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有限元法在变电站接地系统电阻计算中的应用
V.N.Katsanou,G.K.Papagiannis,MemberIEEE
摘要：
无论是对于一座变电站还是一个简单建筑的安全施工，接地系统都是非常重要的。
本文研究了各种不同的接地系统，包括单杆、杆床和网格的计算方法。
此外，提出了有限元法（FEM）对接地系统分析的构想。
为得到准确的电磁场计算结果，建立了2D和3D模型进行比较。
算列中包括均匀和二分层的两种土壤结构。
通过对比有限元分析法和已有分析方法的计算结果，得出有限元分析法为接地电阻计算最合适的方法。
关键词：
接地系统，有限元法，接地电阻，土壤电阻率，二分层土壤模型
1.引言
选择一个合适的接地系统是高压变电站建设的一个重要方面。
接地系统的目的是引导接地故障电流有效的到达大地，和保障变电站内及周围的人身安全。
为了确保这两个方面，按照国际标准，已设置适当的步骤和接触电压的上限。
所以，需要在故障情况下计算这些电压时，接地系统电阻的知识就显得至关重要。
常用的接地系统，包括单杆、杆床或杆阵列，接地网和上述类型的组合。
一个接地系统的电阻可以通过多种方法计算得出。
根据接地系统的类型和土壤结构无论是均匀的或多层的，不同的方法已在文献中提出。
然而这些方法及其计算结果表现出显著的差异，特别是使用在多层土壤时。
所以在不同土壤情况下选择适用计算方法是一件困难的事情。
本文提出了一些在三种不同情况下的接地系统已被检验并付诸实践了的方法：
•在第一种单杆的情况下，检验垂直杆的长度。
•第二种情况是关于路基下不同杆长的垂直杆，检验杆的数量和覆盖的区域。
•第三个接地系统检验包括接地网不同的配置和尺寸。
所有上述的接地系统检验法用于均匀和二分层土壤结构。
已经提出了用于计算的电阻接地系统的多种方法。
这些方法由Schwarz、Sullivan、Nahman等人和Salama等人所提出，以及IEEE标准。
无论是在均匀的或在二分层土壤结构的电阻计算，上述方法中的每一个都已经被用于在一定的接地系统。
此外，还有基于经典电磁理论得到的解析公式用于计算的杆电阻。
本文研究了两个不同的土壤结构。
在第一个中，土壤被假定为均匀的；而在第二个中，它被认为是由两个不同的接地电阻率的水平层组成的。
实施并使用市面上现有的软件对使用有限元法（FEM）的构想进行了验证。
在单杆和垂直杆的情况下，为了获得一个准确的电磁场计算结果，制定了一个二维有限元模型，并实现与一个已被用于所有检验杆和网格情况的三维有限元模型进行了适当的比较。
二维模型已被用来作为参考，二维比三维有限元模型的计算提供更好的精度。
然而，二维模型可以只处理个案与轴对称的情况，因此，它能够在非常有限的情况下使用。
在所有其他个案下，在三维有限元法已被使用。
2.问题的提出
A.均匀土壤结构
假设接地系统是埋在均质土壤是最简单的。
对于这样的土壤模型的地面的电阻率被认为是恒定的和独立的深度。
然而，因为土壤实际上由具有不同电阻率的层，这个简单的模型往往不足，可能会导致错误的结果。
对于均匀土壤模型，接地电阻率被认为是100Ω·m时，最常见的土壤的一个典型值。
在经典电磁理论中最常用计算一个在均匀土壤单杆电阻的表达式为：
（1）
其中：
是均匀土壤的电阻率（Ω·m）
是杆的有效长度（m）
是杆的直径（m）
另一种已经由Schwarz提出的表达式，并已用于在IEEE标准的是：
（2）
Sullivan已经提出了一个不同的表达式计算一个单一垂直杆的电阻。
对于更复杂的接地系统，包括杆床、接地网和在均匀土壤的情况下杆与网的组合的计算表达式已经由Schwarz和Sullivan一同提出。
前一种方法也已达到了IEEE标准。
B.二分层土壤结构
二分层土壤模型假设土壤由两个具有不同的接地电阻率水平层组成。
靠近表面的第一层具有有限的厚度，而第二层被假定为具有无限大的深度。
相比均匀土壤模型，这个土壤模型更为复杂，并导致理论上可以得到更准确的结果。
但是，不同的方法将导致计算结果很大的差异，尤其是在两层土壤电阻率有显著不同情况的时候。
所以，在所提出方法中选择哪一个是最合适的才是问题所在。
