(A)z1-a(n)=-za(n); (B)χ1-a2(n)=-χa2(n);
(C)t1-a(n)=-ta(n); (D)F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).
解答:
应选(B).
因为标准正态分布和t分布的密度函数图形都有是关于y轴对称的,而χ2分布的密度大于等于零,所以(A)和(C)是对的.(B)是错的.对于F分布,若F∼F(n1,n2), 则
1-a=P{F>F1-a(n1,n2)}=P{1F<1F1-a(n1,n2)=1-P{1F>1F1-a(n1,n2)
由于1F∼F(n2,n1), 所以
P{1F>1F1-a(n1,n2)=P{1F>Fa(n2,n1)=a,
即F1-a(n1,n2)=1Fa(n2,n1).故(D)也是对的.
习题2
(1)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本,问下列各统计量服从什么分布?
(1)X1-X2X32+X42;
解答:
因为Xi∼N(0,1),i=1,2,⋯,n, 所以:
X1-X2∼N(0,2), X1-X22∼N(0,1), X32+X42∼χ2
(2),
故X1-X2X32+X42=(X1-X2)/2X32+X422∼t
(2).
习题2
(2)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本,问下列各统计量服从什么分布?
(2)n-1X1X22+X32+⋯+Xn2;
解答:
因为Xi∼N(0,1),∑i=2nXi2∼χ2(n-1), 所以
n-1X1X22+X32+⋯+Xn2=X1∑i=2nXi2/(n-1)∼t(n-1).
习题2(3)
2.设总体X∼N(0,1),X1,X2,⋯,Xn为简单随机样本,问下列各统计量服从什么分布?
(3)(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2.
解答:
因为∑i=13Xi2∼χ2(3),∑i=4nXi2∼χ2(n-3), 所以:
(n3-1)∑i=13Xi2/∑i=4nXi2=∑i=13Xi2/3∑i=4nXi2/(n-3)∼F(3,n-3).
习题3
设X1,X2,X3,X4是取自正态总体X∼N(0,22)的简单随机样本,且
Y=a(X1-2X2)2+b(3X3-4X4)2,
则a=?
b=?
时,统计量Y服从χ2分布,其自由度是多少?
解答:
解法一 Y=[a(X1-2X2)]2+[b(3X3-4X4)]2,
令Y1=a(X1-2X2),Y2=b(3X3-4X4), 则
Y=Y12+Y22,
为使Y∼χ2
(2), 必有Y1∼N(0,1),Y2∼N(0,1), 因而
E(Y1)=0,D(Y1)=1, E(Y2)=0,D(Y2)=1,
注意到D(X1)=D(X2)=D(X3)=D(X4)=4, 由
D(Y1)=D[a(X1-2X2)]=aD(X1-X2)=a(D(X1)+22D(X2))
=a(4+4×4)=20a=1,
D(Y2)=D[b(3X3-4X4)]=bD(3X3-4X4)
=b(9D(X3)+16D(X4))=b(4×9+16×4)=100b=1,
分别得a=120,b=1100. 这时Y∼χ2
(2), 自由度为n=2.
解法二因Xi∼N(0,22)且相互独立,知
X1-2X2=X1+(-2)X2∼N(0,20), 3X3-4X4=3X3+(-4)X4∼N(0,100),
故X1-2X220∼N(0,1),3X3-4X4100∼N(0,1), 为使
Y=(X1-2X21/a)2+(3X3-4X41/b)2∼χ2
(2),
必有X1-2X21/a∼N(0,1),3X3-4X41/b∼N(0,1),
与上面两个服从标准正态分布的随机变量比较即是
1a=20,1b=100, 即a=120,b=1100.
习题4
设随机变量X和Y 相互独立且都服从正态分布N(0,32). X1,X2,⋯,X9和Y1,Y2,⋯,Y9是分别取自总体X和Y的简单随机样本,试证统计量
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92
服从自由度为9的t分布.
解答:
首先将Xi,Yi分别除以3, 使之化为标准正态.
令X′i=Xi3,Y′i=Yi3,i=1,2,⋯,9, 则
X′i∼N(0,1),Y′i∼N(0,1);
再令X′=X′1+X′2+⋯+X′9, 则X′∼N(0,9),X′3∼N(0,1),
Y′2=Y′12+Y′22+⋯+Y′92, Y′2∼χ2(9).
因此
T=X1+X2+⋯+X9Y12+Y22+⋯+Y92=X1′+X2′+⋯+X9′Y′12+Y′22+⋯+Y′92=X′Y′2=X′/3Y′2/9∼t(9),
注意到X′,Y′2相互独立.
习题5
设总体X∼N(0,4), 而X1,X2,⋯,X15为取自该总体的样本,问随机变量
Y=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)
服从什么分布?
