÷2＝40，36＋40÷2＝56，40＋56÷2＝68，56＋68÷2＝（90）。
例21：
【09山东】13，9，31，71，173，（）
A．235B．315C．367D．417
【解答】答案为D。
此题其实和例题2是异曲同工。
其规律表达式：
An=A（n-2）+A（n-1）×2。
具体解法：
13＋9×2＝31，9＋31×2＝71，31＋71×2＝173，71＋173×2＝417。
例22：
【08安徽】6，7，8，13，15，21，（），36
A．27B．28C．31D．35
【解答】答案为B。
这个类型就是我们上述提到的递推数列当中的跨项运算。
其表达式：
An=A（n-3）+A（n-2），也就是说第一项＋第二项等于第四项。
具体解法：
6＋7＝13，7＋8＝15，8＋13＝21，13＋15＝（28），15＋21＝36。
例23：
【08北京】1，3，3，9，27，（）
A．251B．243C．223D．143
【解答】答案为B。
这个类型是递推当中的移动求商运算。
其表达式：
An=A（n-2）×A（n-1）。
具体解法：
1×3＝3，3×3＝9，3×9＝27，9＋27＝（243）.
其实这类求商或者求积类型都是举一反三，一通则百通。
最主要还是对数字之间的关联要有一个最基础的敏感度。
如果你连最起码的倍数关系都看不出来，那么自然就要费时费力了
例24：
【09广东】38，24，62，12，74，28，（）
A．74B．75C．80D．102
【解答】答案为D。
这个类型是递推当中比较特殊的一种，我们称之为“接力递推”。
之所以叫做“接力递推”也是因为其规律的形式所得名。
这个题目具体解法：
38＋24＝62，62＋12＝74，74＋28＝（102），我们发现，其前面一次移动求出的结果（数列项）是作为下一个运算的起始值。
故而得名“接力”。
当然如果项数不凑巧，我们就必须考虑38和24、62和12、74和28之间的关系了。
递推规律是变化无穷的。
我们不可能一一列举。
最主要还是我们学会开放思维，适“题”应变，不要拘泥于固定几种形式。
这样才是学习数推的最佳方法。
当然一切学习的根源在于掌握其基础的题目作为模型。
以此发散，主动思考。
因此介绍这些基础模型题目是非常有必要的。
（4）数理基础性质（质数合数，次方，阶乘，数字拆分等形式）
数理基础性质是指数字本身代表的一种定义方式，若连续若干项所表现的是同一个性质或者性质下的扩展，我们将其定为为数理基础性质推理。
数理性质主要分这样两大部分：
数理概念与性质：
如奇数、偶数、质数、合数、平方数、立方数、阶乘、圆周率等具有固定概念的数字描述。
质数：
只能够被1和其本身整除的数。
且最小质数为2.（只有2个不同的约数）
合数：
能被1和其本身整除之外，还存在能被第三个不同的数整除。
（具有2个以上的约数）
例25：
【10浙江】12、16、22、30、39、49、（）
A．61B．62C．64D．65
【解答】数字变化幅度不大，不妨考虑做差。
4，6，8，9，10，（12）很明显属于合数序列。
故而答案为49+12＝61.
例26：
4，6，10，14，22，（）
A.24B.26C.28D.30
【解答】既然都是偶数，且幅度不大，我们可以先“浓缩”在看特点：
分别除以2之后的新数列形式：
2，3，5，7，11，（13）典型的质数序列。
故而答案为13*2＝26.
平方数：
需要熟悉掌握的是0～20内的平方数，并对其有较高敏感度。
立方数：
需要熟悉掌握的是0～10内的立方数，并对其有较高敏感度。
2的0～10次方：
1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，1024.
3的0～6次方：
1，3，9，27，81，243，729.
5的0～5次方：
1，5，25，125，625，3125.
例27：
【09江苏】0，7，26，63，124，（）
A．125B．215C．216D．218
【解答】答案选B。
此题就是一道典型的幂次数列。
我们不难发现其所有的数均是非常接近3次方的数。
且均与3次方数差1，那么我们就可以直接看选项。
发现只有B选项215＋1＝216是3次方数.具体解答
0＝13－1；7＝23－1；26＝33－1；64＝43－1；124＝53－1；（215）＝63－1；
做这类题型一定要对次方数有一个敏感度。
否则我们向往的“秒杀”境界何从谈起。
而敏感度的训练，就是基于对如下要求的强化训练的结果。
当然你也可以采用多级等差来做此题，但是显然速度相对慢了许多。
例28：
【09浙江】1，3，11，67，629，（）
A．2350B．3130C．4783D．7781
【解答】答案选D。
此题变化幅度非常大。
因此明显是一道幂次数列。
通过对熟悉的几个次方数进行推演，可知具体规律。
如67＝64＋3，629＝625＋4，当中64和625是我们比较熟悉的2个次方数。
具体解答：
1＝1^0＋0，3＝2^1＋1，11＝3^2＋2，67＝4^3＋3，629＝5^4＋4，（7781）＝6^5＋5。
例29：
【09上海】2，10，30，68，（），222
A．130B．150C．180D．200
【解答】答案选A。
此题方法也有两种，方法一：
我们最容易抓住的就是68和222，因为222＝6^3+6，68=4^3＋4，因此有理由相信这是一个3次方的数列。
具体解答：
2=1^3＋1，10=2^3＋2，30=3^3＋3，68=4^3＋4，（130）=5^3＋5，222=6^3＋6。
方法二：
我们可以视为是双数列问题。
有些数列我们根据因式分解，找到其中含有成规律的因子即可找到其规律了。
2＝1×2，10＝2×5，30＝3×10，68＝4×17，（130）＝5×26，222＝6×37
对这个数列因式分解后形成2个部分，其中一个数列是1，2，3，4，5，6.另外一个是2，5，10，17，26，37.我们发现这个数列是个多级等差数列：
2510172637
357911
2222
通过对比我们不难发现如果熟知常见的次方数，也许我们会不用那么艰难。
当然因式分解的方法也有其可取之处。
有些题目选项设计具有偶然性。
比如当四个选项只有一个是5的倍数。
那么也同样可以更快的发现正确答案。
例30：
【10联考】0，0，6，24，60，120，（）
A.180B.196C.210D.216
【解答】此题从变化幅度上来看具有跳跃性，再看数字相对比较熟悉，典型的次方数。
0＝0^3-0；0=1^3－1；6=2^3-2；24＝3^3-3；60＝4^3-4；120＝5^3-5；（210）＝6^3-6。
当然此题还有其他技巧，这里不做赘述。
例31：
【例题】0，2，8，26，（）
A．50B．52C．68D．80
【解答】答案为D。
此题是关于3的幂指数的数推规律。
如果所有项均加上1，那么就变成了1，3，9，27一目了然分别是3^0，3^1，3^2，3^3，因此答案就是3^4－1＝80，这类幂指数的题目相对比较简单。
但是在现在数字推理的考察方式当中，往往会将这种类型融合到差值运算当中。
使得这一规律不易被发现。
例32：
【例题】3，1，
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