对于在土壤层电阻率的测定，可以从地表上的视在电阻率测量的结果中得到，许多方法能够在相关文献中找到，需要同时考虑电阻率的测量和确定每个土壤层的参数。
有两个主要的方法被使用在各种接地配置的接地电阻的计算中。
第一种方法是基于计算两层土壤的等效电阻。
应用该等效电阻计算法，假定两层土壤近似均匀，可以使用均质土壤电阻率计算的简单公式。
用于在该等效电阻率的计算，根据IEEE标准提出了以下的方法。
通过测量不同的电极间距得到一组接地土壤电阻率的值，例如运用Wenner法进行测量。
得到的土壤电阻率被假定为所有的测量值的平均值：
（3）
其中：
是在不同的电极间距下通过Wenner法测得的电阻率（Ω·m）
为测量值的数量
根据第二主要的方法，提出了不同的分析方法是，同时考虑不同电阻率的两个土壤层，以及该特定位置的接地系统。
Nahman等人和Salama等人了在这个类别中属于不同的模型，适用于个案的接地网、棒床以及它们的组合。
假设两个地球层具有相同的电阻率，则分层土壤电阻率计算的所有方法还可以用于为均质土壤个案。
关于二分层土壤结构，已经有六个不同的实际土壤模型被用在这项工作中。
这些模型的提出都是基于实际地电阻率测量，将他们的特性显示于表1中。
表1对于在不同的情况下检验的土壤特性
情况
1
372.729
145.259
2.69
2
246.836
1058.63
2.139
3
57.344
96.714
1.651
4
494.883
93.663
4.37
5
160.776
34.074
1.848
6
125.526
1093.08
2.713
表中，
是上层土壤层的电阻率，
是底部土壤层的电阻率，
是上层的深度。
为了计算在表1提出六个不同情况的土壤等效电阻率，使用IEEE标准所提出的方法实验并测量土壤电阻率也是必需的。
使用Wenner的方法对这六种情况中所提供的地表视在电阻率进行测量，并显示于表2中。
其中
（Ω·m）为不同电极间距下测量的视在电阻率。
表2对于表1中六种情况的地表电阻率测量值
测量号
情况
1
2
3
4
5
6
1
间距
2.5
320
1
255
0.5
58.71
2.5
451.6
1
156.4
1
136
2
间距
5
245
1.5
290
1
61.79
5
366.7
2
113.1
2
140
3
间距
7.5
182
2.5
315
1.5
58.1
7.5
250.2
3
95.2
4
214
4
间距
10
162
3
376
2
61
10
180
4
65.3
10
446
5
间距
12.5
168
5
528
2.5
73.79
12.5
144.2
20
685
6
间距
15
152
10
690
3
78
15
120.2
40
800
7
间距
4
79.13
20
115.5
8
间距
5
78.19
25
96.5
3.有限元分析法的提出
FEM建模能够计算复杂几何形状的接地系统，同时可以考虑到确切的拓扑结构和电磁特性所有涉及的元素。
土壤特性可以详细定义为在该地区的每一个点周围的接地系统，而非线性也可以考虑。
在这项研究中使用的市售的有限元分析软件包，即COMSOLMultiphysics®。
创建2D和3D模型，用以准确地检验接地系统。
有限元法在地面上使用泊松方程和电标势表示如下：
（4）
利用边界条件问题区域的边界上的电位为零V=0求解此方程。
此外，地面和空气之间的表面被认为是电绝缘性
，以便提供两个相应的子域之间的隔离。
首先输入数据，定义土壤和杆的几何形状的电磁特性。
随后，离散区域的问题将得到解决。
这个区域，应选择使用以下的条件。
它必须是足够大的，所以，当所有的电流流向大地的接地系统将加以考虑，而在相同的时间，它必须足够小，以减少的计算机存储器中的需求和必要的计算时间。
经过多次试验得到最佳性能。
它已用于本文中模拟离散区域选定为50立方米或100立方米的体积的立方体。
一个任意的电位V被施加到接地的杆。
在这里研究时，假设一个单位电位1V加在接地系统上问题就解决了。
由有限元法计算潜在流过接地系统的总电流I。
最后，通过这两个值能够将杆的电阻计算出来。
为了提高该模型的数值表现，同时使用自动和手动生成的网格。
在所有情况下，最终已被选定网格附近的接地系统将更致密，边界面将更稀疏。
网格的完善在任何时候都是必要的。