参数为多少?
解答:
因为Xi2∼N(0,1), 故Xi24∼χ2
(1),i=1,2,⋯,15,
而X1,X2,⋯,X15独立,故
X12+X22+⋯+X1024∼χ2(10),X112+X122+⋯+X1524∼χ2(5),
所以
X12+X22+⋯+X1024/10X112+X122+⋯+X1524/5=X12+X22+⋯+X1022(X112+X122+⋯+X152)=Y
习题6
证明:
若随机变量X服从F(n1,n2)的分布,则
(1)Y=1X服从F(n2,n1)分布;
(2)并由此证明F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
解答:
(1)因随机变量X服从F(n1,n2), 故可设X=U/n1V/n2, 其中U服从χ2(n1),V服从χ2(n2), 且U与V相互独立,设1X=V/n2U/n1, 由F分布之定义知
Y=1x=V/n2U/n1,
服从F(n2,n1).
(2)由上侧α分位数和定义知
P{X≥F1-α(n1,n2)}=1-α,P{1X≤1F1-α(n1,n2)=1-α,
即P{Y≤1F1-α(n1,n2)=1-α,1-P{Y>1F1-α(n1,n2)=1-α, 故
P{Y>1F1-α(n1,n2)=α,
而P{Y≥Fα(n2,n1)}=α.
又Y为连续型随机变量,故P{Y≥1F1-α(n1,n2)=α, 从而
Fα(n2,n1)=1F1-α(n1,n2),
即F1-α(n1,n2)=1Fα(n2,n1).
习题7
查表求标准正态分布的上侧分位数:
u0.4,u0.2,u0.1与u0.05.
解答:
u0.4=0.253, u0.2=0.8416, u0.1=1.28,u0.05=1.65.
习题8
查表求χ2分布的上侧分位数:
χ0.952(5), χ0.052(5), χ0.992(10)与χ0.012(10).
解答:
1.145, 11.071, 2.558, 23.209.
习题9
查表求F分布的上侧分位数:
F0.95(4,6),F0.975(3,7)与F0.99(5,5).
解答:
0.1623,0.0684,0.0912.
习题10
查表求t分布的下侧分位数:
t0.05(3),t0.01(5),t0.10(7)与t0.005(10).
解答:
2.353,3.365,1.415,3.169.
5.3抽样分布
习题1
已知离散型均匀总体X,其分布律为
X
246
pi
1/31/31/3
取大小为n=54的样本,求:
(1)样本平均数X¯落于4.1到4.4之间的概率;
(2)样本均值X¯超过4.5的概率.
解答:
μ=E(X)=13×(2+4+6)=4,
σ2=E(X2)-[E(X)]2=13×(22+42+66)-42=83,
所以
μX¯=μ=4, σX¯2=σ2n=8/354=481, σX¯=29.
令Z=X¯-42/9, 则n充分大时,Z∼近似N(0,1).
(1)P{4.1 ≈Φ(1.8)-Φ(0.45)=0.9641-0.6736=0.2905.
(2)P{X¯>4.5}=P{Z>4.5-42/9=1-P{Z≤2.25}
≈1-Φ(2.25)=1-0.9878=0.0122.
习题2
设总体X服从正态分布N(10,32),X1,X2,⋯,X6是它的一组样本,设
X¯=16∑i=16Xi.
(1)写出X¯所服从的分布;
(2)求X¯>11的概率.
解答:
(1)X¯∼N(10,326), 即X¯∼N(10,32).
(2)P{X¯>11}=1-P{X¯≤11}=1-Φ(11-1032)
≈1-Φ(0,8165)≈1-Φ(0.82)=0.2061.
习题3
设X1,X2,⋯,Xn是总体X的样本,X¯=1n∑i=1nXi, 分别按总体服从下列指定分布求E(X¯),D(X¯).
(1)X服从0-1分布b(1,p);
(2)*X服从二项分布b(m,p);
(3)X服从泊松分布P(λ); (4)X服从均匀分布U[a,b];
(5)X服从指数分布e(λ).
解答:
(1)由题意,X的分布律为:
P{X=k}=Pk(1-P)1-k(k=0,1).
E(X)=p,D(X)=p(1-p).
所以
E(X¯)=E(1n∑i=1nXi)=1n∑i=1nE(Xi)=1n⋅np=p,
D(X¯)=D(1n∑i=1nXi)=1n2∑i=1nD(X1)=1n2⋅np(1-p)=1np(1-p).
(2)由题意,X的分布律为:
P{X=k}=CmkPk(1-p)m-k(k=0,1,2,⋯,m).
同
(1)可得
E(X¯)=mp,D(X¯)=1nmp(1-p).
(3)由题意,X的分布律为:
P{X=k}=λkk!
e-λ(λ>0,k=0,1,2,⋯).