随后通过输入的数据来确定有关的电磁特性的土壤中接地系统的几何形状，以及所述离散化区域。
由于二维有限元模型，可以导致精确的结果，它已被用于呈现轴对称的几何形状。
通过以下方式获得的二维有限元计算结果和通过以下方式获得相同的几何形状的三维模型相比。
该比较的目的是要确定拓扑结构，与相应的二维模型相比，它在三维模型的情况下提供更精确的结果。
调查表明三维离散区域应该是至少50立方米单一垂直杆的情况。
这也被认为是一个适当的离散区域拓扑中不能使用的二维模型，或相当于根据实际接地系统的间距得到的接地网和杆床。
通过有限元分析得到的结果，所有被检验的情况下可作为参考，以便比较所有其他的分析方法的结果。
4.数值结果
最简单的情况下，一个单一垂直杆先被测试。
假定杆的直径为6.3毫米，而其长度范围从1m到10m。
除了电阻值的计算，对关于接地电阻值的有关埋藏深度的杆进行了调查。
使用二维和三维有限元配方对结果进行了验证。
接着，对三个不同的杆床进行检验。
这些杆床包括4、9和25个杆，并且分别被表示为R4、R9和R25。
此外，杆的长度不同从1到10m。
杆的直径是6.3毫米。
此前，已研究埋深对杆的接地电阻值的影响，特别是对二分层土壤结构。
最后，对不同尺寸和不同的网格数的方形和矩形网格进行检验。
网格是水平埋在土壤中的。
由Nahman提出的方法和IEEE标准得到的结果与三维有限元计算方法进行验证。
栅状导体的直径为1.7毫米。
A.均匀土壤结构
建议的分析方法和有限元方法在均质土壤结构中产生的结果存在小的差异。
关于在均质土壤接地杆的电阻计算结果的一个例子如图1所示。
使用上述所有方法和有限元计算方法在2D和3D不同的杆长，研究范围从1米到10米。
变化最大的是约7％，并且它可以由公式
（1）和由IEEE标准提供的公式所获得的结果之间观察到。
图1在均质土壤情况下单杆电阻值
同样的观测被记录，将垂直棒组成的杆床埋在一个电阻率为
均匀土壤中。
每个杆的长度不同。
图2所示，由Schwarz提出已被IEEE标准检验的表达式和由FEM方法之间的比较。
在该图中，对由4、9和25个杆组成的杆床进行了检验。
图2在均质土壤情况下杆床电阻值
在所有情况下，两种检验方法所记录的差异并不显著。
除了这一点，显而易见的是，杆的数目的减少使差别更大，而他们倾向于尽量减少延长接地系统和较大的杆长。
不同类型的网格，还需在均匀土壤中检验。
关于两个正方形（S）和矩形（R）的网格，网格的数目变化后的结果如图3所示。
覆盖的面积为100平方米的正方形网格和200平方米的矩形网格。
图3均质土壤的情况下网格电阻值
在这种情况下，有限元分析法和由Schwarz提出了的方法得到的结果之间的差异是相当显著的，即使是对于扩展的接地系统。
B.二分层土壤模型
对于两层的土壤模型六种不同的情况，我一直在研究。
一般情况下，从所有不同的测试案例检验每个接地系统布置在两层土壤中，土壤结构中的常见情况通过
与
来检测。
此外，当已有的全部分析方法和由FEM分析法得到的结果的差异较大时，土壤的第一层的电阻率大于第二层的电阻率。
首先，对埋在六种不同的土壤情况下且长短不一的单一垂直杆进行检验。
表1中的第一种情况的结果如图4所示。
图4在表1中第一种情况下杆的接地电阻值
五种方法的结果之间有明显差异，尤其是在杆长较小的时候。
更特别的是，通过有限元方法与由Nahman等人所获得的方法得到的结果有很好的一致性。
然而，重要的是没有检测到二维和三维有限元分析法之间存在的明显差异。
在最坏的情况下，他们结果的变化小于8％。
当杆长度大于4米，所有五个方法的结果之间的差异会变的更小。
对于这个土壤模型，三个著名的领域可能会观察到图4的变化曲线，分别在两个土壤层杆的相对位置。
当杆只被埋在第一层中，所得到的曲线的梯度与在土壤均匀的情况下是相同的。
当杆的长度达到或略微超过两个土壤层时，或者当杆的最大的部分被埋在土壤层之间的边界时，梯度发生变化。
对于表1中的情况2，如图5所示。
图5在表1中第二种情况下杆的接地电阻值
对于这种土壤结构，五种方法所得结果之间的差异比之前的情况要小。
尽管事实如此，但重要的是发现了更大的杆长这种情况下的结果不收敛。
同样的情况，通过有限元分析得到的结果和由Nahman等人提出的方法所获得的结果非常一致。
再者，因为之前的例子分析得到，接地杆电阻值遵循相同的模式。
最后，在表1中第五种情况下可以观察到更明显的差异。
图6在表1中第五种情况下杆的接地电阻值
这种情况，再次表现为，由有限元方法获得的结果和由Nahman等人提出的方法所获得的结果相比，变化几乎是可以忽略不计。
然而，其他两种方法的结果不收敛，既不是他们导致的FEM，也不在他们之间。
此外，当杆长低于4米时，杆电阻的值会有明显的下降。
当杆再次穿入土壤的第二层时，这种影响更为明显。
将电阻埋在表1的六个土壤情况中，接下来检测的杆床的电阻。
埋在两层土壤结构中的杆床，比较接地电阻三种不同的计算方法。
杆床在长度和数量上都有变化。
在图7中所展示的是关于埋在对应于表1第三种情况土壤中的4杆（R4）组成的杆床阻值结果。
图7在表1中第三种情况下（R4）杆床的接地电阻值
对于这种情况，结果之间的变化并不显著，特别是对于在2至4米之间，且为最常见的情况下所对应的杆长。
这是因为，两种土壤层的电阻率值没有表现出很大的差异。
结论是，这种情况下与均质土壤相似。
对相同的杆床结构的接地电阻，若不是土壤情况与对应于表1中第四种情况的特性，结果如图8所示。
图8在表1中第四种情况下（R4）杆床的接地电阻值
对于这样的土壤情况，检测到结果有更大显著的变化。
特别是对小杆长的，差异是很大的。
有限元法得到的结果于其他两种方法的结果之间。
由Nahman等人所提出的方法再次接近有限元方法，它被认为是比较有参考价值的结果。
结果之间显著的差异也被认为是土壤的第一层电阻率远小于第二层。
最后，在土壤均匀的情况下检测了的同一网格类型也要在两层土壤结构中检验。
应当提出的是，由于受到计算机存储器的约束在使用有限元分析软件时，网格尺寸大于200平方米的不能得到解决。
对于较大网格配置的离散区域中创建的网格相对稀疏，因此，相应计算结果的准确性是不能得到确定。
这里陈述了两种土壤案例。
在图9中，考虑表1中的第一种情况，比较了FEM分析法和由Nahman等人所提出的方法的结果。
图9在表1中第一种情况下网格的接地电阻值
由Nahman等人所提出的方法和有限元模型之间的分歧是显而易见的。
特别是较小网格数的网格在两种方法之间的差异更为显著。
同样的观测，可以对其他五个土壤结构进行研究。
另一个具有指示性的例子是埋在对应于表1中第四种情况土壤结构的网格，其结果如图9所示。
图9在表1中第四种情况下网格的接地电阻值
五．结论
我们已经研究了在均匀和二分层土壤结构情况下，用不同的方法来计算不同的接地系统的接地电阻。
所得到的结果与相应的被视为参考的三维有限元分析法进行比较。
除了网格呈现显著差异外，结果之间的差异可以忽略不计的是均匀土壤结构。
在土壤被假定为两层的情况下，结果之间的差异是显著的，尤其是对长度小的杆。
对分析模型进行研究，使用不同的方法计算多层土壤中接地系统电阻值。
其中有些是根据假设一个均匀土壤等效电阻率得到的。
其他的，也要考虑土壤体系内的相对位置。
有限元计算结果表明，该方法考虑到了接地系统在土壤中的位置，使结果更为准确。
分析知通过Nahman-Salama法得到的结果是对应的有限元法最好的依据。
有趣的是，Schwarz方法使用的IEEE交流变电站接地安全指南提出的等效电阻的表达式与有限元法得到结果有显著的差异。
这是更明显的是土壤中的上方土壤层的电阻率变化很大程度上由相应的一个的下方土壤层所影响。
对于由接地网组成的接地系统，不同的方法得到的结果表现出更大差异。
必须指出，接地网格配置会得到期望低的接地电阻值，而且似乎所有的方法都收敛，是一个非常重要的结论。
但是，计算复杂的接地系统电阻是基于对每个接地系统元件的各个电阻的计算。
尤其是对多层土的情况下需要寻找更好的近似来实现，因此IEEE标准是有道理的。
本文译自：
V.N.Katsanou,G.K.Papagiannis,MemberIEEE，Paperacceptedforpresentationat2009IEEEBucharestPowerTechConference,June28th-July2nd,Bucharest,Romania.
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