E(X)=λ,D(X)=λ.
同
(1)可得
E(X¯)=λ,D(X¯)=1nλ.
(4)由E(X)=a+b2,D(X)=(b-a)212, 同
(1)可得
E(X¯)=a+b2,D(X¯)=(b-a)212n.
(5)由E(X)=1λ,D(X)=1λ2, 同
(1)可得
D(X¯)=1λ,D(X¯)=1nλ2.
习题4
某厂生产的搅拌机平均寿命为5年,标准差为1年,假设这些搅拌机的寿命近似服从正态分布,求:
(1)容量为9的随机样本平均寿命落在4.4年和5.2年之间的概率;
(2)容量为9的随机样本平均寿命小于6年的概率。
解答:
(1)由题意知X¯∼N(5,1n),n=9,则标准化变量
Z=X¯-51/9=X¯-51/3∼N(0,1).
而 P{4.4 =P{-1.8 =0.7257-0.0359=0.6898
(2)P{X¯<6}=P{X¯-51/3<6-51/3=P{Z<3}≈Φ(3)=0.9987.
习题5
设X1,X2,⋯,X16及Y1,Y2,⋯,Y25分别是两个独立总体N(0,16)和N(1,9)的样本,以X¯和Y¯分别表示两个样本均值,求P{∣X¯-Y¯∣>1}.
解答:
X¯∼N(0,1616),Y¯∼N(1,925),X¯-Y¯∼N(-1,1+925),即
X¯-Y¯∼N(-1,3425).
标准化变量X¯-Y¯,令Z=X¯-Y¯34/5∼N(0,1),所以
P{∣X¯-Y¯∣>1}=1-P{∣X¯-Y¯∣≤1}=1-P{-1≤X¯-Y¯≤1}
=1-P{0≤X¯-Y¯+134/5≤234/5
≈1-Φ(1.715)+Φ(0)
=1-0.9569+0.5=0.5431.
习题6
假设总体X服从正态分布N(20,32), 样本X1,⋯,X25来自总体X, 计算
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182.
解答:
令Y1=∑i=116Xi,Y2=∑i=1725Xi, 由于X1,⋯,X25相互独立同正态分布N(20,32), 因此有Y1与Y2相互独立,且Y1∼N(320,122), Y2∼N(180,92),
Y1-Y2∼N(140,152),
P{∑i=116Xi-∑i=1725Xi≤182=P{Y1-Y2≤182},
=P{Y1-Y2-14015≤2.8≈Φ(2.8)=0.997.
习题7
从一正态总体中抽取容量为n=16的样本,假定样本均值与总体均值之差的绝对值大于2的概率为0.01, 试求总体的标准差.
解答:
设总体X∼N(μ,σ2), 样本均值为X¯,则有
X¯-μσ/n=X¯-μσ/4∼N(0,1).
因为
P{∣X¯-μ∣>2}=P{∣X¯-μσ/4∣>8σ=2P{Z>8σ=2[1-Φ(8σ)]=0.01,
所以Φ(8σ)=0.995.
查标准正态分布表,得8σ=2.575, 从而σ=82.575=3.11.
习题8
设在总体N(μ,σ2)中抽取一容量为16的样本,这里μ,σ2均为未知.
(1)求P{S2/σ2≤2.041}, 其中S2为样本方差;
(2)求D(S2).
解答:
(1)因为是正态总体,根据正态总体下的统计量分布可知
(n-1)S2σ2∼χ2(n-1).
这里n=16, 于是
P{S2/σ2≤2.041}=P(15S2σ2≤15×2.041)
=1-P{15S2σ2>30.615(查χ2分布表可得)
=1-0.01=0.99.
(2)因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1), 又知
D((n-1)S2σ2)=2(n-1),
所以
D(S2)=σ4(n-1)2D((n-1)S2σ2)=σ4(n-1)2⋅2(n-1)=2n-1σ4=215σ4
(因为n=16).
习题9
设总体X∼N(μ,16),X1,X2,⋯,X10为取自该总体的样本,已知P{S2>a}=0.1, 求常数a.
解答:
因为(n-1)S2σ2∼χ2(n-1),n=10,σ=4, 所以
P{S2>a}=P{9S216>916a=0.1.
查自由度为9的χ2分布表得,916a=14.684, 所以a≈26.105.
习题10
设X1,X2,⋯,Xn和Y1,Y2,⋯,Yn分别取自正态总体
X∼N(μ1,σ2)和Y∼N(μ2,σ2)
且相互独立,问以下统计量服从什么分布?
(1)(n-1)(S12+S22)σ2;
(2)n[(X¯-Y¯)-(μ2-σ2)]2S12+S22.
解答:
(1)由(n-1)S12σ2∼χ2(n-1), (n-1)S